장음표시 사용
101쪽
st D aequales ipsis o A , fa J pariter
sunt ex semm. 9. in ratione u ad m , quare spatium RagG aequatur ex lemm. Io. spatio A an N; est autem A ag GNad kaso in ratione m ad n cut ejusmodi sit ratio quarumvis ordinata Iun
G A , A Ο, &g a , af quare & spatium N A an ad spatium OA af est semper
LEMMA XII. Iisdem positis, erit istum spatium DOac ad portionem Naac , ut nadm 3 ct dividendo rectangulά DO AN ad spatium Naac, sin m ad m. lUbi enim af infinire proxima fiet asymptoto D N, spmti in O A af degenerabie in D O A a C, & spatium N A a sin N A a C, quath cum ejusmodi spatia O A .L N A a n sint
ut is ad m, patet integra quoque D Ο Aa C, N Aa Cesse in eadem ratione, & dividendo inscriptum rectangulum ad subsequentem aream fore, ut π-miam; Nimirum fi ae sit major ipso m, in ratione assignabili, quam habet ipsorum differentia ad datum m propte. rea in hoc casu si utriusque areae finita ratio , si naequatur m , ut in hyperbola Apolloniana, ratio prodibit in Rnith parva o ad i. funde in hoc casu area hyperbolica infinit. maior est inscripto parallelogrammo J sin fuerit a mi. nor ipsom, habebitur ratio minor quam infinith parva , quq scilicet foret negativi numeri minoris nihilo appello mi-uorem misti in hoc easu negativum numerum , quia non . applicantur nune numeri ad certas quantitates, aliquam
datam positionem servantes, ut ad oppositam plagam inverti possint, sed absolutb considerantur, & m abstracto, tamquam exponentes, qui rationes quantitatum repraesentant, independenter a quolibet ipsarum situ ad unitatem, vel alium numerum positivum unde tunc aream hype
102쪽
linam plusquam infinities superare inscriptum parali logrammum Cl. V Uallisius contendit put, si u existente ilaetit m aequalis 2, fiet parallelogrammi ratio ad aream hyperbolicam quae - I ad a: si fuerit m aequalis 3, fiet ilis Ia ratio - 1 ad 3 , atque ita deinceps , quas quidem rati nes , patet non esse subduplam, aut subsequialteram, i
tercedentem inter aliquem ex terminis, qui comparantur,
inverso situ acceptum ut praetendit Varignonius & r
Iiquum eodem loco manentem, licti hoc ipsum verificari contingat, quia nempe area N Aa C ad reliquam DNAU, quae, trans ordinatam , ad partes oppositas vergit, semper invenitur esse, ut m - π aci . - α ut facith deducitur ex praemissis,& utramlibet ad inscriptum parallelogrammum, velut ad m, comparando I itaque alterutra est ut differenistia exponentium negativa, vel positiva, nempe si m superetu numero b , erit prima ad secundam ut , ad b, sin m ior fuerit π, qu m m eadem differentia, erit illa ad hanctit - , ad b, cum simili lege utraque area ad utramque
asymptoton referatur, mutatiS dumtaxat ordinatarum p
testatibus in potestates abscissarum , & contra; Sed que ad modom in casu Apollonianae Hyperbolae, cuius ratio
ad inscriptum parallellogrammum est . ad . - u, sive et ado non contendit Varignonius, consequens rationis ci iuridicare in antecedenti amstam magnitarinem quas in ipsam ordinatam AN, unde originem ducit, contraheretur area
huperbolica sed avolare in iram, Echi interim in rebus
physicis, aut geometricis quantitatibus, daturin positionem, ex determinata origine, larvantibus , quoties contingit, quantitates illas, puta a,&b, invicem aequari, tunc a - , aequetur O, & in nihilum abeat, sive retrocedens examquantitas b ast praecitatam originem ipsi a nec citra comfistens, nec ultra procurrens, in ejusde Meprincipium cci trahatur, ibique, in non quantum sui generis degenerans, evanescat: ita in casu altiorum hyperbolarum , ubi ratio Paral
103쪽
parallelogrammi ad aream hyperbolicam subsequentem estae in ad M, s ve- ad 2, aut- 2 ad 3 &c. non vide tur praesumendum, ex negativo antecedente, indicarim sequentis areae transpositionem faciendam ad aliam partem
ordinatae, ut passim in magnitudinibus statu habentibus, si ex fixa rigine an determinatam plagam protendunt a, & ώ, sitque alla minor, haec maior differentia σ , itautomate, tunc να-- c,& Me est positiv
quantitas retror tum ab origine Computata, In adversan
partem ab illa, versus quam se extendere a,& , suppone. Dantur, Sed uno hinc concludere licet, dictum parallat grammum ad Consequentem aream, ut nunus quam nihil, comparari, adeo ut haec illud superet plusquam infinith: in potius, s negativa expressio quidpiam in vertendumax Clucieret, sum Paralles graimuirin, quod est hom
logus compacaticinas terminus quantitatis negat vR - 1,
α- - stum mutare deberet, non area hyperbolica , quae cimologa est postivo termino in exprimenti a, aut 3 PO.tivas unitate1 , quemadmodum in expressione Apollamans
hyperbolae, ad quam dictum parallelogrammum est, ut o ad a, idem parallelogrammum, vehat nihilum reputaturmspectu areae infinitae hyperbolicε , non a contrario areaay tholica ia minium degenerat: sed haec obiter dictia via in V Uallisia i argumenti defensionem, Cujus Causa i men ab hoc puncto non pendet, eum nec mihi propos.llum sit in eiusmodi analyt a expressione variorum infiniis. Eetia graduum evidentiam repetere qui sanh hinc non s eis commoM Hicerentur , aiseram aream hyperbo immani erI superioris ordinis comparando, & in hoc tantia U Falluta ratio deficere videtur sed meras geometrica ne , ut vadehimus, quae hane negativi signi ambi. Λα- nihil moraturusLEMMA XIV. P. ιώ- μα is A stranse π ἀ- θρονἀoda, --ana Aa R, O alba AP, e m .dinat -- Pu
104쪽
Cum in hyperbola Apolloesana quadrilinea Aauri, AGO sint aequalia i pre aurissi. ι--. t. Ave ex ι-- indices. - , . aequales, quibus dicta spatia proportio. nantur J apposito, aut dempto communi trilineo Pa A, siet spatium NA Pan aequata Pso A a sed PAN ad Noa minia vi. est, ut in ad ae, sive, in hoc casu, ut is ad ha rem idem PANQ etiam ad NA Pam erit , ut in ad 4: sed etiam QR AN ad N Aam est ut ratio duarum a D, O N, ny -- ο kilicet pariter ut m ad et qui prima ratio semel aceepta aequatur secundae pes - multu. placatae., cam ea hypot si iis Q - - , ut ΚΛ ad ci uel E , ut in ergo. R reliquum RAP in reliquum Ais est in eadem laesaris aer ad ij. Quod erat MCDROLL. Hinc constat, dividenda mprima figura, e se R. Pa ad Aa p, ue -- a ad vat in secunda figura, esse RPa ad Ra P, ut a -- ad M.& RaP ad RPR iaprima figura eta, ut m - ι - - : as in seeunda figur esse , ut mad m, unde si in i ci casu in aequaturae, vel in secunda in aequatur dimidia umsatis s hoc est sit exponens radicis quadram patet, rectam Pa primae Murae , bifariam dividere trilinemn ARP, di rectat RP secundae Murae .simhtex hiisaiam secare inlineum AaRLEM.
105쪽
LEMMA XIV. Iisdem positis, ex balinea
R AP utrique buperbola saterfecto, magnitudinem data qual/bet Misa quantirue Zmajorem seriasmas. Sit primo numerus m maj I unitate,& tunc ducta quavis P a asymptoto Dia parallela , multiplicetur Iatio mad x , usquedum aequalis, aut proxi-mh major evadat ratione Z ad A P a ;stque ratio sic multiplicata eadem, que producti ex numero ν in m , Ideii να
ad i. Tum ducta P R asymptoto Doparallela, agatur RG parallela Dia, deinde So, ST, T v alternatim asymptotis para iteIς, id
que in tot punctas P, G, T Cont1nuetur, quoties multipliacata fuerit ratio rmad 1 rationis m ad I . Quia igitur spatium AUT ad spatium AP a rationem habet compositam ex intermediis rationibus, AVT ad AT S, AT S ad ASG
omnibus majoris inaequalitatis quarum prima, tertia,&quinta satiaeque impari loco positae si plures fuerint aequanis tur semper ex lemm. 13. rationi Mad I. quae smul compo. sis eandem rationem multiplicant iuxta acceptum numerum punctorum P, G, T, adeoque ex se solis conflarent rationem νm ad a. idest aequalem, aut proximh majoremis ratione Z ad ΑPa, patet utique, rationem AVT ad Α Pa, quae ex recensiis, & insuper ex secunda, quarta ,
aliisque pari loco postis componitur, longh majorem esse ratione Z ad ΑPa, ideoque spatium AVT multo majus fore pro sto spatio T. Sin autem fuerit res νι issiora sequemi J minor quama , tunc ipsa Pa ducatur parallela DO, & ratione x adm vicissim multiplicata, usquedum fiat ratio ν ad in aequa-jas, aut proxime major ratione Z ad ΑPa, continuetur in Diuitiaco by Cooste
106쪽
intotidem punctis flexilineti aPROSTFex lineis alternatura parallelis ad asymptotos, N eodem rata inici colligetur. spatium ATV ad AP a majorem rationem habere, quam Zad APa, quia lata rationes ATV ad AT S, nec nou
s sngulae ex is . I 3. aequales ratIonar ad ml componerent rationem ν ad m, multiplicatam scilicet ipsius x ad m, pro numero punctorum Ρ,G, T, Qua constat, in hoc etiam casu, exhiluae
R A P secari posse spatium T A v majus qualibet finita magnitudine Prom sita Z. Quod erat &c. . . . l l l .
COROLL. Hinc patet, spatium, hyperbola Apolloniana ARV , & quavis alia APT iotesce am , esse magnRudinis absolute infinitae, potest enim ad unitum sp uu Ari rati nem habere maiorem qualibet L in H M Qassitn bili.
107쪽
nes conflant rationem I M ad O Pr sed ut co ad cα , ita ex natura curvae PGTest etiam MI, quq ex Masyrr ptoto Cia parallela usque ad curvam PGT ducitur, ad eandem OP;ititur eadem est lM ad Apollonianam,& MI ad hanc hyperbolam novissimh ductam ; quare utraque haec curva in puncto I conveniet; deinceps autem , ui ad L posita ordinata ad hanc hyperbolam P IT, n V velli ordinata .
ad Apollonianam A R V J seu n C ad Cia, vel QI ad n V, majorem habebit rationem, quam Qt ad gn , & ided n Uminor erit qu m n g, quare manifestum est, utramque curvam se invicem secare in I & curvam PGI ex interiori fieri Disit iroo by Corale
108쪽
seri Exteriorem Apollonianae hyperbolae. Qu d&e. His positis, atque attentius perspectis, facillimh demon.
Quslibra byperbou Aρολαισοa altioris , spatium scam es Plusquam : Infinitum censendam. Intelligatur ARIVX hyperbola Apollonii, & per idem punctum intra easdem asymptotos Q CO deicripta sit hyperbola quaelibet, cujus ordinatarum A N , a. potestas abyxponente ., qui major sit unitate, denominata, responis deat abscissis reciproch acceptis nC,NC. Dico spatium anCO A BD , ad partes D infiniis productum, esse infiniisties maius spatio absoluth infinito Apollonianae hyperbolae nCoARV aeqvh in infinitum producto: adeoque illud esse PisAxam In Daem. Assignetur enim quaelibet ratio maioris. inetqualitatis, Iad x3 ti singulis asymptoto Clin parallelis AO, B H &c. in tali ratione sectis ad puncta P, Q &c. ducta sit hyper-hola PGT, priori A BD proportionaliter analoga, quaei lemm. is. J secabit Apollonianam i hyperbolam alicubi, uelut in I , bilineum autem VIT per coroli. lemm. 14. erit absoluth infinitum, adeoque infinities majus termina. to spatio PGIRA ,& apposito communi spatio ae PGι VX, fiet a CO PGIIT absolute majus spatio u COARIUR, R ideo spatium N COAB aD majorem habebit rationem ad hoc secundum, quam ad illud primum: sed ad illudi ob proportionalem singularum parallelarum OR, HB sectionem ad P, G in rationes .a est in assignabili quavis rationes ad x, ergo ad hoc secundum rationem habet maiorem qualibet assignabili, infinities igitur ipsum superat, adeoque est Plnsquam In ιιum. Od erat d
109쪽
Nune ad scrupulos tuos excutiendos Meedcl. Illud maprimis opponis, quomodo sieri possis, ut omne asympi licum spatium, velut CN DI B, infinities minus affer, posisit circumscripto parallelogiammo CN F, ut ego saepius asserui : cum tame-,U mMIligatur vas prismaticum. datae altitudinis et ualis CN, basim habens ipsum asymptoti eum matrum, aqua , vel alio fluido repleri , tum amota curvasnonda. D l B, permittatur aqua fluere iisque ad spondam N F EIteti CG parallatam , adeo ut adaptetur prismati, m M No 'ra nunc parallelogramma
p . ' infiniis longum CN Ρ, consequem vi deatur, ut at aliquam altitudinem ,
si non aequalem priorii, saltem ire ali
rua ad ipsam rationa assignatali , o
aqua assurgat, ne uitam cog mur, infinitam molem aquae rix sunficere ad madefaciendam dumtaxarii finite longi parallelogrammi luperficiem, nec tantam esse, ut sit a famdum v,sis G MF ve tantillum Heum ur , quodk absurdum ab omnibus censensum iste arbite ris . Ad haec; si in parallelepipedum, laper deseromato uuadrato CN m l titudinem infinitam exectum aqua
illam, quΕ nrius 'intra prisma, s rugae altitudinis CN.ylt infinitam a*mmotium aream pro basi obtinens , conitu debatur, immissam constramuR, utique ad infinitam a Llitudinem fore elevandam observa, , adeo ire conemur posse prismati , basim habent, in fi inrum param seramnis finitam verue alti re nem; sin cicis osse. - as 1 - ploticum spatin m infit uten minus paralles grammo ei cum scripto. Postremo aucto itatem nestio, an rQmnem in V. Galilaei obiicere identidem non praetermittis, quippe qui DeaL t. de nerua serentia non posse invicem comparari infinitas magnitudines, exemplo radicum , quadra-
110쪽
--n, ac guborum est omnibus numeris selectorum e sit vir, unde vocabula, maj is, minoris .ia aequalis locum non habere in Infinitis statuit, eoque utinos admissurum haec nostra Ha am Io sta arbitraris, qui ne rationem widem assigna em in ejusdem generis Infinitis agnoscitauride is s. 1eptim , caue dum,.ne mirum ita modum hau Iucinemur, dium tam audacter infinitas quantitates, finiatae nostrae mentis. captum excedentes ..Metiare non dubit
mus , ac debusdem, perinde ac de finiris,. per analytico calculox, geometricos disceresus, ac figuratura diagramismata, discurrere praesi animus .. . Quibus haec breviter posse reponi observo. Primd nihil absurdi esse, quod aqua ilis, quae Umptismaticum asymptotale CNDI B impletae, applicata via. parallelepip do super parallelogrammo GNF erecto,.vis ejus fundum madefaciat', nee ad ullam finitam altitudinem , sua basi elevetur, sea tantum. ast infiniis parvam , adeo v quam infimcies mitius, est spatium asymptotisum CN DI B ei eumseripto parallelogrammo CN F, tam infinities minor fit reciproch altatudo , ad quam in hoc parallesepipedainli me aqua, altitudine CN prioris prismatis, ut one
qΨtim in omnώuD sotidis aequatibus contingere necesse est e Siritim uniti adcinitae et casu dicendum, esse, quod cinis dice est, si ex fini aliquo , quantumvis magno , qu-rnm receptaculo, purie ex toto, occeano, effundi intelligeis retur aqua in Immensam planitiem . seu superficiem intantiam i My, adhaerendo. certis non posset ini taliam datam eleuari istic illam vix: hirmectaret: eodenus quippo in do S tam coeant fundum. se habet ad immenissem ollinitiem , az ,Δfinisai Mea asymptotica ad circumis straprum parallulogrammam, quod illa Ostenditue inta