장음표시 사용
81쪽
Arithmeticae Pars Secunda. Ιqq. Postquam dividens stactionem unam per aliam, e. g. per ἰ, duxi nominatorem 9 in g, fractio me dicit tantum quoties et continetur in dividendo; illius vero quintuplum indicabit quoties pars quinta numeri et ibidem continetur quapropter quotientem Primum
N. B. Si fractiones datae sunt homogeneas, brevius est & concinnius dividere numeratorem dividendi per numeratorem divisoris, quotiescunque illum hic metitur. Sic divisis per ἰ quotiens erit et, quaecunque enim numerantur 6 bis continent a. a. Si extrahenda sit radix e fractione data, radix nominatoris radici numeratoris subscripta constituet fractionem quae erit radix quaesita. E. g. i est radix quadrata fractionis & cubica fractionis des; nam ex iis quae de multiplicatione diximus patet, i in i producere ;& i in is dare A. CAP. V. De Reductione Fractionum ad misimos Terminos. i. OUONIAM fractionum quae ex minimis terminis constant va
lor clarius agnoscitur, utile est fractionis terminos, quoties id fieri potest, per communem aliquam mensuram dividere. Quanto autem major fuerit communis iste divisor, tanto minoreS erunt quotientes seu termini fractionis datae aequalis. Oportet itaque, datis duobus numeris, intelligere methodum inveniendi maXimam eorum communem mensuram, i. e. divisorem maximum qui datos dividat absque
residuo ; qui est ut sequitur. 2. Divide
82쪽
Arithmeticae Pars Secunda. 2. Divide majorem e datis per minorem, & divisorem per divisionis residuum, & si quod denuo supersit residuum, per illud residuum prius, i. e. ultimum divisorem dividas ; atque ita Porro, donec veneris ad divisorem qui dividendum suum exhauriat sive metiatur ; is est
maxima datorum communis mentra.
E. g. Proponantur 9 & Ιs. Divido Is per 9, reflant 6. Divido 9 per 6, restant 3 : porro divisis 6 per 3, restat nihil. Ergo a est
maxima communiS mensura datorum numerorum 9 & Is: quod sic ostendo.
a) a metitur 6, at b) 6 metitur 8 demptis 3 ; igitur. a metitur 9 demptis 3; sed 3 metitur seipsum, metitur ergo integrum 9 : a qui sc) s metitur is demptis 6, ergo 3 metitur Is demptis 6, metiatur vero 6; igitur metitur integrum numerum Ι3. Hinc patet gesse propositorum 9 & Is communem mensuram: superest ut ostendam eandem esie maximam. Si negas, esto alia quaepiam major,
puta s; jam quoniam ' s metitur 9, ri 9 vero metitur Is demptis 6, liquet s metiri Is demptis 6 ; sed & integrum Is ex hypothesi) metitur, igitur metitur 6 ; 6 autem metitur 9 demptis 3, ergos metitur 9 demptis 3. Quoniam igitur 5 metitur & integrum 9,& 0 demptis 3, metietur ipsum 3, b. e. y numerum minorem ;quod est absurdum. Inventa maxima communi mensura, patet fractionem A deprimi posie ad hanc i, quam priori aequalem esse sic ostendo. Omnis fractio denotat quotientem numeratoris divisi per nominatorem; indivisione autem, quotiens dicit rationem dividendi ad divisorem, dum a) per cons. b) per cons. sc) per cons. d) per cons. se) per h p. sf) per Θρ. igitur
83쪽
igitur ratio eadem manet, erit et quotiens seu fractio eadem. Porro rationem non mutari, terminis ejus pariter divisis, liquido constat: e. g.
si res quaelibet sit alterius rei dupla, vel tripla, erit & dimidium illius, dimidii hujus, duplum vel triplum, &c. Qui fractiones per integros dividere & multiplicare novit, is in fractionibus sui vocant) fractionum ad simplices reducendis nullam dissiculta talem experietur. Nam U. g. haec fractio fractiortis ἶ de ἰ ecquid aliud est quam pars quarta fractionis triplicata, sive ducta in integram si
Similiter, ductis in invicem tam numeratoribu S quam nominatoribUS, fractio fractionis fractionis, &c. ad integrum reducitur. Hae C Cum tam clara sint & per se manifesta, mirum profecto per quantas ambages, quam Operosam theorematum, citationum, & specierum suppellectilema nonnullis demonstrantur, dicam, an obscurantur tVOL. II.
84쪽
CAP. I. De R gula PROPORTIONIS. REGULA proportionis dicitur, qua, datis tribus numeris, invenitur
quartus proportionalis. Illius quidem usus frequens est & eximius :Unde nuncupatur regula aurea. Dicitur etiam regula trium, ob a terminos datos. Porro quartum directe proportionalem invenies, multiplicando terminum secundum per tertium, & productum per primum diuidendo: E. g. si ut et ad 6, ita se habeat ad quaesitum, duc in 6,& productum 2 divide per et, quotiens Ι2 erit quartuS proportionalis quaesitus. Quod sic demonstro. In quatuor proportionalibuS, productum CXtremorum aequatur producto terminorum intermediorum. Nam propterea quod numeri sint proportionales, h. e. eandem habeant inter se rationem, ratio vero per divisionem cognoscatur, diviso termino secundo per primum, & quarto per tertium, idem proveniet quotiens ; qui ex natura divisionis) ductus in terminum primum, Producet secundum, & in tertium, producet quartum. Jam, si ducamus terminum primum in quartum, vel quod idem est in tertium & quotientem continue, & terminum tertium in secundum, vel quod idem est in primum & quotientem continue, patet Producta
85쪽
producta soro aequalia, nam iidem sunt utrobique factores. Sed ex natura multiplicationis & divisionis constat, diviso producto per unum e factoribus, quotientem esse alterum. Igitur, si dividam productum duorum
hibebit quartum proportionalem quaesitum. Quaestio 1. Viator tribus horis conficit quindecim milliaria; quot conficiet novem horarum spatio Θ Resp. 43. Patet enim ex quaestione, ut 3 ad is, ita 9 esse ad quaesitum : i. e. 3 : Is :: 0 : ergo I 3s, Productum ex 9 in is, divisum per 3, dabit quaesitum, Siz. s. Quaest. 2. Si 2 operarii diebus merentur as. 3 quantam mercedem merebuntur 7 diebus t h. e. ut et in ad a. ita 3 in 7 ad quaesitum , sive
8 : et : : ast Unde invenitur quaesita merces, viz. 8s. 9 Quaest. 3. Tres mercatores, inita societate, lucrifaciunt IOOl. expen debat autem primus st secundus 8 l. tertius Iol. Quaeritur quantum lucri singulis seorsiim contigit Z summa impensarum est 23l. Dic itaque, ut et 3 ad 5, ita IOO ad quaesitum: numerus proveniens indicabit quantum primo de communi lucro debetur; aequum nem Pe est, ut quam proportionem habet cujusque impensa ad summam impensarum, eandem habeat ipsius lucrum ad summam lucrorum. Porro ad Cundem modum, dicendo et 3 : 8 : : IOOt & 23 : IO : : IOOt caeteror Um lucra innotescent.
Proportio composita inversa in simplices facillime resolvitur. V. g. ghomines expendunt 3, 6 diebus: 3O quot diebus expendent 8 homines pDic primo 2:5::8:t invenies go; dic igitur denuo go : 6 : ao : t &habebis quaesitum. Qua vero ratione terminus quaesitus simul & semet per regulam satis intricatam innotescat, explicare superfluum duco.
86쪽
Arithmeticae Pars Tertia. Quaest. . atuor fistulae implent cisternam Ia horis; quot horis implebitur illa, ad 8 ejusdem magnitudinis i Dicendum 8: :: 1 ut Proinde in I 2, h. e. 8, divisa per 8, exhibent quaesitum, viz. 6. Neque in hoc casu, ubi invertitur proportio, ulla est nova dissicultas; nam terminis rite dispositis, semper habebimus bina aequalia rectangula, quo
rum Unius notum est utrumque latus, alterum Vero conflatur eg noto
termino in ignotum ducto: quare dividendo productum illud prius pernotum latus, seu factorem hujus, Proveniet terminus ignotus. Quo autem ordine disponendi sint termini, ex ipsa quaestione palam fiet. CAP. II.
REGULA alligationis simplicis dicitur, qua, propositis duabus rebus
diversi pretii aut ponderis, &c. invenitur tertium quoddam genus, ex datis ita compositum, ut illius pretium vel pondus, &c. aequetur dato cuidam pretio vel ponderi, &z. inter proposita intermedio. E. g. Pollex cubicus auri pendit uncias I 8 pollex cubicus argenti, uncias Iet). Quaeritur pollex cubicus metalli cujusdam ex utroque mixti, qui pendat 16 uncias ; in quo problemate, pondus intermedium I 6 superat argenti pondus per ψ, & superatur ab auri pondere per 2. Jam, si capiamus Q cubi argentei, & t cubi aurei, patet eas una conflatas dare pollicem cubicum ιquippe ἰ & ἴ sequantur unitati. Quin patet etiam metalli hujusce mixti pondus sequari dato intermedio 16; nam argenti, quod levius est per ψ, accepimus a partes, igitur desectus est 2 in auri vero, quod gravius est per et, accepimus partes; adeoque excessus est in g, i. e. aequalis desectui; qui proinde se mutuo tollunt. Hinc
87쪽
Hinc oritur regula pro alligatione rerum duartam. Fractio qnae nominatur a summa disserentiarum, & numeratur a defectu minoris infra medium, indicat quantitatem majoris su mendam ; & vicissim quae eundem habens nominatorem, numeratur ab excessu majoris supra medium, indicat quantitatem minoris sumendam.
Quaest. Sunt duo genera argenti, uncia purioris valet 7, vilioris φ. quaeruntur 3 Unciae argenti, quae valeant singulae s t Re l. constat ex regula, si accipiam unciae vilioris, & unciae purioris argenti, haberi unam unciam mixti quaesiiti ; haec triplicata solvit quaestionem. Quod si res alligandae sint plures duabus, dicitur alligatio composita. E. g. sunt quinque vini genera, vis massici est I, chii 3, falernis, caecubi I, corcyraei 9 : Volo mixtum cujus vis sit ψ. Mixti aequaliter ex chio & massico, vis erit et: nimirum dimidium summae datarum I & 3, uti per se patet. Similiter, mixti aequaliter ex falerno caecubo & corcyraeo, Vis erit 7, i. e. 1 numeri 2I, seu summae virium misturam hancce componentium. 2 & alligo cum vi intermedia data, viz. , defectus est 2, excessus 3, summa differentiarum s ; igitur sumendae sunt φ misturae prioris, ἰ posterioris; porro divisis , per et, quotiens indicat quantum singulorum, chii et massici, accipiendum sit. Similiter, ἰ divisae per 3 dicent quantum falerni, &c. mixturae quaesitae inesse debet. Proinde A massici, chii, - falerni, i, caecubi, corcyraei dabunt quaesitum.
Hinc cernimus, quomodo alligatio composita ad simplicem reduc tur. Nimirum pondera, pretia, magnitudines, aut quaecunque demulusunt alliganda, in binas colligantur summas, quae dividendae sunt, utraque, per numerum terminorum qui ipsam constituunt : quotientes juxta regulam alligationis simplicis alligentur cum termino intermedio:
88쪽
Arithmeticae Pars Tertia. quae proveniunt fractiones, divisae singulae per numerum rerum summam ad quam spectant ingredientium, indigitabunt quantitatem ex singulis capiendam. Demonstratio patet ex dictis. N. B. In alligatione plurium rerum, quaestio quaevis innumeras admittit solutiones, idque ob duplicem rationem: nam primo termini deficientes cum excedentibus diversimode colligi possunt; unde varii prodibunt quotientes, cum dato termino intermedio alligandi. Cavendum tamen est ne dicti quotientes sint simul majores, aut simul minores medio ; quod si eveniat, patet quaesitum esse impossibile. Secundo, unum eundemque terminum licet saepius repetere ; unde illius
Portio augebitur, reliquorum Vero portiones minuentur. Libet in studiosorum gratiam licio exhibere solutionem celebris illius problematis, ad Archimedem ab Hierone propositi. Onsest. Ex conflatis auro & argento sit corona: quaeritur quantum ei insit auri, quantum argenti l coronam interim violari non sinit tyrannus. Respon. Parent Ur binae massae, Una auri, altera argenti, quarum utraque sit ejusdem Ponderis ac corona. Quibus paratis, patet problema, alia sorma, sic proponi poscte: datis v. g. libra auri, & libra argenti, invenire libram metalli ex utroque compositi, quae sit datae intermediae molis: igitur inquirendae sunt massarum & coronae magnitudines. Quoniam vero coronae soliditas geometrice determinari nequeat, opus est stratagemate. Singulae ergo vasi aqua pleno seorsim immergantur ; mensuretur autem quantitas aquae ad cujusque immersionem profluentis, quam immersae moli magnitudine aequalem esse constat; immerso utique auro, aqua exundans sit 5, argento 0, corona 6. Huc
igitur redit quaestio; datis libra auri cujus magnitudo est 3, et libra argenti cujus magnitudo est 9, quaeritur quantum ex singulis capere oporteat,
89쪽
teat, ut habeamus libram metalli cujus magnitudo sit 6: proinde alligatis 0 & s cum magnitudine intermedia 6, innotescet quantitas auri, viz. ἰlib. & ἰ lib. quantitas argenti, coronae immisti. Hinc patet, quam non dissicile sit problema, ob cuius solutionem notum illud s. ηκα ingeminavit olim Archimedes. CAP. III. De Progressione Arithmetica ta Geometrica, S de Logarithmis.
Rogressis Arithmetica dicitur series numerorum, eadem communi differentia Crescentium vel decrescentium. E. g. In hac serie Ι. . 7. IO. I 3. I 6. I9. 22. 25, 3 est communis excessus, quo terminus secundus excedit primum, tertius secundum, quartus tertium, & sic deinceps:& in hac altera decrescentium serie, I S. I 3. II. 9. 7. 5. 3. I, 2 est communis defectus, quo terminus quilibet a praecedenti deficit. Jam ex ipso serierum harumce intuitu, & quam praemisimus definitione, manifestum est, unumquemque terminum continere minorem extremum, simul ac communem differentiam, multiplicatam per numerum locorum quibus ab eodem distat. E. g. In prima serie terminus quintus 13 Constat ex minore extremo I, & communi differentia 3, ducta in q, i. e. numerum locorum quibus a minimo extremo distat. Hinc dato minore extremo, & communi differentia, terminus quivis,e. g. a minimo undecimus exclusive, facile inveniri potest, ducendo disserentiam a in II, & productum 33 minori extremo 1 addendo. Idem invenitur, datis majore extremo, differentia communi, & numero loco
90쪽
8OArithmeticae Pars Secunda. rum quibus terminus quaesiitus a maximo sejungitur, ducendo communem differentiam in numerum locorum datum, & productum e majore extremo auserendo. Patet etiam qua ratione, datis termino quolibet, ejusdem indice, & communi differentia, terminus primus assignetur; et quomodo ex datis termino quovis, illius indice, & minore extremo, communis differentia, itemque ex datis termino, differentia, & minore extremo, termini index eruatur. Quin & illud etiam patet, viz. dimidium summae duorum terminorum aequari medio proportionali arithmetico. E. g. 7 & I3 faciunt 2 o, cujus dimidium 1 o est terminus inter datos medius vide feriem primam . Haec & alia bene multa theoremata ac problemata, eorumque solutiones, ex ipsa progressionis arithmeticae natura facile quisquam deduxerit, praesertim si logistica speciosa utatur. Quapropter ea exercitii causa tyronibus relinquo. Progressio geometrica vocatur series numerorum, eadem continua ratione crescentium Vel decrescentium. E g. 3. 6. I 2. 2 . 8. 96. sunt in progressione geometrica, cujus ratio communis est dupla, nimirum terminus quisque duplus est praecedentis. Similiter numeri hujus decrescentis seriei, 8 I. 27.9. 3. I. progrediuntur ratione subtripla, i. e. terminus quilibet praecedentis subtriplus est sive ἔ. Ubi observandum est, terminum quemvis conflari ex potestate communis rationis, ipsi cognomine, in terminum primum ducta. E. g. Inserie prima, 8, terminUS CXClusive quartus, producitur ex I6, potestate quarta numeri 2 i. e. quae generatur ex et ter in seipsum ducto, siquidem ipsa radix dicitur potestas prima) per torminum primum 3 multiplicata. Qilamobrem ea quae de progressione arithmetica diximus etiam hic locum habent, sit pro additione & subductione multiplicationem & divisionem pro multiplicatione & divisione involutionem &