장음표시 사용
101쪽
Miscellanea Mathematica. ' O Idenominatiot Quippe inter operandum nihil interest cujus generis sit radix aliqua, quandoquidem omnes absque signo radicati notatae, iisdem subsint legibus, & ad eundem modum tractentur. Cruda quidem sunt haec & impersecta, quamque nullius sint pretii ut a me proponuntur, sat cerno. Tu autem, clarissime adolescens, cui nec otium deest nec ingenium, ex hocce sterquilinio boni aliquid fortasse extraxeris. Caeterum haud scio, an ea quae disseruimus tyronibus reliquos ista flocci facturos scio) quadantenus usui esse possint, eorumque ope disquisitionis analyticae filum nonnunquam enodetur Climinatis, cum ipso signo radicali, operationibus quae illud comitantur heterogetaneis. Vtut id sit, mihi visus sum iis ex parte adhibitis, vulgarem de surdis doctrinam, brevius & clarius quam ab ullo quod sciam factum est,
posse explicare. Proinde rem ipsam aggredior. Radices surdae dicuntur esse commensurabiles, cum earum ad invicem ratio per numeros rationales exprimi possit; quod si fieri nequeat, incommensurabiles appellantur. Porro si propositis duabus radicibus sur dis, quaerere oporteat, Utrum sint commensurabiles necne; inveniatur exponens rationis existentis inter potestates quibus praefigitur signum radicate: hic si sit potestas persecta, habens eundem indicem ac radices propositae, erunt illae commensurabiles: sin minus, incommensurabilescensendae sunt. E. g. Sint radices propositiae P et & s . ρ fractio
quadrata exponit rationem potestatis unius et ad alteram S ; adeoque radices sunt commensurabiles, vi g. et : I s : 2:3. Proponatur denuo Paeto & Ias: ratio numeri 32o ad I 35 exponitur per οἴ, cubum nempe persectum, cujus radix ἴ indicat rationem radicis unius I aeto ad reliquam , 123. Demonstratio manifesta est, siquidem norunt omnes radices quadratas esse in ratione subduplicata, cubicas in subtriplicata, bi quadraticas in subquadruplicata, & sic deinceps potestatum respectivarum.
102쪽
92Mi Pellanea Mathematica. Quod si radices sint heterogeneae quarum exploranda est ratio, ad idem
genus reducantur, involvendo numeros signo radicali assigos, singulos
juxta indicem radicis alterius ; quibus sic involutis praefigenda erit nota radicalis cum indice ex indicibus primo datis in se mutuo ductis conflato. E. g. Sint radices surdae heterogeneae I s & II. Cubatis 5,& quadratis II, proveniunt I 23 & Ia I : his praefixum signum radicate cum indice 6 praestat radices homogeneas γ Ias & Ieti. Hujus operationis ut cernatur ratio, designemus P s per speciem quamvis sim
Additionem quod attinet radicum surdarum, illa, si sint commensurabiles, fit praefigendo summam terminorum rationis signo radicali, cuisu gendus est communis divisor, cujus ope dictae rationis termini innotuerunt. E. g. P a - s s 6. Nam ex antedictis, & iis quae sequuntur de multiplicatione, P 2 a P 6, & Ps a P 6. Ad eundem modum fit subductio, nisi quod differentia terminorum exponentis signo radicali praefigatur. Si addendae sunt aut subducendae radices surdae incommensurabiles, mediantibus signis Φ aut - connectantur. E. g. o 6 in ossi& 6 -o 3 sunt summa & differentia radicum nu merorum 6 & 3; quo quidem modo surdis adduntur aut subducuntur
Si radix surda per aliam homogeneam multiplicanda sit; rectangulo potestatum praeponatur nota radicatis, simulque index communis. E. g. 3 X a I & κ π o. Ad cujus praxeos demon
strationem, designentur radices numerorum s & per b & d, ut sit bb s& G & liquido constabit, quod bb G bd i. e. radix quadrata
producti aequatur producto radicum quad. Idem ad eundem modum ostendi potest de aliis quibuscunque radicibus, cubicis, hiquadraticis, &c. Radices
103쪽
Misellanea Mathematica. , 93 Radices heterogeneae, priusquam multiplicentur, ad homogeneas reducendae sunt. Si numerus rationalis in surdum ducendus sit, elevetur ille ad potestatem datae imperfectae cognominem, cui praefigatur nota radicatis, unaque ejusdem potestatis index. Caetera ut Prius. E. g.
b κ μ c b ' si Vel b c. Divisionem quod attinet, quoties dividendus & divisor sunt ambo radices surdae, ablata si qua sit) heterogeneitate, nota radicalis cum proprio indice quotienti potestatum praefixa, quotum quaesitum eXhibebit. E. g. 3 a j. Si Vero ex duobus alteruter duntaxat numerus seu species signo radicali assicitur; reliquus, juxta indicem radicis datae involutus, notae radicali suffigatur: deinde ut prius. E. g. 96 m 96 6 m ' l. Vel sine praeparationea
ba dia Haec, Velut praecedentia, facillime
NON ita pridem incidi in librum cui titulus, De Imperio Solis G
Lunae in Corpora humana, authore viro cl. M. D. & S. R. S. Qui sane quantus sit, & quantulus sim ipse, non ignoro. Sed ut libere dicam quod sentio, sententiam ejus De ADtu Aeris, quam ibidem explicatam dat, utpote celeberrimi N Ioni principiis innixam, ambabus ulnis amplexus sum. Verumtamen haud scio, an author ingeniosus phaenomenon quorundam isthuc pertinentium causas tam recte assecutus sit. Quam vero justa sit dubitandi ratio, tu, cujus perspectum habeo acumen, OP-
104쪽
Tribuit vir cl. altiorem aeris circa aequinoctia tumorem figurae sphaeroidali terrae : differentiam insuper inter aeris intumescentiam, quae a
luna meridionali, & illam quae a luna ut ita loquar) antimeridionali in
sphaera obliqua excitatur, eidem Causae acceptam refert. Ego vero neutrius istorum phaenomenon explicationem ab oblata sphaeroide petendam duco. Propterea quod, Primo, quamvis sententia quae massam aereo-terrestrem ea esse figura contendit, rationibus tam physicis quam mathematicis comprobetur, & nonnullis item phoenomenis pulchre respondeat; non tamen apud Omnes Usque adeo obtinet, Ut nulli veteris, vel etiam oppositae sententiae fautores, iique non minimae notae viri, hodie reperiantur. Et sane memini, D. Chardelloti astronomiae peritissimum, abhinc plus minus sesquianno, mihi indicasse, sibi ex observationibus astronomicis axem terrae diametro aequatoris Compertum esse longiorem: adeoque terram esse quidem sphaeroidem, sed qualem vult Burnelius, ad polos assurgentem, prope aequatorem vero humiliorem. Attamen quod ad me attinet, mallem quidem viri clarissimi observationes potius in dubium Vocare, quam argumentis quae terram esse oblatam demonstrant obviam ire. Nihilominus, quoniam sententia ista non omnibus aeque arridet, illam tanquam PrinCipium ad phaenomenon ut tum explicandum adhiberi nollem, nisi res aliter commode explicari ne queat. Sed secundo, tantum abest quod supradictorum effectuum ex plicatio sphsaroidalem terrae figuram necessario poscat, Ut vix ullam inde lucis particulam mutuari videatur: id quod, appositis quae in hanc rem scribit vir clarissimus, ostendere conabor. Altius inquit) solito se attollit aer circa duo aequinoctia, quoniam cum requinoctialis linea illi globi terres; is circulo adversa respondeat qui diametrum habet maximam, utrumque sidus dum in illa Uersatur terrae es vicinius. De Imp. Sol. &Lun. p. 9. Jam vero, utrum Vicinior iste luminarium situs par sit attollendo aeri in cumulum solito sensibiliter altiorem, merito ambigi potest. Etenim tantilla est differentia inter axem transvertum & Conjugatum ellipseos, cujus volutione gignitur sphaerois terrestris, ut illa ad
105쪽
Misellanea Mathematica. , 9 sad sphaeram quamproxime accedat. Verum Ut accuratius rem prosequamur, designet a o b d sectionem per polos massae aereo-terrestris, in qua sit de axis, ab diameter aequatoris. Jam inito calculo, deprehendi vim lunae attractricem in b vel a non esse sui parte sortiorem quam foret in o vel 4 si illa polo alterutri directe immineret, & proinde disserentiunculam istam effectui ulli sensii bili edendo imparem omnino esse. Considerandum etiam, lunam ab aequatore nunquam tertia parte arcus b d distare, dictamque proinde quantulamcunque differentiam adhuc valde minuentadam esse. Quod autem de luna diximus, id de sole, cum multis vicibus longius absit, adhuc magis constabit. Verum quidem est, D. I ad alias insuper causas aestus prope aequinoctia altioris attulisse; viz. agitationem fuit sphaeroidis in majori orbe ser Ohentis majorem, preseterea Tim centrifugam essectum habentem eo loci longe maximum. Quod ad primam, etsi illa prima fronte nonnihil praese serre visa sit, fatendum tamen est, me non omnino PerCipere, quomodo aliquid inde ad distinctam rei propositae explicationem faciens colligi possit. Quod ad secundam, constat sane vim centrifugam prope aequatorem esse longe maXimam, & Propterea massam aereo-terrestrem figuram oblatae sphaeroidis induisse : quid vero aliud hinc sequatur non intelligo.
Verum etiamsi concedamUS aerem, propter causas a clarissimo viro allatas, circa aequinoctia ad aequatorem supra modum tumefieri ; non tamen inde apparet, quamobrem apud nos, qui tam Procul ab aequatore degimus, tum temporis altius solito attollatur: quinimo contrarium sequi videtur. Sequenti pagina sic scribit D. I ad Ut snem tandem faciam, in iisdem parallelis ubi lunae declinatio est, illum cHi polum
106쪽
Eum mersus qui altisimus insurgit, Calidissima es attractio, cum illa ad ejus
loci meridianum Uerticem accedit, minima vero, ubi se enit ad meridianum loci oppositi , quod contra contingit in parallelis his adverss. Causa es in sphaeroide terrae aetherissique Aura. Ego vero causam non esse in terrae & ambientis aetheris figura propterea puto, quod posita terra vel persecte spherica, vel etiam oblonga, idem certe eveniret, uti infra patebit. Restat ut harum rerum explicationem ipse aggrediar, siquidem eo praesertim nomine suspecta mihi fuit ratio a sphaeroidali terrae figura deducta, quod, nulla ipsius habita ratione, res tota clarissime simul ac facillime exponi posse videbatur. N fontis, Operis sui Physico-Mathematici Lib. 3. Prop. 2 . ubi aestuum marinorum Phaenomena explicat, haec habet: Andet etiam estistis utri que luminaris ex ipsus declinatione seu disantia ab nequiore. Nam si luminare in polo consitueretur, traheret illud sugulas aquae partes consanter, ndique actionis intensone S remi one, adeoque nusiam motus
reciprocationem cieret. Igitur is inaria recedendo ab AEquatore solum versus esectus suos gradatim amittent, G propterea minores ciebunt usus in f giis sitialibus quam in inquinoctialibus. Atqui non alia causa vide
tur quaerenda ullius Phaenomeni aestus aerei, quam quae ad similem effectum in aestu marino excitandum sufficiat. Sed ut id quod a viro per totum orbem longe celeberrimo breviter adeoque subobscure traditum est, uberius exponam ; sit in priore figura a d c b meridianus,& a b axis massae aereo-terrestris , sol autem & luna in polo constitui
concipiantur. Manifestum est, quamvis massae aereae partem, puta d, durante circumvolutione diurna, eandem semper distantiam a luminaribus tueri, adeoque vi ubique aequali in eorum corpora trahi. Proinde aer non uno tempore attollitur, alio deprimitur, sed per totum diem in eadem haeret altitudine. Verum secundo, in eadem figura repraesentet a c b d aequatorem aut parallelum quemvis, luminaria interim
in plano aequinoctiali existant; quo tempore manifestum est, tum ipsum
107쪽
Miscellanea Mathematica. ' 07 aequatorem, tum singulos parallelos, ellipticam induere figuram. Mani sestum etiam est, aerem qui nunc a, apicem axis transversi, obtinet, adeoque altissimus insurgit, post sex horas, c, extremum axi S conjugati, ubi humillimus deprimetur, occupaturum, maXimamque proinde motus reciprocationem cieri. Ut igitur rem omnem simul absolvam, gibbos sphaeroidis aestuosae triplici ratione locari concipiamus , vel inpolis, vel in aequatore, vel in locis intermediis. In primo casu, esset planum rotationis diurnae ad aXem sphaeroidis perpendiculare, adeoque circulus; unde nullus foret aestus: in secundo, esset ad eundem parallelum, adeoque ellipsis, inter cujus axes maxima sit disserentia; unde maximi forent aestus: in tertio, quo magis ad situm perpendicularem accederet, eo circulo Vicinius esset, adeoque minores serent aestus. Reliquum est ut demonstrem, disserentiam quae est in sphaera obliqua inter aestum quemvis & subsequentem, Ubi luna extra aequatorem vagatur, terra posita vel oblata, Vel ad amussim sphaerica, vel etiam oblonga, perinde causatum iri. Sit a b axis
mundi, g d aequator, i locus quivis, s k loci parallelus, h l axis sphaeroidis aestuosae ob actionem,
potissimum, lunae utrinque tumentis. LUna autem prope I constituatur. Demonstrandum est chaltitudinem aeris, luna prope loci meridianum existente, majorem esse cf aeris altitudine, ubi luna meridianum loci oppositi transierit. Ducatur p s parallelus priori ex adverso respondens, & producantur c h, cyad p & s. Per constructionem arcus p b aequalis est arcui I; ergo arcus
ih major est arcu st l, ergo propter ellipsin recta i s minor est recta Adese minor st e. Q. e. d. UOL. II.
108쪽
De Coso aequilatero M CYLiNDRo, eidem sphaerae circumscriptis.
ad I ; & perpendicularis ex angulo quovis ad latus oppositum demissa, est ad eandem, ut 3 ad a. Haec cuivis, algebram & geometriam utcunque callenti, facile consta
Invenire rationem quae existit inter cylindrum & conum aequilaterum eidem sphaerae circumscriptos t
Ponamus diametrum & peripheriam basis cylindri esse singulas unitatem. Eruntque, per lemma, diameter basis Coni ejusdemque peripheria singulae o s. Proinde I X i m bas cylindri; & m summae basium. Et 3κ i. a m Q m bas coni, & superficies cylindri seu quadruplum baseos α I. Et superficies simplex coni m l α - 6. Nam o ἰ h. e. media proportionalis inter a latus coni, & basis radium seuo Q est radius circuli aequalis superficiei conicae. Et per praecedentia I - ἰ m 4 sup. tot. cylindri, & ἶ - - Q. su p. tot. coni. Porro per hypothesin & lemma, axis cylindri est 1, & coni l. Soliditas autem cylindri m ἰ κ 1 m Γ, & soliditas coni Q κ ου .. Hinc, comparatis inter se homogeneis, eruitur sequens THEO-
109쪽
Inter conum aequilaterum & cylindrum eidem sphaerae circumscriptos eadem obtinet ratio sesquialtera, quoad superficies totas, superficies sun-plices, soliditates, altitudines, & bases. Duobus abhinc annis theorema illud non sine admiratione aliqua inveni. Nec tamen propriam ingenii vim aut sagacitatem ullam, quippe in re tam facili, sed quod Tacquetus notissimus matheseos professor tantopere gloriatus sit de invento cui impar non sit tyro, id demum admiratus sum. Nempe is invenerat partem aliquam theorematis Praefati, viz. quod conus requilaterus sit cylindri, eidem sphaerae circumscripti, soliditate ca superscie tota sesquialter; quodque adeo continuata esset ratio inter conum aequilaterum, cylindrum, & sphaeram. Haec est ipsa illa propositio, ad quam spectat schema, quod praefati authoris tractatus De The orematis ex Archimede selectis, in ipsa fronte, Una cum epigraphe inscriptum praesert. Quin etiam videas quae dicat Jesulta in praefatione, in scholio ad Prop set, & sub finem propositionis ejusdem tractatus: ubi theorema hocce tanquam illustre aliquod inventum, & Archim Leorum aemulum ostentat. Idem quod Tacquetus, etiam Cl. Walli ius in additionibus & emendationibus ad Cap. 8 I. algebrae suae, a D. Ca elgo ope arithmetices infinitorum demonstratum, exhibet. Quod ipsum, quoad alteram ejus partem, facit D. Dechales in libro suo de indivisibilium methodo, Prop. go. Sed tam ipsa indivisibilium methodus, quam quae in ea fundatur arithmetica infinitorum, a nonnullis minus Geo
metricae censentur. Integrum autem theorema a nemine, quod sciam, antehac demon
stratum fuit. Attamen si verum est quod opinatur Tacquetus, idcirco Archimedi inter alia tam multa praeclara inventa, illud quo lindrumo et inscriptae
110쪽
inscriptae sphaerae soliditate S superficie sesquialterum esse demonsrat, prae
reliquis placuisse, quod corporum, V superficierum corpora ipsa continentium, eadem esset atque una rationalis proportio: si, inquam, hoc in causa fuit, cur is cylindrum sphaerae circumscriptum tumulo insculptum voluit, quid tandem faceret senex ille Siculus, si unam eandemque rationalem proportionem bina corpora quintuplici respectu intercedere deprelie disieti Illud tamen quam facile ex ejus inventis profluat, modo uidimus Simili sere methodo ac nos illud, omnia Τacqueti theoremata Archimedaeis subjuncta, adde & centum istiusmodi alia si cui operae pretium videbitur, haud difficile erit invenire & demonstrare.
SUB idem tempus quo theorema illud, ludum etiam algebraicum in
veni. Quippe cum vidissem e familiaribus meis nonnullos, per dimidios ferme dies, Scacchorum ludo gnaviter incumbentes, acre eorum studium in re nihili admiratus, rogavi quidnam esset quod tantopere laborarenti Illi porro pergratum animi exercitium renuntiant. Hoc ego mecum reputans, mirabar quamobrem tam pauci ad mathesin, utilissimam sane sci
entiam eandemque jucundissimam, animum applicarent. An quod dis cilis siti Sed multi & ingenio valent, nec laborem in nugis fastidiunt ullum. An potius, quod gratissimum animi exercitium non siti Sed quaenam, quaeso, est illa ars, aut disciplina, aut quodcunque demum opus, quod omnem animi facultatem, solertiam, acumen, sagacitatem pulchrius exerceat i Sed ludus est mathesis t Nihilo secius jucunda eo tamen si venisset nomine, tunc Ersan lepidi isti homunciones, qui tempus ludendo terunt, ad ejus studium se protinus accingerenti Subiit adhaec sapientissimi viri Phannis Loclii, in re non multum absimili, consilium. Sequentem proinde lusum ad Praxin algebrae exercendam, rudi fateor Mi