장음표시 사용
51쪽
Demonstratio . Sit A B - a . CD m b. ΑΕ me. Fig. rs Erit C Η ut quae quarta proportionalis
Centrum C . Α quovis puncto P diametri ducta sit perpendicularis PM, secans periseriam in M. Dico tres lineas AP, ΡΜ , PB esse continue proportionales, nemupe A ri P Μ :: P M, P B. Quae propositio nobilissima est. Demonstratio. Sit radius C A , ideoque etiam C B m a. C P ra , . Erit iam A PMa - b , PBΣαε--b. Denominationem lineae Ρ M tibi comparabis ad hunc modum. Duc rectam M C , quae , ut radius circ Ii , erit & ipsa in a . Cum ergo in triangulo rectan. rulo M P C habeas hypotenusam M C m a , & eam thetum P C rab facile invenies cathetum alterum
52쪽
Iam faei'. Intelliges M a : P M , P Bid est ego
Invenies enim productum ex a -b dia. a -ι aequa. te quadrato mediae Uaa-ι o.
Dico ea esse inter se, uti quadrata lateium homologorum . Id ipsum distinctius explico. AEquales sintaneuli B & E ; sitque AB, BC:: DE, EF; ide que latera A B, D E sint homologa. Dico, trianis gulum A B C esse ad triangulum D E F , uti Λ uad . Nempe ABC, DEFr: An , DE. Demonstratio. Sit A Brua, B Crab, DE m e. EF ut quae est quarta pro b c portionalis post a , , , c - -
Triangula porro ipsa sic exprimes. Sumptis B C , E F pro basibus, sint altitudines AL, Du . Facile constat, triangula A B L , D E V esse similia ;nam anguli B , & E sunt aequales; item ALB, DVE; itaque etiam tertius B A L aequalis tertio E D v . Erit igitur ΛΒ, Λ L:: DE, D v.
53쪽
Ae si iam in utroque triangulo ABC. D E Fmultiplicaveris altitudinem per basim , productumque diviseris per a , habebis A BC m - . D E Fα - .
Comperies sine , tum extremorum , tum interme. diorum producta aequalia esse ia
Centrum C. Secto radio C B bifariam in P, ducta que perpendiculari P Μ , quae secet periseriam in Μ, ab extremo puncto A radii C A dueatur A M. Di- eo esse Α Μ duplam lineae P M , idest A M a P in Demonstratio.. Sit C BαC Ama. Erit CPiPBinia AP m a --- 3 a 3 ara - . P Μ cum sit media proportionalis inter Α P & P B γ
54쪽
Demonstratio. Sit B Cma, T C ra b . Propter angulum rectum B T C invenies B T
Ac tandem habebis summam ΑΒ - ACMaa2c c a b c . quae sane maior est , quam a a, idest
55쪽
recta BC. Ducatur BT perpendicularis ad C Aproductam in T. Dico summam TU' esse ,
minorem , quam B C ; desectum autem aequalem esse disserentiae a AT - aTCκTA. Quae disserirentia sane est negativa, cum sit TCκTA maior quam A T . BC α a
56쪽
I On dubito , mi Ratia suavissime, quin quae tD. bi de algorithmo paucis ante mensibus tradidi , ea iam, quod ingenium tuum , probe teneas, & usu atque exercitatione familiaria, ut ita dicam, tibi feceris; quapropter tempus esse arbitror, ut illa aperiam , quae initia praetereunda esse duxi, & alium in locum differenda , quo uberiorem habeas huius artis tractationem. Dicam igitur de potestatibus primum , tum de radicibus cuiusvis generis, & pauca attingam de quantitatibus vinculo quovis , ut aiunt, coercitis Si otium erit, etiam de aequationibus brevissime tradam . His te satis paratum esse existimabo ad communis geometriae problemata dissolvenda. Illud autem maxime cupio, teque etiam atque etiam rogo , ut quae hic scripta a me erunt, attente perlegas , ac tectam ipse singula mediteris, nec ante ad ea, quae secuntur, progrediaris, quam quae praece siserint, probe intellexeris. Quod quidem te moneo,
57쪽
II non quod moneri opus habeas, scio enim & qua voluntate s s. & quantum ingenio valeas sed est hae e praeceptoribus monendi consuetudo. De potesatibus , quarum exponen3 es numerus integer , O positi Uus .
SI potestates huiusmodi duae sint eiusdem quantitatis a , puta a ; monui iam ante has simul multiplicari , colligendo exponentes ambos 3 , & 3 in unum , scribendoque Et sane pro multiplicatis haberentur si littera a quinquies scripta rursum deinceps ter scriberetur , idest si scriberetur O-elies, E contrario si altera per alteram dividenda sit, puta a per a ; id fiet adimendo huius exponentem exponenti illius, scribendoque idest a . Et est sane m. a ς quae aequalitas statim se prodit, si
multiplices utramque partem per a . Quod si dividenda st a' per a F; praecepto insistens eodem , pones a 3 3 , id est . unde potestas existet cum exponente negativo; de quo genere insta explicabo. Si potestas quaevis proposita, puta a , e Uehen da ipsa sit ad potestatem secundam , id fiet utique, multiplicando eius exponentem per 2 , ponendoque . Et sane esset a ad potestatem secundam evecta, si bis deinceps scriberetur a a , idest quater scriberetur littera a. Ac pari ratione fi si a evehenda ad
58쪽
ad potestatem tertiam , multiplicabitur exponem eius a per 3 , poneturque aq ; si ad quartam , per η;
poneturqile . Omninoque multiplicabitur exponens per eum numerum , qui gradum Ootestatis indicat ad quam potestas proposita evehenda est. De potestatibus cum exponente negativo ANtequam ad propositum venio, res ipsa postulat, ut de numeris negativis pauca dicamus. Nega- divi numeri vis omnis in eo est , ut contrarium numerum tollat. Numerus - a tollit a; - 3 tollit 3;&e. Negativis his numeris invectis, universa num rorum series ex utraque parte in infinitum excurrit
Qua in serie si cuivis termino unitatem addas, is aequalis illi fiet, qui ipsi est ad dexteram. Sic 2, unitate addita, fit 3; item I, unitate addita, fit a;
item o , unitate addita, fit I ; item -I , unitate fit o; item - a , unitate addita , fit - I , &c. Eaque re apparet, terminos omnes seriei huius, proiscedendo a dextera ad sinistram , esse, alium alio, minores; minoremque esse I , quam 2; & o, quam x ; & - I , quam οἱ & - 2, quam - I, &c. Iam vero exponentibus ex utraque parte ex cu rentibus in infinitum , potestates quoque i pis ex utraque parte in infinitum excurrunt ad hunc modunia
Hinc illae exsistunt potestates a , aliaeque, quae Di 'god by Corale
59쪽
quae exponentem habent negativum . Hic inquiet aliquis. Est illud ipsum , quod ex mathematicorum instituto significaret littera a , si duabus deinceps vicibus scriber, tur; & illud ipsum , qtod significaret littera a, si tribus scriberetur vicibus . Quid ergo sit a' Nam si scribatur littera a vicibus o , ne scribetur quidem. Quid porro sit a R, aut , aut , cum scribi littera a vicibus aut
-- I, aut - 2 , aut - 3 non possit Ad haec sic repono. Ut scribi littera a non pos-st , neque vicibus o , neque vicibus -I , aut - Σ&c., puta tamen posse. Non est novum , neque mathematicorum consuetudine alienum, quae fieri non
possunt, ea putare facta esse , ac , si facta sint, quid inde sequatur, perquirere. Spatia duo solida penetrare in se mutuo non possunt. Id tamen fieri in spatiis quibusdam Euclides fingit , animadvertitque , si id fiat, illa sibi mutuo congruere; quo aequalitatem ostendit. Nemo est, quin pro impossibilibus habeatv - , & - 2; tamen convenit inter omnes, si radices eae sint, ac simul multiplicentui, ex iis effici- Huius generis exempla innumerabilia afferri possitnt. Puta igitur, litteram a scribi possvi
scribi potest vicibus I , aut, et , aut 3 &c. Hinc statim intelliges tria consequi. Primum illud. Potestates duae quaevis eiusdemisquantitatis a , etiamsi exponentem negativum habeant , non secus multiplicabuntur, atque illae, quae
60쪽
exponentes habent positivos. idest coli gendo exponentes ambos in unum . Multiplicanda lit ergo a 3 per a F , pones , id est a ' . Multiplicanda sit a Iper , pones idest &c. Secundo illud. Potestates duae quaevis quantitatis eiusdem a dividentur altera per alteram , si exponens huius adimatur exponenti illius, etiamsi exponentem negativum habeant. Dividenda sit ergo per , pones , idest ari Dividenda sit a per .a' , pones id est a y. Dividenda sit afl per',
Tertio illud . Si potestas quaevis exponentem habens negativum evehenda ipsa sit ad potestatem aliquam , id fiet , si eius exponens per eum numerum multiplicabitur, qui gradum illius potestatis indicat, ad quam evehenda est. Evehes ergo a ad potestatem secundam , si exponentem - a multiplicaveris per a , ac pones a '; ad tertiam, si per 3, ae pones arsi; ad quartam, si per Α, ac pones a 's &c. De valoribus singularum potesatum
ANtequam de his dico, praestat unum ponere de
potestate a*. Dico igitur eme a*m I. Idque sic ostendo. Est utique ; quippe quia, si
multiplicaveris per a' , essicies a ; neque minusessicies a , si multiplicaveris a pera . Atqui est etiam a , a :: a , I, uti manifestum est ; ergo est a 'm I. Hoc Di iliaco by Corale.