장음표시 사용
71쪽
mis. x. prop. HL J dummodo aeque in infinitum utraque . CO, CB protracta intelligaturi ad modum sectoris OCHI si enim recta N Κ , suantumvis distante , axi parallela desinaretur trilineum Paraboli una , iam eiusdem ordinis est et i cum parabolica area BCP nempe illius subduplum non vero illa infini. tus maius I sed tunc longitudo iliai C B foret Infinities major latitu-c dine CN Iri linei, quippe ad hanc l diris ejesset in sationeurps is 'C N έ φα ui misi insinua suppossitum I ad latus -- .ctum propositae parabolae, ex generati natur Ipsuu .i PCOROLL. ll. Omnis hyper- C nT Zabola EFG circa a 3em FH an idesinite produna, marium cor tinet infimium giusdem Didini cum spatio angulasi , seu asym. tolis BC , CD contento, unci
illi penitus aequale, differretia ;
Uinor est i ex nare a. ipi a gulari spatio, uno tot gradis x
COROLL. t I. Et hic spatium euiusvis hyperbolae E FG
circa suum axem FH, infinities majus est spatio parabolae ad eundem avem per ipsummet verticem descriptae i lud enim ejusdem est ordinis cum spatio angulari quod ostensum est infinite majus parabolico. R L. IV. insuper hanc ratio elucet, cur impossis bu hi Hyperbolen Parabolae inscribere , aut hanc Illi ciris .inscribeIesive pex eundem, sue per diversos Vertice ,
72쪽
is habet uincentura Viviam iab. His Mam ω ma. p. . scni semper enim hyperbola fuapte natura majorest, qui mparabola , unde nequit illa intra hujus finis concludi.
a. Esto spatium D PR ΒΚ, ordina cta D R uni asymptoto C N parallela,7 ti altera asymptoto Κ B, atque hyperbola prima sive Apolloniana DPR linfinite producta comprehensam tram Rseat vero per idem punctum D intria easdem asymptotos alia hyperbola D X L Z, cujus ordinatarum D V X Gquadrata sint reciproce, ut abscisset G
Κ C centro C, live ut ordinatε is, GΡ alpriorem hypei lam: eruntque iis diicta D F asymptoto C B. parallela is ubique in continua ratione D L f seu TOS IGX, GP. secetur .iam quaeia.
het ordinata posterioris, Nyperbola , in inempe Dii, X G , in punctico, Vim
data qua uis ratione in a ae pet quae puncta intelligatur transire alia 'curva lo Uinem tam utique generis eum ipsa D X Z eritque spatὶinis ELO U I. at ipsum X DX Z B in ratione Κ O ad Κ D, sede re adint, pereontainionem: Poraro, ubi V X peruenerat ad interuallum L H aequale ipse GK tim debeat oesinata. L H ad ordinatam IH hyperis holae o Uin esse in latione DR ad OK. , sive TH ad H L, erunt in Continuae ratione T H , L H, I H,&ideo punctum I erat etiam ad priorem hyperbolama Apollonianam D P R ; quata secabunt seite vae ovia , D Ρα in pu c .i . . cto I,
73쪽
cto 1, nomamplius sibi occurrentes, eo qudd ratio HI ad ad BR semper futura eii duplicata rationis HI ad BQ, ut de iplis DXL, DPR se in puncto D secantibus dicebatur. Et ide5 spatium K OV Q B, ad partes B infinith protensum , majus erit infinito spatio X D P R B nec enim portio OUI PD, qua primum spatium a posteriori deficere videtur , eli in his computanda, quippe undecunque finita, adeoque infinith parva respectu dictorum spatiorum , seu attendi debet excessus Q I R absoluth infinitus, ut in Sebiam III. demonstrabimus unde m Inor erit ratio
spatii KDPRBad X DXZB, quam XOV QB ad idem spatium KDXLB, hoc est quam si ratio quaevis assignabi las, re ad m , ideoque spatium ab Apol e
loniana hyperbola comprehenium eunt
infinite parvum respectu spatii ab hyperbola quadratica definiti , ta hoc vacillim, respectu illius licet abici Ellute infiniti est infinith magnum , di ordi nis superioris, sue iuxta de . VII. est nusquam infinitum; quod &c. a. Si aliorum graduum superiorum hypeIbolae per id m punctum D des Crabantur, in quibus cubi, vel qua
dratoquadrata , aut aliae altiores γ' titestates ordinata a reciproch respon
deant abscissis, simili modo demo stIabitur, areas hyperbolatum supe- dxiorum infinith majores esse areis inse Dorum , quantumvis jam infinitis, vel plusquam infinitis di supponatur enim DPR Quadratica hyperbola, &iDΣZcubaca, adeo ut hujus ordinatarum cubi, illius Vero quadrata reciproch sintlut abscissae; fiat autem, proportionali sectione ordinatarum DK, X G posterioris hyperbolae, alia
74쪽
psum KD XL B in ratione ΚΟ ad ΚD, puta n ad rast. M. amiam, curva DXL perMena sis ad Intervallum L H, quod si ad HT, vel ΚD, ut quadratum Ko ad quadratum KD, sive ut nn admur; occurrat autem hypeihola quadra. tica DP R ipsi ordinatae HL in pui; I : eritque HI quadratum ad H L quadratum an ratione composta ex quadrato HI ad quadratum K Ias sive ratione cubi H L adcubum KD, cum utraque ratio si reciproca ab scassarum
CX, CH & ratione quadrati ΚD ad quadratum H L, aut cubi Κ D ad quadlatum H L ductum in alti indinem X D; quae duae rationes conflant rationem cuba H L ad quadra um HL in KD, nempe ratione F L ad K o, idest ex constr. quadrati ΚΟ ad qua oratum X D. Cum itaque HI quadratum ad qua diatum H L st ut quadratum X O ad quadratum KD, patet ipsas ΚD, L H,ino, δἰ l proportionaliter secari, adeoque punctum I pertinere ad cubicam etiam hyperbolam o v Q, quae propterea secabit ipsam DPRin I, nec illi amplius occurret, eo 'uod semper Morum sit quadratum BR ad quadratum Hi, ut cubus Bia adcubum HI, ut antea ostensumem quare sparium ΚΟlia B, ad partes B infinith protenium, majus erit infinito spatio Κ D P R B, ut superiori numero concludebamus, adeoque major erit ratio Κ D X L Z B ad secundum, quam ad primum , ad quod tamen esse potest in quavis assignabili ea-eione DK ad K o, sive m ad n , unde liquet, spatio , Κ D X L B infinith adhue maius esse spatio x D P R B ab hypectata quadratica comprehenso, licet plusquum infinitum hoc ipsum antea deprehenderamus. Quod M.tn: 3. Ee si quaelibet ipsarum G Ρ, Κ D potestates ab expo-
-netate e Indicatae reciproch respondeant abscissis, ordina
tisve alaetius hyperbolae G X, R D ad potesta em imitate superiorem elevatis, semper hii ipsis mos eis in V , & ot pro Oxtiona liters sectra , curva o U QDiscurret priora hy- perho ae DPRIn I, ubi torres ad it ordinatae hoste.
75쪽
tioris hyperbolae H L, quae sit ad K D, ut potestas e ipsius Ko ad potestatem similem ipsius Κ D, unde renovabitu es: mper prςcedens argumentum, idque excneratim se ostendetur. Sit Κoma& hyperbolae DXL ordinata quaevi GX, aut Hl. ponatur et i, quae si , proportionaliter secentur in O, V per κcurvam OV Q in rati ne m ad 'oe. currat haec curva in I alteri hyperbo DPK, cuius ordinata quaevis GPH l r, ergo concursu I fiet c
ad re , inempe ut potestast a: ipsius KO ad similem ipsius
KD potestatem ι Quod &α . . . a . . .
. , COROLL. l. Hinc constat, omnex hyperbolas altioris gradus supra Apollonianam veth Plν Dunm infixitas juxta V Vallisii appellationem, & doctrinam censendas , utpoth infinities majores areis hyperbolicis ordinariis ad asympto. ton resectis r D quanuamvisi proportionaIi augment i, aut . decremento singularum ordinatartim augeantur istae , minuantur illae, numquam hyperboris unius genetis posse cum hyperbolis alterius generis compagari. ii. V . i I. COROLL. II. Consequens etiam hinc Eh, in Rrearum dimensione non lassicere, ut quaedam illarum ab dath infinitae demonstrentur, sed amplici requiri , ut ostendatur ad quem infinitorum ordinem aut. gradum pertineant: Quod facile est , observando ad quod infiniti aliunde noti genus rationem assigpabilem. habere possint . verbi. grata o Diuitigod by Corale
76쪽
Spatium, a Conchoide Nicomedea cum asymptoto conten. tum , infinitum est eiusdem generis cum Spatio asymptolico hyperbolae Apollonianae, cui comparari potest ex prop. ur. mmi libelri de Quadr. c. e. σ mnis. Item spatium 1 Quadratice Dinostrati ultra quadrantem continuata, &ati ejus asymptoto comprehensum , ad eandem classem spectat, ut ex ejus comparatione cum hyperbola Apollo. niana, quam alibi exhibebimus, constare potest. Spatium quod curva I.ogarithmica, & recta ad ejus asymptoto parallela interiacitur, ejusdem ordinis est cum parallelo. grammo infinitae longitudinis, sed infinities minoris, quam sit asymptotus Apollonianae hyperbolae. Spatium hyperia holscum , circa axem infinith productum excurrens, ejusdem ordinis est eum infinito spatio angulari. Area curvae, quae ab dnsigni Geometra Hieronymo Sacherio in Neoctatua lib. 3. pr. Io. infinita demonitiatur , ad asymptotici spatii quod Apollonii hyperbola complectitur, classem pertinere uno ad ejus dimention ε referri ostenditur: atque ita de aliis.
O Portu autem in borum Spatiorum comparatione supponere eadem aequh infinith in longum pratense, alias Infinitum Anu inferioris aquari poterit Infinito Iverioris ordinu ad in-μuam lovgiisAnem suferioris gradus, seu prasi . nitier mi
Apollisiana fit in itam, alique aquivalet paralis grammis in. seraptis multiturine in stis , qua si ad parem latitudιnem componantur , e cient ruique parallelogrammum νη ite lavam, ipsib perbolico spatio aquati , sed hac ina . nisi parallelogrammi
77쪽
78쪽
tus C A hyperbola qua uicae s D F ,'qua parto sartam aream desinit, ada Imptoton CA hyperbola Apolloniana g DG on A
ra contineant cum ordinatistro rectangulum λeidem constanti quadrato aequalet; nam si . . . tangens ab hujus figurae reciprocae quaera. . . l.
79쪽
ad verticem A, constabit celth, an ibi in tangens AB fiat ordinatae r a parallerila , an Vero cum ipsa concurrat, in di- ti tantia filia a ab axe A r, an autem cum ipso axe A, penitus coincidat , & in primoui casu Spatiu Aroo G finitu eriti in secundo infinitum: in tertio pluri iam infinitum. Innotescit autem ratio tangentes ducendi. ex dictis ereoli. a. prop. V. undh generatim Iiquet, reciprocaIli figura rsi semper squales fore subtangentes, ad opposita pax te accia
80쪽
ritiam is P, Q iam uet infinitio iniuin As inpraeho Spatio Apolloniana 'perbola , periω-l Ne quis suspicetae, spatium asymptoticum hyperbolae Apodionianae minimum esse omnium infinitorum spati rum , quia nullam hactenus aream nouimus infinitam, quae
aut eiusdem , aut superioris gradus 'noh sit ad pridictum sputium: libet hoc loco aream describrae tabline quidems inta