장음표시 사용
71쪽
Arithmeticae Fars Prima. 6 Iex infima in sequentes omnes ducta genitum ; tertio, quadratum notarum omnium sequentium; quod ipsum uti ex praemissis manifestum est,
Continet quadratum notae a dextris secundae, duplex rectangulum Hundem in omnes sequentes ductae, quadratum notarum omnium sequentium , quod pariter continet quadratum notae tertiae, bina rectangula illius & sequentium harumque quadratum, atque ita Porro, usque quoadventum sit ad quadratum altissimae radicis notae Inventis tandem partibus ex quibus componitur quadratum, restat ut circa earum ordinem situmque dispiciamus. Si itaque quadratum
incipiendo a dextris in biniones partiamur, ex genesi quam supra tradidimus constabit, primum a sinistris membrum occupari a quadrato notae primae sive altissimae, simul ac ab ea duplicis rectanguli ex notis prima & secunda in invicem ductis conflati portione, quae extra Primum sequentis binionis locum redundat: secundi locum Primum continere dictum duplex rectangulum, atque insuper quicquid quadrati notae
secundae excurrat; secundum capere quadratum notae secundae, & quod redundat duplicis rectanguli duarum priorum notarum in tertiam ductarum, quoad notam infimam ad locum primum tertii binionis pertinentis, & sic deinceps. v. g. in exemplo apposito, membrum primum Io continet 9 quadratum notae primaea, simul ac I quo Ia duplex rectangulum notae 3 in sequentem et ductae) locum primum secundi membri transcendit. Primus locus secundi binionis capit et duplicis rectanguli Motarum 3 & et reliquum, atque etiam id quod extra lo
Perspecta jam compositione quadrati, ad ejusdem analysin accedamus. Proponatur itauue numerus quivis, Ιἰ. g. rogo I) unde elicienda sit radix quadrata. Hunc incipiens a dextris, in biniones si par sit lo-
72쪽
Arithmeticae Pars Prima. corum numerus, alioqui membrum ultimum ex unica constabit nota distinguo. Quaero dein quadratum maximum in s Io) membro versus laevam primo contentum, cujus radix 3 est nota prima radicis indagandae, ipsum autem quadratum 9) a membro Io) subduco. Ex residuo si) adjecta s) nota prima sequentis membri confit dividendus is , quem divido per notam inventam duplicatam IO3. I 3ῖI i. e. 6), quotiens 2 erit nota radicalis secunda; qua primo in divisorem, deinde in seipsam ducta, productisque in unam summam collectis, ita tamen ut posterius uno loco dextrorsum promoveatur se. g. ' ) habeo numerum subducendum siet ), hunc aufero ex dividendo
is) aucto so) nota reliqua secundi membri: residuo 6)adjicio ) notam primam tertii binionis, ut fiat novus dividendus 6 ), qui divisus per 6 ) duplum radicis hac- tonus inventae dat I) notam tertiam radicis indagandae; hac tum in divisorem tum in seipsam ducta, factisque ut supra simul aggregatis, summam 6 i) subduco a dividendo 6 ) aucto accessione
Si quid post ultimam subductionem superfuerit, id tibi indicio sit,
numerum propositum non fuisse quadratum; verumtamen adjectis resolvendo cyseis decimalibus operatio extendi poterit quousque lubet. Numerus locorum decimalium, si qui fuerint, in resolvendo bipartitus indicabit, quot ponendi sunt in radice, cujus ratio cernitur ex cap. Ratio operandi abunde patet ex praemissis. Nam E. g. adhibui 6 duplum notae inventae pro divisore, propterea quod ex tradita quadrati
73쪽
Arithmeticae Pars Prima. 63drati compositione, duplex rectangulum notae illius sa) in sequentem et)ductae dividendum complecti rescissem, eoque adeo diviso per duplum factoris unius sa) consectorem ejus sa) h. e. notam proximam radicis innotescere. Similiter, subducendum consavi ex duplici rectangulo quotientis & divisoris, simul ac quotientis quadrato in unum, ea qua dictum est ratione, collectis ι quia bina illa rectangula & quadratum eo ordine in residuo & membro sequente, ex quibus fiebat subductio, contineri deprehenderam, atque ita quidem potestatis resolutio eX ipsius compositione facili admodum negotio deducitur.
De Compstione ta Resolutione CUBΙ. RADIX in quadratum ducta procreat cubum. Ut sternamus Viam
ad analysin cubi, a compositione potestatis quemadmodum in capite praecedenti factum) sumendum est initium. In productione igitur cubia radice binomia primum radicis membrum offendit, primo, sui ipsius quadratum, unde cubus notae primae , secundo, duplex rectangulum membrorum, unde duplex solidum quadrati notae primae in alteram ducti; tertio, quadratum membri alterius, unde solidum ex nota prima& quadrato secundae genitum. Similiter, facta multiplicatione per mem-hrum secundum oritur primo, solidum notae secundae & quadrati primae. secundo, duplex solidum notae primae & quadrati secundae ; tertio, cubus membri secundi. Continet ergo cubus a radice binomia procreatus singulorum membrorum cubos & 6 solida, nimirum a facta ex quadrato membri utriuia vis in alterum ducto. Hinc
74쪽
Arithmeticae Pars Prima. Hinc ratiocinio ad analogiam capitis praecedentis protracto, constabit, si ut quadratum in biniones, ita) cubus a quantavis radice genitus, interniones distribuatur, ternionem seu membrum a sinistris primum continere cubum notae sinistrorsum primae, simul ac redundantiam si
quae sit) s solidorum quadrati ejusdem in secundam ducti; locum primum secundi capere dicta solida & redundantiam 3 solidorum quadrati
notae secundae in primam, locum secundum eadem a solida & redundantiam cubi notae secundae ; tertium occupari a dicto cubo, simul ac redundantia a solidorum, ex quadrato notarum praecedentium in tertiam ducto genitorum locum primum tertii membri solida ultimo memorata obtinere, & sic deinceps. Hinc facile derivabimus methodum elicienda radicis cubicae, quae est ut sequitur.
Incipiendo a dextris, resolvendum 8o62Is 68 in terniones praeter membrum postremum quod minus esse potest) punctis interpositis distribuo. Dein cubum maximum 6 in 8 o) primo versus sinistram membro contentum subduco, scriptaque illius radice in notam primam radicis quaesitae, residuo I 6 adscribo 6 notam proximam resolvendi,
unde confit dividendum si66 quod divido per 8 triplum quadrati
notae inventae : quotiens 3) est nota secunda radicis: hanc duco, primo in divisorem ; secundo, ipsius quadratum in triplum notae primae; postremo, ipsam in seipsam bis. Producta ea lege aggregata, ut secunia
dum a primo, tertium a secundo, uno loco dextrorsum ponatur, j iiii l
subduco a dividendo aucto accessione duarum notarum reliquarum membri secundi. Ad eundem modum, utut prolixa sit operatio, numerum dividendum semper praestat residuum, adjuncta prima sequentis membri nota: divisorem vero, triplum quadrati notarum radicis hactenus inventarum : &subducendum, nota ultimo reperta in divisorem ducta, ejusdem quadratum in triplum notarum praecedentium ;8o 62I.568 43λ64 8 166. 2II 55o7
75쪽
Arithmeticae Pars Prima. 6scedentium , postremo illius cubus, ea qua diximus ratione aggregati,
Si numerus resolvendus non sit cubus; quod superest, adjectis locis decimalibus, in infinitum exhauriri potest. Radici assignanda est pars tertia locorum decimalium resolvendi . N. B. Operationes syntheticae examinari possunt per analyticas, &vicissim analyticae per syntheticas : adeoque si numero alterutro ex summa duorum subducto, res et alter, recte peracta est additio ; & vice versa, extra dubium ponitur subductio, quoties aggregatum subducti & residui aequatur numero majori dato. Similiter, si quotiens in divisorem, aut radix in seipsam ducta, procreet dividendum, aut resolvendum, id tibi indicio sit, in divisionem aut resolutionem nullum repsisse vitium. VOL. II.
76쪽
SCRIPTO divisore infra dividendum, ductaque linea intermedia,
divisionem utcunque designari, jam ante ' monuimus. Hujusmodi autem quotientes dicuntur numeri fracti seu fractiones, propterea quod numerus superior, qui dicitur etiam numerator, dividitur seu frangitur in partes ab inferiore denominatas, qui proinde dicitur denominator: e. g. in hac fractione ἰ et est dividendus seu numerator, divisor seu denominator; ipsa autem fractio indicat quotientem qui oritur ex divisis 2 per η , h. e. quadrantem duarum rerum quarumvis, vel duos quadrantes unius; nempe idem sonant. N. B. Patet numeros qui partes decimales denotant, quique Vulgo fractiones decimales audiunt, subscripto nominatore, per modum fractionum vulgarium exprimi posse. E. g. ,28 Valent et ι; ,CO Valent di 6 Uc. id quod faciamus oportet, aut saltem factum intelligamus, quotiescunque eae in fractiones vulgares aut vicissim hae in illas reducendae sint, aut aliam quamvis operationem, utrosque fractos, vulgares &decimales ex aequo respicientem, fieri contingat.
77쪽
Do Additione N Subductione FRACΤΙΟNUM.
bent nominatorem , sumatur summa aut differentia numeratorum, Cui subscriptus communis nominator quaesitum dabit. a. Si non sunt ejusdem nominis, ad idem redUcantur, nominatoreS dati in se invicem ducti dabunt novum nominatorem ; cujusqUe autem fractionis numerator, in nominatores reliquarum ductus, dabit numeratorem novae fractionis datae aequalis. Dein cum novis fractionibus operandum ut supra.
a. Si integer fractioni addendus sit, aut ab ea subducendus, vel vice versa, is ad fractionem datae cognominem reducatur ; nempe illi in nominatorem datum ducta idem nominator subscribendus est. Additio ad j sum. lSubductio
Additio; ad i. e. δου ad . e sum. Subductis a ἶ, e. - eX resid. V.
Additio 3 ad ψ, i. e. ad ἰ sum. Subductio ἶ eae 3 e. resid. Primo, Dicendum est, cur fractiones, antequam operemur, ad idem nomen reducamus: atque id quidem propterea fit, quod numeri res heterogeneas numerantes in Unum colligi, aut ab invicem subduci nequeant. E. g. Si velim addere tres denarios duobus solidis, summa non erit s sol. aut s de n. neque enim illa prius haberi potest quam res nu-Κ et meratas
78쪽
Arithmeticae Pars Secunda. meratas ad idem genus reducam, adhibendo loco duorum solidorum et denarios, quibus si addana 3 den. oritur aggregatum 27 den. Pari ratione et partes tertias & 3 quartas una colligens, non scribo s partes, tertias aut quartas; sed earum loco usurpo 8 duodecimas & 9 duodecimas, quarum summa est II duodecimae. Secundo, Ostendam quod fractiones post reductionem idem valeant ac prius, E. g. quod aequentur A: si quidem uterque nominator & numerator Per eundem numerum di. g. ) multiplicantur; omnis autem
fractio exprimit rationem numeratoris, seu dividendi, ad nominatorem, seu divisorem; proinde dummodo ratio illa eadem manet, fractio eundem retinet valorem; sed ducto utroque rationis termino in unum
eundemque numerum, certum est rationem non mutari: e. g. si dimidium rei cujusvis sit dimidii alterius rei duplum, erit & totum illud totius hujus duplum; quod quidem tam liquido Patet, ut demonstratione non indigeat. Tertio, Integer ad fractionem reductus non mutat valorem: nam si a numerorUm rectangulum per unum eorundem dividatur, quotienserit alter; sed in reductione integri ad fractum is in nominatorem datum ducitur, & per eundem dividitur: igitur quotiens, h. e. fractio valet integrum primo datum. N. B. Utile nonnunquam erit, fractionem ad datum nomen redu-Cere; e. g. ad alteram, cujus nominator sit 9: quod quidem fit per regulam trium de qua vide r. 3 cap. Ι) inveniendo numerum, ad quem nominator datus ita se habeat ac fractionis datae nominator ad ejusdem numeratorem; is erit numerator fracti Cujus datum est nomen, valor autem idem qui prioris; quippe inter fractionis terminos eadem est utrobique ratio.
79쪽
CAP. III. De Multiplicatione FRACTIONUM.
ratores in se invicem ducti, dabunt numeratorem producti; dati item nominatores procreabunt ejusdem nominatorem. a. Si multiplicanda sit fractio per integrum, ducatur integer datus in numeratorem fractionis, eodem manente nominatore. s. Si in factore alterutro, vel utroque occurrant integri, aut fractiones heterogeneae, ei claritatis causa una colligi poterunt. Exempla Multiplicationis. Multiplic., Per Z pro. ὁ ' per a prod. Multiplic.
1 Manifestum est quotientem eadem proportione augeri, qua dividendum : E. g. si a continetur ter in 6, continebitur bis ter in his 6, liquet insuper eundem cadem proportione minui, qua crescit divisor. E. g. si numerus 3 continetur quater in I 2, continebitur bis aduntaxat bis in Iet: igitur cum ut multiplicem ἰ per ἰ , augenda sit fractio j ratione quintupla, quoniam per 3, & minuenda ratione Oz-tupla, quoniam non simpliciter per 5, sed solummodo ejus partem Octavam multiplicatur ; duco dividendum et in f, & divisorem 3 in 8.
80쪽
Arithmeticae Pars Secunda. a. Quod ad regulam secundam, constat bis res quasvis aequari 8 rebus ejusdem denominationis, quaecunque demum sit illa. CAP. VI De Dimisone FRACTIONUM.1. FRACTIO per integrum dividitur, ducendo integrum datum in nominatorem fractionis datae. a. Si fractio per fractionem dividenda sit, numerator divisoris ductus in nominatorem dividendi dabit nominatorem quotientis, & ejusdem nominator ductus in numeratorem dividendi dabit numeratorem quotientis. 3. otiescunque admiscentur integri aut fractiones diversi nominis, facilius operabere si membra utriusque, tum dividendi tum divisoris, in binas summas colligantur. Exempla Divisionis.
Q per a quot. l per ἰ, quot l per 3 , i. e. 24 Per It Quantum ad primam regulam, ex capite praeeedenti constat, fractionem eadem proportione minui seu dividi, qua multiplicatur