장음표시 사용
81쪽
infinitam, sed infinities minorem dicto asymptotico spatis Apolloniano: ex quo facile erit similes areas adhuc
infinities minores excogitare , & assertam V IIetatem Orin
dinis Infinitorum sine suo b ut Prop. VIII. Prεduumus
Inter asymptotos C I, a I Est acta xem P 3 si, ii D parallela posta . . Lad axem I H P. 2.13 CV descripta sit hyperbola Apollonia na insta T, abscindes primam Ord Ina-
subtangente Cl agatur Loini in arithmica I Est ad .axem
agamur ad axem paralla. iis EOA ada; tum ut Lemmngulum in MEm H Gad quadratum O , ita steadem Ct vel I Q ad DF, ac per omnia puncta F, f
sic determinata transeat curva o Ff S. Dico spatium binis .fymptotis parauetis Io, CS, curva OFIS, & recta CIeomprehensum, . absoluth quidem esse infinitum, sed insi- suties minus spatio hyperbolico CI Q Aa T. Facta. enirn DB aequali HG, itemque ιιιν aequali D, at-Mue ala semper, oriatur hanc alia curva IB. X; sintque , in FBDEHG, Vbdolg Infinite proximite erit 1psallum BD, d differentia , R, ex constructione, aequalIs differen tiae Diuitiam by si i
82쪽
tiae torrespondentium HG, be; eritque BR ad RO, ut BR ad L g, nempe in ratione compara ex BR, seu Dd dii mentia ordinatarum Logari tim ea, ad N b,five M αὐ Ferentiam axis ejusdem, di ex Mas, seu GL differentis axis parabolae ad Lil differentiam oroinatarum ejus, est
autem me e-Η. Ei prop. V. prima ratio aequa is TR INRI oris
dinatae M E ad subtangentem M P vel CI, & ratio altera aequalis rationi subtangentis parti tae , seis duplae I H, ad HG, vel duplae H G ad latus rectum , aut fimplisis HG, ad C I semissem lateris recti; ergo B R in Κ ε est in rati ne composita ex ME ad CI,N HG ad Ci, kilicis ut rectangulum ex M E in HG ad quadratum Ct, hoc est,
ex constructione, ut CI, vel I ad DFl quar. an rem rum rectangulum ex F D in B R quod est idem cum Ua-tiolo infinite parvo F DU, γν eo oui 3. aequis tur rectangulo meoiarum I Q vel Cl in R b3 quod ubique perpetuo obtineat, manifestum est, 1 tum spum n SsFOIC, ex omnabus areolis elamentata s FDU aggregatum, aequari rectanguin ex lin vel CI in stolam asymptoton CX, quae omnibus differentiis R , ordinat rum aequalis est: adeoque cum CX sit infinita, utpoth aequalis ordinatae parabolae ad infinitam distantiam i vere:Ceis, patet, spatium illud VFOIC rectangulo infinito aequale probari, di sic esse absoluis infinitum: sed hyperbolicam spatium CI Q Aa T aequatur rectangulo ex eadem ια, PelCI in totum axem infinitum CP Logarithmicae t nam, ex eap. 6. Hugenranorum n. 6. sub tangens Cl est ad quam νε-bet D E parallelam axi Logistic et, vel dicas CI quadratum ad C I in DE, ut parallelogrammum hyperbolet inscripta C DA, quod uatur quadrato CI, propter Q I aequalem CI, ad spatium hyperbol=cum A Q. ID, quod exinde φquabitur in hoc casu rectangulo eu CI in DB, adeoque t tum spatium asymptoticum fiet aequale rectangulo ex CIin totum axem CB erit ergo spatium CI QUA T ad sp
83쪽
tium S FΟIC, ut infinitus axis Logarithmicae, vel par bolae, ad infinitam ejus ordinatam, live ut haec ipsa infiniista parabolae ordinata ad suum latus rectum ς adeoque in ratione majori qu,m quaelibet assignabilis, quarh inventum est spatium absoluth infinitum, sed idem infinities minus asymptotico spatio hyperbolae Apollomanae. usod erat M COROLL. l. Hinc obtiter patet, curvae I B, sub tangentem K. D esse ad oris dinatam D B , ut rectan.
gulum M E in HG, sivGN C D B , ad quadratum
C Ir in hac enim ration vidimus esse differentia&BR, R b, quae sunt suta
tangenti, & ordinatae pro- Portionales ex supradictis. COROLL II. Unde etiaextensa tangente Κ B ad asymptoton in V, erit parior BN ad N V seu sum pia communi altitudine
NC, rectangulum N CDR ad rectangatum CNV ut vectangulum NC DR ad uadr itum CI, quare qua- ratum CI qquabitur CN Urectangulo, & subtangens N V aequatus constanti quadrato CI, diviso per abscissam N C , id est reciproca est abscissae N C , aut dicas aequalis ordinatae in puncto N ad hypei bolam TAQ, usque dum illi occurrat, continu tam , quippe quae pariter ejusdem N C est reciproca. COROLL. IlI. Si quis ex puncto B duceret curvae I B bperpendicularem, foret subnormalis, post ordinatam BD
84쪽
in ipsa DC producta ab hac perpendiculari resecta, aequa. lis ordinatae DΑ hyperbolae: etenim est V N ad N B, ut BD ad DK, vel ut praedicta subnormalis ad ordinatam
BD seu CN, adeoque rectangulum extremarum VNCI hoc est, per praeedens eorollar. quadratum Clin, vel re. ctangulum CDA, ob hyperbolam aequatur rectangulo mediarum N B, vel CD in subnormalem , quare eadem subnormalis aequatur A D ordinatae ad hyperbolam. COROLL. IU. Unde amplius Ostendi potest, spatium
hyperbolicum Am D aequari dimidio quadrati ex ordiis nata B D: posita enim C D α x, D B radi, & dicta subnor
dimidio disserentialis Ud', quae ex Sciat. prop. V. est classerentia quadratia'; & ideo, integrando, totum spatium ΑQID aequatur dimidio quadrati BD. Quod& hinc expeditius patet, quia ex ostensis in demonstratione hujusismet propostionis, spatium hyperbolicum ΑQID aequatur rectangulo ex CI in DE, vel I H , quadratum autem BD, vel HG ex Ratura Parabolae, aequatur Iectangulo ex eadem IH in duplam CI, quae est latus rectum , ergo idem
spatium hyperbolicum A Q I D est dimidium quadrati H G , vel BD. SCHOLIO NM is sum est, curvam I Bb ese Logaritbmisam quadra.
iram, ex earum genere, q as Hugenianorum cap. I. n. 4. ivdicavi, de quibus re egrinum νractarum, generi a nobis perbumauster aecepta , construsit insignis Geometra Lauis rentius Loreneti ni . Mem utinam eum aliis tractatibus, res
geometricas Meuratissime , O prosendissime illustrantibus , typis aliquando commitrereti Exim.ero paret, qu)d eam in prima Luarisbmira I Ee fit rapso IC, ME ad rationem Ic, me, ne
85쪽
PROPOSITIO XI. O Vad arida by rebola eum Apolloniana specialior comparatis,
ad eius altiorem infinitatum aemcnserandam.
Sit inter asymptotos RCA έα is Iora siquot, I orangulum P quadrati R P AC diaripta hypeihola Apolloniana PK V, & hyperbola quadratica PQY. in qua sit Sia ad RP,ut quadratura RQ ad quadratum CS, vel ut quadratum S K. ad quadratiam,R P, adeoque tres S Q, s R P sint perpetuo proportionales; descripta sit etinta ad axem A CT Lugistica RBG, ad partes C decrescens, Cin
86쪽
tio ejusdem Logain sticae, quae ex Rad partes AP ex. porrigi debebat, ad easdem partes asymptoti reis nexa , & in verissas in infinitum se
expandens. Ita . ob aequalem, limb eandem axis portionem CD. Drdinatisaeo , CR,N GH, D N interceptam, erit semper D B ad CR , ut CR vel CH ad PN. sed etiam ut DB uel CS ad CR. ita in hyperbola δpolloniana Κ Ρέ vel CR aut CH ad SK, ergo D N aequatur semper correspondenti ordinatae hyperbolicq SKr lactaque .dbσε infinith proxima priori, com sit SQ ad SK. ut SK ad RP., velut AC ad CS . Mel ut T D ad DB, vel ut B 6, aut Dd, ad 6ώvel 3 S. erit rectangulum intremarum Q Ss aequale rectan. gula mediarum, striinet S K.,ωel Nolin Dd. & sie sen per, unde spatium hyperbolae quadrato SRPQ roll. 3. prop. V aequale ostenderue correspondenti spatio L gistico INHCD; sed ex ostensa .a ismonstrarioxe προ yra ced. ct in oMoll. 3. prop. IX. Spacium hypeiholicum S R PK aequatur rectangulo ex CR in logacissimum CS , scilicet
in B S. hoc est . ducta H Μ asymptoto parallela , aequa. tur . rectangulo correspondenti CHMD, ergo spatia SRPQ, S R P Κ sunt semper ad invicem, ut NHCD, M H CD.& ubi punctum S cadit in C , erit totum spatium hyperis bolae quadraticae CR P Υ iad spatia Apollonianae in V,
87쪽
in infinitam amplitudinε TLinfinitae longitudi
ius hoc, nam e Iicio secari possutquot quis voluerit aequalia rectangula infinith longa TCHI, IM ZE,&c. ergo & Spatium hyperbolae quadraticae CR PQ Y est an&nities majus spatio Apollonianae hyperbolae absoluth anianito CR PK V, adeoque iure potuit 1 V Vallisio PιαAsam innatum nuncupari. Quod erat &c. COROLL I Cum ex nilbis Hugeuiaσis cap. 3. N. 6. Spa tia Logistica Equh alta NDCΗ, BD CR sint ad invicem, ut horrologae ordinatae CH, BD, sive ut rectangulum CHMD ad rectangulum C D B S, & permutando spatium N DCH ad CH MD, hoe est, juxta hanc propositionem, spatium S RPQ ad SRPK, erit, ut spatium logisticum BD CR ad inscriptum rectangulum CDBS.COROLE II. Extensa tangente T B usque ad CR in X,
quoniam ex dictis Hugemauor eap. 7. m. I. & cap. Io. N. s.
rectangulum CDBS aequatur rectangulo subtangentis DT, vel CR in SX, & spatium BD CR ex ν dem rictis cap. q. n. 3. 9 cap. 8. .. 34. aequatur rectangulo ejusdem subtan. gentis in S R, erit itaque spatium S R P . ad spatium , SRPK utS X ad S R. . COROLL. IlI. Unde rursus liquet, integrum spatium hy
88쪽
hyperbolae quadraticae CR PQ Y esse infinities maius spatio Apollonianae CR PKV , adeoque plusquam infinitum censendum ; etenim ubi S cadit in C: tum rectangulum CDBS evanescit, aut saltem fit infinite minus spatio integrae logisticae TCR BG, seu quadrato subtangentis CR: tum ipsa evadit infiniti parva respectu SR, quae tuncst CR, undE spatia hyperbolet Apollonii CR PKV, evadat infinities minus i patio hyperbolae quadraticae CR PQY necesse est. COROLL. IV. Ructus, quia spatium S RPQ ad SRPΚostensum est esse , ut N CH ad MDCH; est autem N DCH aequale rectangulo ea subtangente lotisties CHin M N , erit primum spatium ad secundum , ut N M ad MH; sed N M ad M H potest rationem habere majorem
qualibet assignabili, si concipiatur accedere magis, ac magis punctum S ad centrum C, adeoque ab eodem C magis ac magis recedere Ordinata logisticae D N, nam M N ultra tangentem HZ, quae ad angulum semirectum ZHM, siue HAC inclinatur, in immensum exscrescit, unde ratio N Mad ML, vel MH, semper si major, prout juncta NHa fit semper sine limite major ratio HC ad Caue ergo N Mevavit infimiles major, quam MN, ubi punctum S cum puncto C convenerit, & ideo spatium CR PQ Y exit tunc infinities majus ipso CR P Κ V , ac proinde Ilusquam 1 mineam hae etiam ratione colligitus.
89쪽
SQ, unde gQ erit asymptoto RS C parallela , Cui per X aequi distans pariter fiat 'R83 Iam velis in
infinith langum , ab hyperbola quadratica PQ ad partes asymptoti S R versus X infiniis producta comprehensum, est finitae quantitatis , & semper aequatur inscripto rectangula eidem ordinatae adiacenti, nempe RSQm aequatur C 4,& solum RPX aequarur CRPA, vel huie aequali CSκ η; ideoque utriusque differentia, nempe spatium SRPQ aequatur refiduo a 4 QK , vel aequali complemento S Κη R , quod eidem latitudini SR acliaeet cum spatio SRN , sed longitudinem habet aequalem applicatae correspondenti SK hyperbolae Apollonianae, atque ita semper; ergo ubi contruerit SK asymptoto CA , fiet integrum spatium CR PQ Y aequale rectangulo ex CR in asymptoton hyperbo is Apollanti CAVi sed hoe rectangulum, o prop. VIII. 1. a. est infinities maius spatio asymptotico hyperbolae Apollonii , ergo spatium CR PQ Y quadratiee hyperbolet est infinities majus dicto spatio Apollonianε nyperbolae, unde , CL Uva uisio jure Pusquam Infinitum dici potuit. Quod erat &α
90쪽
versionem ratmnis,R SQ 3 ad SH PQ, ut CR ad C S.COROLL. III. Quia vero spatium SKPR rectangulo ex CR in toga mimum CS nisis R. pag. o. nempe in SB e coroli. g. prop. IX. erit S ΚΡR ad S PR in ratione composita ex CR, vel RP, ad SK,&ex togarithmo CS, nempe SB, ad SR, idest in composita ratione ex SC ad CR,&SBad SR, hoc est ut rectangulum Loginitae imis riptum CS BD ad rectangulum ex CR in RS , si ve ad Logistic Mn spatium CD BR: quid consonat jam ostensis
που. 1. Prop. praeed unde ruisus eadem inferr, possunt, .uae deinceps In sequentibus Coacilla rus demo iuirata sunt de atriari In ιars hujus ipatri.
rix, quibus subine pus balluci troae , ἐν sumenda expres e
Collega nosis, tibro Landini puresso a os De Methodo Fluxionum inversa, pag. 66. ιιι verbis: Quodsi quadraturae erζ-