장음표시 사용
31쪽
1o JOANNI KEpLERI inquam, adcommunem terminum maximum. Hic etiam excessuum termini disserunt magis, magisq=,ut quia '71. 7 O. ea locose cundo,disserentia 2 utprioris ,inter 8 I. 8o, dupla indicat excessum t. 7 O. esse majorem duplo ipsis 8I 8 o. Si s 4 so loco quarto major duplo est ipse a. Olocosecundo. Sic 18. I loco
octavo major duplo ipsi j . 1 o. indice merentia ,dupla i iii
Cum igitur in priori exemplo milli numerorum, minimus excessus it 998oo I. 998o oo facile scamm proportionempyima Io oo. 999.in partes aquales,minores,posito excessu numero. Reducatur enim illi excessus ad terminum minorem dividendae,
Auscilicet ut 98o ooad 998oo ,s 99'oo oo oo ooo ad 999oo Io oroo . orc. unde apparet disserentiam terminorum eri iooroo . c. quae eispansio major quam misi mapars dedisserentia terminorumproportionissprima. Ergoper 3 non totvlapars proportionis Io Oo. 999 ni in excessu proportionis sequentis 29.998.
32쪽
quaeratur ergo medium proportionale inter o Oo. 999- secabitproportionem terminiori , inaequales dum partes,peri Prop. quaeratuscundo inter hanc inventum m iam, alia media proportionalis,ut iuprior media inteLigatur ircumdata duabm mediis proportionalibin aliis, quarum tamen νη- solum, versinterminum iooo. investigatione opinere. Per holitur tres medias ut est in Ax. 1. secabiturproportio in partes 4. Sicproportionalis tertia interprius inventam, es o OO secabit in partes' quarta inis,ssi constequenter per Polui. t. i's2.6ψ.I28. 2S6. I 2. Io 2 . quod tactu decimo Hic ita, num ris Io 24 certo constituitparticulasproportionis Io oo.999, minoressura invesigato excelsu quia proportio capit hujus excessus minus quam mille hic ero constituuntur mille viginti quatuor particuti Hic igiturparticula millesima vicesima quarta capiat loco mensura, disserentiam terminisi minoris seu mediae proportionalis decimae a termino majore ooo per 3. Posulat. pergimus adsimile emonem proportionis inter Ioo O. 998. Haec igitur eis incommensurabilis priori Io oo. 999. da per II. Prop.propor i 099. 098. si incommensurabilis proportioni Iooo. 999 qui termini bini disserunt unitate aequaliter,
Iedproportio Io oo. 998. componitur existis interse incommensurabilibusper Axiom. I. Cum vero totum in incommensiura
bilia sicatur, ipsum ingulis est incommensurabile per 17. dcc
praemissae indicatu Pars igitur ejus millesima vigesima quartapor quam duplo major es miximo elemento prioris secetur
igitVr, ut totiu antpartes O 8. per inquistionem. undecimae proportionalis. Tuncsane eismeni hoc uiuo eri proxime aequale
33쪽
11 IOANNIS KEpLERI elemento minimo prior ,majus tamen illo etiamnum, O i ii 3- commensurabile per i .praemissam. Si ergo illud accepit mensuram, disserenitam suorum terminorum crjam Hementum proportiεnis, quippe majus illo, mensuram habebit majorem disserentia Forum terminorum, per i a Prop. Ac proindes prioris elem enti terminorum disserentia multiplicetur ora iespro mensura proportionis into Iooo. 99 iuncposterioris elementi terminorum disserentia,multiplicata zo 8ies, adhuc minor erit mensera proportionis inter
Veruntamen si attendamus ad quantitatem Dus Myectus,illa est omnin btili lima,se nulla calculi diligentia obseriabilis vita enim proportio inter Ooo. o 'ρ' secta es inparticulasplus quam illa, o elementi amparvi mensura constituta es disserenita ierminorum ioooooo M '99999 scilicet s. o minor adhuc cerae proportioproxima inter 299999 2'9998. majorprioriper a Prop.Mensuram habebit, quae excedat terminorum disserentiam primam vix millies mille usui; cproinde compositaproportio QOpopo 29999 majores duplaprio Vis ix millies millesima prioris particula. Aijam elementumsecundaeproportionis inter Io oo. 298.insuperioribus constitutum,
nequaquam est majm duplo prioris proportioni, elemenio sed ob idipsum factae antpartes,non Lo , .sed o 8. ut etparsi a
proxime aequalispriori,quomodo excessit illam rursum vix mi le aparte illiu flergo totu veradderet disserentiouae mi lies misi mam, adsonstituendamproportioni mensuram pars utique milli a totim non plura et, quam millies misi ima prioris elementi miste mam. Transeamus adsiectione quentis Proportionis inter io oo. 997 Hac vero spaqsio major quam triplaprima inter Looo.
34쪽
999 mares cetur in aequales or . particulas eparticulatalis etiam erit paulo major quam tripla elementiprimi. Sin ulterius ilia bisecentur per uniscimumproportionalem, exscri numer 2O68.erit1 unaquHibet major quam squialteraprimς lementi. Nam tripudimidia es ipsa e quialtera totim. aergosiverantprimum elementum plus quam dimidio Uiur W- centur denuo con stitutione duodecim proportionalis , ut antpartes qu libet major dodrante prioris elementi, qMas quialteri dimidium est dodrans Satis igitur appropinquat et mentopriori. Si igitur huic kmentoproportionis tertiae mensurasior ponatur, differentia terminorum Uius peccabit quidem ista exc6se,pem. praemissam, alpeccato nunquam aestimabili,ob causas insecundasectione dictata.
Hocpamproportio inter Io OO.ν96 persicrionem in Ao96. paulo majussortitur elementum,quam euelementumprimae,se proportio inter Iooo. 99s paulo majus quiniquantisprimi elementi. Atproportio inter Io oo. 99 jam per tredecimamproportionalem,capere debet parte, isti ut trusum paulo majores dodranteprimi elementi. Elproportio inter Ooo. β' paulo
majores habebit'tem oritavisprimi, proportio inter Ooo.
9ι rursumpausio maior primo elemento.
Hoc igitur tanti fer obtinet, quoadnumeri ordinis millensruproximi invicem appropinquaverint magis ipsi soo im dioprimi,quami primo loOO. Nam quia proportio inter soo. 49' maior ea quam δε-plaproportionis interio oo. β' 'per Is ramissum Iani igitur excessu ipsiu soo 4' super ipsam Ooo. γ' superat ipsama ooo. 'ν quare inscitioneproportionum, quae proxime antecedunt proportionem inter oo. ct 99 per unam sperabundantem, sectionem, veletiam quadrisectio em, redigodum
35쪽
IOANNIs KEPLERI ea elementum emergens adpro inquitatem elementiprioris in propositionepraefinitam. At in iis quaesequuntur proportionem inter Jo I. se oo semoneporro non est M. NamqWaproportio inter o o. 99 eadem est quae inter Io oo. 9βῖ iccirco uerit notiscata Iooo. 998 6 hoo Jo C. noscetur etiam compo sita
ex utra ioo O. 492 sine sectione laboriosa. Igitur inquisitio proportionalium desinit in proportione dupla cilicet inter o oo.
Cognita proportione numeri cujuscunque ad primum o oo . simul cognoscitur etiam numerorum reliquorum continuae ejusdem proportionis, ad eundem, primum IO OO. proportio.
Notasiit mensura proportionis inter Etsi ut A ad B ci ad C, C ad D, es Dadi. Erunt igitur aequales mensurae proportionum harum singularum ei, quae estprimo notae A ad Bi, per I. P ut Iam vero proportio ad Ccomponitur exproportionibus, ad B, o B ad C, per T. Ax quare semensura proportionis AC componetur ex duarumproportionum men
suris Idest, mensura i tu Ara duplicata, dat mensuram ipsi
A C,triplicata ipsius A D,quadruplicata ipsius ME. Hocpacto cognita proportione inter IO OO. 9PQ cognoscitur etiam ipsim o oo .ad 8 Io, se ad 7λ'
Et ex Io oo. ad 8oo .etiam IO OO ad G Q es ad j I 2. Et ex Oo. ad 7oo. etiam IO OO .a 'Q ct ad 3 3. Et ex Io oo. ad O etiam Io oo. ad 6 9 ad 1ic. Et ex o oo. ad Soo. etiam IO OO.ad 2SO. 9 ad 2J. COROLLARIUM. Hinc oritur praeceptum quadrandi,cubice multiplicandi, &c. xvici si in radicem quadiatam cubicam, &c extrahendi in primis
36쪽
L Ili I. 2j numerorum figuris Est enim ut Maximus Chiliadis tanquam deno-rt minator ad Numerum propolitum tanquam numeratorem sic hic ad factionis quadratum,& hoc ad cubum.
Cognita proportione numeri ad primum Io oo si duo alii in eadem inter se proportione fuerint eorum Unius proportione ad Io oo cognita, noscetur etiam reliqui proportio ad eundem Io oo. Sit AIO Oo, se nota mensuraproportionis A ad B. Si vero ut ad B sic ad D, orsit nota mensuraproportionis A ad C. Dico,etiam innotescere mensuram proportionis A ad D sitia enim nota est mensura ipsius A B proportionis mota etiam erit ipsimci proportionis, ut quaistiponitur aequalis,per i Postv Notumero eu etiam C; , Seu compositae AC es Dier I. Ax.
quare etiam mensura Uim componetur ex mensura ipsimm PC,ut ex mensura ipse Ci,ident,i in ACOROLLARIUM . Hoc pae o ex notificatis proportionibus quindecim, prop. I 8. praemissis, noscentur aliae centum viginti, Nunaerorum intra mille-ἰ natium,ad ipsum millenarium.
uoties enim dat uerint proportiones ad ioco duorum numerorum talium, in quibin velambobm, duos ultimo locos habuerint phrae,ut 9 Oo. OO,vel in eorum ter quidem duos,
in reliquo vero unum, ut TOO. 8IO, velut TCOAo. e unum
solum eum s ultimum in utros numero locum ex tribus obtinue rit , phra quae tamen hanc c)phram antecedit gura in altero numero, exparibuύ in reliquo quin ira uerit, ut Oro 'io ic
37쪽
16 IOANNI KgpLERI 61 o. osccio. 9JO. vel si iter quidem phra innitimo loco ruerit, ex paribus arate ueri Sia i 1 mel 1 reliqum fuerit 16 o. omnibin hisce casibu instituta multiplicatione numerorum proveniunt i ne tres Iphra, quibus abjecti, formatur merm,unus ex mille ordinis naturalis euprogressionisArith
COROLLAR Iu II. Hinc oritur praeceptum tractandi regulam trium, quando uno
Nam illi occurritprimo loco in tali tu AIO OO.dati,quid c 'Tunc additur mensura proportionis B,admensuramproportionis A C,it tmensuraproportionis A D. Sin autem ODO. occurrat locosecundo vellertio,in talist. Hi io oo,quid c melialii dat quid, rora Tunc aufertur mensura proportimis B, , amensura pro-γrtionis Α ,velejus multiplicisproxime majoris,ita relinqui
tu mensura vel ipsius proportionis AD, vel ejus aeque multi plicis.
Quando fuerint ut primus ad secundum Gic tertius ad quartum,notae vero fuerint proportiones ipsius IO OO. ad tres priores, innotescet etiam proportio ejusde Io Oo. ad quartum Sit enim Pio oo,ost ut Bad C c Dad E. Notae vero sintproportiones C, Am Dico innotesiere etiamproportionem ME. Nam quia ut B ad C,sic L ad Ε, aequalis erigitur
38쪽
Ac tunc Ais bis accessit Vicissi pros Esimatur At propor-rio quaesita,tunc Ara semellantum accessit. Si ergo hune iis A D, Ac notis, ab uteris A B relinquitur Ara proportios V sita. COROLLARIUM .Hac methodo praeterquam quod superiores Chiliades multua erato exquiruntur,accedunt illis insuper aliquot aliae. COROLLARIuM I. Hinc oritur praeceptum tractandi Regulam trium , quandu spiam occula it Lotundus ara os,utri sic:
Mensura cujuslibet proportionis inter Inoo.&numerum eo minorem, ut est definita insuperioribus, expressa numero, apponatur ad hunc numerum minorem in Chiliade, dicaturq; LO G ARITH Mus ejus, hoc es ,
39쪽
18 IOANNIs KEPLERI habet ad I OO. Numerus ille, cui Logarithmus apponi
Si primus numerus fit semidiameter Cir culi seu Sinus totus omnis numerus minor, Ut SinuScomplementi alicu)us arcus, Logarithmum habet majorem sagula arcus, minorem Vero excessu secantis arcus supra radium seu semidiametrum, excepto unico proximo post semidiametrum , quia illius Logarithmus ex hypothesest aequalis sagittae. Sit A centrum circuli. D semidiameter , DI DAE arctaes, eorumque Sinus Sinus vero complementorum sint Α, in sagitta C D, B D. Sit autem ut . , ad AC,sic AC ad AB i mpli inteorundem arcuum secantes AC, EF per terminos I. E in tangentes Feducti ori ita aequalis ascindatur ab A F,quaest ut , denique t CD mensura proportionis C A, D, ut minimi elementi arbitrarii. Dico , mensuramproportionis N ad AD , hoc ex Logarithmum ipsi Bamajorem esse quam Bi, minorem vero quam Eo, quodma torsit quam BD,demonstratum e upra propostione duodecima. d vero minores t mensurae proportionum harum I G. Cascprobatur. Primum dei A,cum in a Cisagitta,utpote in minimo
40쪽
nimo proportionum elemento ponatur esse Logarithmur UMC A Cisane est minor quam I C. Vt enim C A ad Ara sic ', hoc est , DA ad AC, quia D Gesci parallati. Est igitur AS media proportionalis inter C A , , G. Vt igitur, A ad AD, sic disserentia, A, AD , hoc es c D ad disserentiamstequentem, hoc ea ad I C. Sed CAeu minor quam AD, ergo es Cis minor quam C, Sed CDes Logarithmissi i C, Sinus complementi arcus ii,se L est excessissecant eiusdem arcus Ergo Logarithmus minores hoc excessu, Transieamus ad BA: cuius Logarithmus maior est quam B, emonstrandum est,illum non esse tanto maiorem ipsa BD, quin interim maneat minori o EI. Rursum igitur Dei meaea proportionalis inter BA se AF Et quiaposita es ut 5 Aa AC sic CA ad AD quare etiam ut EAad A G,vel AUM K A, vel GA ad A F. Sunt igitur continue proportionales is A B,
AC, AD, A X, vel AGO A F. In eadem igiturproportione sunt etiam C, CD, I G, velEK9KF. Minor veros CD,
quam I G,ut prius sensium, minor igitur erit etiam G vel Eue, quam UE.Tota igitur Es,maior es tuam dupla ipsus G, mn io magis igitur Et maior erit quam dupla ipsim CD minor .i proportionis inter BA, AD ,ut quae dupla est in A, AC per .propositisinem mensurasteu Logarithmus i mi A,spra cis duplus ipsius Ciperi P ut GMinor est ergo LVarithmini tm A excessi ecantu EF. Erat autem malo agitta B D.ntet ergo propositum.
Iisdem positis, sagitta arcus cum excessu secantis superat duplum Logarithmi, ad Sinum complementi