장음표시 사용
21쪽
obdo. tyoo, earums disserentia Iso Ostatuatur mensura propor
I io, ionis terminorum. Cum igitur haec proportio habeatpartes tres
sp 9 altera socoo. 8iooo, cum d/fferentia 'Ooo tertia SICO O. 729oo,cum differentia i OO GHibet veroproportionum harumsit pars terti uae olim,valebit etiam tertiam partem mensurae illius, lucet 'o rix . haec vero mensura Elementorum proportionis minor quidem est, quam primorum terminorum differentia oo oo,major vero quam sicunda differentia 'O OO,major etiam multo quam tertia io O. Consequenter etiam major quam differentia729 O num orum 729 OO,6 6IO: quam odifferentia 616i .numerorum 6 6io. J'o 0. Ac proindepropor
dit mensuram fusi tam o 33 Nec mini etiamproportionuioo Ooo. 81oo differentia 'o OO excedit mensura uam, filice duplum ipsim o 33 scilicet 8o66- quia termini minores 'ODO O, ct 8IO OOa uolantant rimo adiuncium 19OO. E contrario proportionis O OOoo, 6 6iodi erentia
22쪽
Si quantitates aliquot ordine magnitudinis dein i ceps collocentur, binae deinceps proportiones aequales facientes , ipsae quantitates continue proportionales j
erunt. lConcentur deinceps C cordine minores a
Mima inti,4,o , C proportiones aquHes,dici esse me iam inlproportionalem inter A C. Si enim non: erit velmaior,velmi si nor media proportionali su maior illi, O si verbi causa ipsa P ι,
med aproportionalis.Erit igitur At proportio maior quam Α , per . Ax quarem C minor quam AE. At si mediaproportionalis,tunc Eo EC proportionessent aequalesper I. Prop. N nigiatur minor erit media proportionalis quam B Sit maior,ositi rursum idem absurdumsequetur. Si ergo A B i aequalesproportiones, ipsa, si mediaproportionis,ctc- - -
Si quantitates quaecunq deinceps collocentur,ordine magnitudinis, quarum,quae intermediae, non suuinter proportionales medias,proportionis cujuscunque, sive actu continuatae, sive potestate continuandae interpositione mi illarum intermediae tales, proportionem extremarum non dividunt in commensurabilia. i. Comm Uurabilia enim ex eo dicuntur, quod habeant D mi booam communem me iram, quam quodlibet contineatsecundum certum numerum aliquoties exacte,s ut nihil, quodeamen si raminu sit, restet re uum. 2. Jam vero mensera proportionum communis,est se ipsa aliquaproportio,minor utraque me ranu . Omnis vero proportio est inter duos terminos. oportio repetitionest,mensurans aliam proportionem,
23쪽
JOANNIS E PLERI incipit ab uno mensurandae termino,eissociatalium pro ratisne quantitatis si minoris tum iEo jam pro antecedentis to, statuit altum consequentem Voc identidem,quoaduris permeatμr proportionis mensurandae quantitas: non aliter, quam cum intervasiopedum Circini metimurtineam , o pede Circini inna lineae extremitate pede alter punctu gnamus, deinde pe- depriore in hocpunctum transeato punctum aliud alteropede
metamur, versius ulteriora, donec emensi uerimus tota lineam. s. Et Proportisproportionem exacte mensurare dicitur,quando inhac continua terminorum interpositione se coaptatione tandem ultimus terminus proportionis mensurantu, cum scindo termino mensuratae coincidit inquantitate. Igitur irini itas illa proportionis men serandis continue repetita eskit,terminos continue proportionales per . Prop. Ergo si proportio aliqua duas proportiones exacte metitur, necesse es, ut termini, quos ipsa
mensurans interponit in cum i tu mensurandae terminis continuepropotionales. Si ergo nulla unquam , quantumvis parva proportiopoleis inveniri, quae repetitionesiui, terminos ultimos assequatur proportionum mensiurandarum, sic ut tam major communis term inm,quam duo minores proportionum mensuranda-rumsint cum mensurantis terminis interpostis continueproportionales proportiones infimi inter se incommensurabiles.
Cum duae longitudines effabiles non fuerint ad invicem , ut duo Numeri ejusdem specie figurativae,verbi causa ,duo quadrati, aut duo Cubi: non cadent interi las, longitudines aliae effabiles, mediae proportionales, numero tot, quot ipsa species postulat,verbi causa, Quadrati unam, Cubi duas,Bi quadrati tres, S C. Sint enim duae longit dines Am habentes quidem adinvicema
24쪽
LO CARITHMI. 13micem, ut numerus adnumerum, at non ut numerus Cubicus ad
Cubicum se quia decubo agimus, de dudus igitur medi proportionabbus erit dicendum sint ea B, C. Dico Bes c non se longitudines effabiles. Si enim quis contendat esse j es,esto hocpsitum. Sunt
igitur ut Numeri Sunt autem ulmediae proportionales inter A, D, ex pothesi Et quia etiam , D,sunt ut numeri, quippe e abiles, set supponuntur,habent vero duas medias V C, ut numeros,quare per ai octavi Eucl , o similes erunt lidi: quareper 2 7 ejusdem erunt adinvicem, ut merus adnumerum Cubicum. Hoc vero eis contraprimam proposimoni 'pρ-
the . Falsum igiturpositu uit, vocesse longitudine effabiles. Vera igitur eis negatio inpropositione comprehensa. Eodem modo etiam de quadratis, o de una mediaproportionali ratiocinaripossumus, deduectione ad impossibile nec mu is decaeteris Heciebus, post quadratum se cubumsequentibu .X. PROPOSITIO. Si ex aliquot quantitatibus effabilibus ordine magnitudinis invicem sequentibus duae extremae non fue- in ad invicem, ut duo numeri quadrati, aut duo cubi, aut duo alii ejusdem speciei; intermediarum nulla d detproportionem in commensurabilia.
Nam nisi duae quotitates effabiles recipiant media proportionalia effabilia, earum proportio non divideturperemabilem intermediam in commensurabilia per 8. Prop. sis quantitates no uerint intersi, ut duo numeri ejusdem lectet Hurativae, non recipio media proportionalia effabilis,per '. Prop. Gyare in intermediae quas propo siti ad mittit, cums te Iabiles, non erunt exproportionabbm mediis. Non igitur dividunt proportionem extremarum in commensurabilia.
25쪽
Omnes proportiones deinceps ordinatae, quae sint inter terminos effabiles aequalitate Arithmetica se inviceni excedentes,interses tincommensurabiles.
Nam termini extremi Iubilas vel recipiunt effabilem
mediam proportionalem quantitatem unam pluresve, vel non recipiunt. Si non recipiunt,num igitur effabili, sic ne medio Arithmetico dividitur eorumproportio in commensurabiliapers. Prop. Recipiant vero effabile medium proportionale, ut termini 89 , recipiunt enim reffabilem cum intui ad , quadratiri adquadratum Esi vero inter 8.i8, medium Arithmeti-cum 3,ideoproportio 8. II majore, quam S. , IJ. 8 minor, quam in I 8, quantitate utrissparvaeproportionis inter terminos Ir lysidproportio 2. 3, nulli reliquarum eis commensurabilis. Nam termini 8. 13. quia non iis adinvicem, ut numermi uratus adauum eiusdem Durationisper IO. Prop. non capiunt mediam vel mediaπproportionales effabiles, quarelueumeras I 2 non est iu ex iis numeris, tu inter 8913 intercidunt in continita proportione: non ea igitur commensiurabilis proportio 8.Iyproportioni 2 I3. vel8. Ir. Sic exii de undamentis, quia terminii 1. 8. non capiunt effabilem mediam proportionalem: ergo Ir. I i 3 18 sunt incommensurabiles, ad commensurabilem igitur 8. r. si 8. 8.es apposita incommensurabit scir. I 3. Tora ergo 8.ia, en ipsi 8.i8 incommensurabilis. Sic in I 3. IS. d. commensiurabili Ir. 18. dempta ens pars incommen 2rabilis tr is.
residua ergo 13 i8 ei incommens rabilis ipsi a. 8. inesproportio inter .i est θmmei irabilis' proportioni inter i 3. 18,
quia tota inter 8.i8 alterutri parti inter . I 3 est incommensiurabilis , ergo spartes invicem per i 6 decimi Eucl. Items sexir x es commensiurabiles,mc se am utras com nem hale; ἰt,
26쪽
Si quantitates quaecunq; deinceps collocentur Ordine magnitudinis, proportionis vero inter ma imas mensura statuatur disterentia inter eas, differentia inter quascunque alias,e positis, minor crit mensura sitae proportionis; si proportionis inter minimas mensura statuatur differentia minimaru disterentiae reliquae erunt majores mensura proportionis suorum terminorum. ut enim continue proportionalessunt quantitates o locata acta, velpotesarsupplendi omissas e tuncpate propρ-
βμmper Iesper III. Aut nonsant in proportione continua, s utpartes constituant incommensurabiles se tum conceptione mentis in in nitas particu is aequalesecari intelligereturpe i terpositas in nitas medias proportionales ita redigentur cum iis, quae actu sunt continue proportionalas ad eandem vim de monstrationis.
COROLLARIUM.Quydra superet mensura proportionis inter maximas dine rentiam earum huius mensurae ad hanc differentiam proportio minor erit, quam sequentis mensurae ad differentiam suam. cum pro portionalium eadem sit ratio.
Si quantitates tres ordine magnitudinis se insequatur proportio minimarum duarum, in proportione extremariam continebitur rarius, quam differentia minimarum in differentia extremarum S vicissim proportio
27쪽
i JOANNIS KEPLERItio maximarum in proportione extremarum Continebitur saepius, quam differentia illarum in differentia'
Contineatur enim in adiecto diagrammate differentia minimari iri, vel N indi erentia D N extremarum aliquoties licet non exa te se capiat proportio minimarum Bra, o mensuram differentiam , erit igitu roportionis A D, C semen sera minor quam ferentia D N per Iz rarim igitur
continebitur Arq,inmensura ipsius A D, C proportionis,quam in ND longiore,rarius laturo sproportio inproportione Vicis contineaturi fferentia in D, aliquoties: siti me uraproportionis A D, E. Eritproportionis mensura maior quam pius igitur erili M, in me ura ipse
Si quantitates tres ordinentur deinceps,aequalibus differentiis invicem excedentes proportio inter CXtremas est major quam dupla proportionis maXimarum. Sint tres quantitates Am maxima. E media, G mini-
ma, texcessis sprimae supersecundum D , aequalis excessui
scundaesuper tertiam tueti N. Dico,proportionem inter F, maiorem esse quam duplam ipsius inter AD ad fg. in ensuretur enim proportio MD, Bra perdifferentiam Di per 3. Postul. Erit igitur mensura proportionis F maior quam differentia i E , vel NMpem. Sed M N aequat Di mensuram' proportionis inter A D, B E. Ergo mcnsuraproportionis BAE, C F
28쪽
eli maior mensura proportionis AD, B Etsi ipse proportio
B E, F maior estproportione D, B E. Se roportio A in Cacomponitur ex proportione Am , cor exproportione B E , Caper Axioma I. Ergo proportio D, Capartes habet A D, E, ct eam maiorem Bis Cis,maior igitur dupla ipsi A D, B E.
COROLLARIUM. Hinc sequitur semissem proportionis extremarum esse majo-xem proportione maximarum,minorem proportione minimarum.
Si duae quantitates proportionem constituerint, dimidium vero quantitatis majoris dematur de quantitate utraq; , residuae quantitates proportionem constituent majorem dupla prioris. Sint quantitates Io. 9 ct ablato dimidio ipsius io hoc est, . ex utras,relinquantur . . Dico,proportionem inter . . duplai tu i O. 9. maiorem esse. Duplicentur enim s. q. ent IO. 8.eriisproportio eadem . . quaesto. 8. Differentia vero io 8.
hoc y 1,dupla erit differentiae 1. . hoc est differentiae O.' sci
licet I. Si vero tres quantitates ordinentur IO '. 8 quarumprima IO. excedat tertiam 8, duplo eluta, quodexcedit cundam', seu in quibus aequalessent excessinio. 9 o 9. . proportio extremarum I O. 8 ideis . . maior est duplai tu IO. 9. maximarum per Isi. Ergo.
In commensurabilium proportioni partes aliquotae sunt inter se in commensurabiles.
Nnm pars aliquota enisui toti commen serabilis ut tota ilia perhibetur totisocia incommensurabilis, ergo pars unius toti alteri
29쪽
Si mille numeri invicem succedant ordine natura si, differentes bini unitate, initio facto a maximo ooo, deinde proportio Inter maximos Iooo. 999. bisectionci Continua secetur in partes minutiores,quam est excessiis proportionis inter proximos 99'. 998, super proportio neminter maximos Iooo. 999: minimum vero illud Elementum proportionis, inter Io oo. 999. Capiat mensuram, differentiam inter o oo,&proportionalem illam mediam,quae alter elementi terminus est: ulterius si proportio inter Iooo. 998 seorsim secetur in partes duplo plures,quam prior proportio inter Iooo. 999,S hujus separatae divisionis minimum elementum seorsim capiat mensuram, suoru terminorum quorum alter sit Io oo.)
differentiam eodemq; modo quaelibet proportio ipsius
Iooo adsequentes numeros, ut 937, c. bisectione continua secetur in particulas tantae magnitudinis, ut versentur inter sesquiplum S dodrantem elementi, quod emerserat exsectione proportionis primae inter Io oo c999 singulisq; elementis mensura detur a suorum terminorum differentia, maxime existentes Ooo,&si hoc facto, cuicunque ex mille proportionibus, mensura constituatur ex tanto numero mensurarum elementi sui, in quot elementa ipsa divisa fuit: proportiones omnes, ad omnem calculi subtilitatem, emendatas exactasq; habebunt mensuras. Nams2cce antinvicem numeri IOOo. 99'. 998 sc o
30쪽
s 3 minima proportio: major inter proximos ''. 908: haec sterum major proxima inter998 99 7. csempero hoc peri . Pro Ponec JOO. 499 sat major quam dupla ipsus Io oo. 999. per Prop. Is Dicosecundo excessumsecundo'erprimam fore minimum sic ut simper excessiinsequentis super praecedentem sit major priore excessu: ut quoties sequens proportio duplo longius distiterii prima,quam aliqua praecedentium, toties ex cessis sequentissuper primam amplius quam duplo majorstexcessu praecedentis. Fiat enim N po 4 9 Vris' '' 'βIgiturproportio ad 998 ea eadem quae o oo ad yyy. Aufer ista proportione 999. yy8. reli'quitμ excessus 998olo.
proportione 99 8 9 9 7 relinquitur excessus proportio inter ooz. o 997o oo. At in priori excessu proportionis 998olo. 8odo, termini disserebant pera in hoc vero excessu termini 997o Or. 99 7oo odisseruntpera Atquisaequale uiseni majores ierminis; es istic,proportiosequens, ubi dupla disserentia
prioris inuisset major opum M per i . Mult igitur major erit
proportio, ubi etiam mino uerit terminiis quiproportionisiquenti eis loco majori ilicet 997O Or. Lucis causa inumeri miIoresspauciores,es qui etiam
unitate disserant, ut: IO. 9. 8. 7. 6. S. . ba A. Dico excessum pro
portionis 18 7superproport. IO. 9. amplim quam duplo majorem esse quam excessum proportionis '.' super eandem O. 9. Reducaturenim utprii trima proportio inter O. 9 cumsingulissequentium, quas bini deinceps numeri conlituunt, reduc intur, inquam,