Isaaci Monachi Scholia In Evclidis Elementorvm Geometriae, sex priores libros

61쪽

pronositiones. PROPOSITIO FXTA.

Si recta lineafuerilsessis In hoc theoremte, de monstratur arithmetica proportio et qui enim es excessus, ad Uus γη:bo est M:ide est Hrecta adfl/.pernumeros uero facilius cir ωnifestin copaxerit: quod ille quidem aequalitersuperat er excedita ersuperatur dis exceditur ab extremu Theorentis uero ste 4bet:quod quadratum excessus cum redisse gulo extra rum sint aequalia, quadrato a media descripto.

PROPOSITIO OCTAVA.

Crrectis, linea Praesentis theorematispropositio: eadem est cum praecedente modo tamen conuerser 'uti enim duo quadrata quadratum inquam totius, C quadratum uniuisegmenti construntur: sic etiambo in loco quadratum totius,Criniussegmentito quam unita recte quadratum e ut ibi aequali reistiangulo quod toti e praedictostgmento bis contionetur est aequale Ita hoc in loco aequale,co,quod quinter continetur tota C praedicto siegmento inquadrato reliquisegmenlti deos duobunis talia, iuer

nisi ipse milis fuit dialtim

62쪽

PROPOSITIO DECIMA.

Si recta lineafuerilsem Possumus proentatbe

'oremtispropositionemretia hoc naedo explicare. si recta lineafuerit sicta in partes inaequales qradratum otias cum quadrato excessus,quo ni seg ntum excedit minus . duo haec quadrata inqgar

torum.

PROPOSITIO UNDECIMA.

tam reflambecare In hocsecundo libro, crimsintquatuordecim theorer tu; ex bu undecimam decimum quarti sunt problemta Uer per numeros non demonstrantur ut ex issequentibus in. telli M. Nain boei oprobleniatesisteripotestinumerus diuidatur in numeros nain: ita utDactius ex inultiplicatione numeror MAM' aequa ks quadrato numero αγ.Erit igitur numerus ex mubtiplicatione numerorium ας γ quaterfactc: graquadrato numeri 1:quintuplus numri quadrati rsed numerius ex multiplicatione numeroris ac quaterfactws,ctum quadrato numeri αγ: est nu rus quairam:ut demonstruim est inpropostulone octaua Cr numerus γ etiam est quadratus mare duo quadrati, babent rutionem eum interse, quam qmu

63쪽

4 muentum est , quod rectangul- ας, ressisesntentiumst aequale quadrato rectae . idcirco,innifestum est: quodsit, ut , ad αε:sic si,ud G boo autem exsecunda consequitur geometrica medietare. Idm insequentibus diceturfecari in extremam Crmediam rationem.nunc uero cum nihilsciamsidera. tioncidcirco non dixit extremer mediarationesto care nec resoluitur, cum non definieri sectionem. Ponamus rectum , esse unitatuma e segmen tim munitatium 446. CrisO G segment rupini unitatinm 3 3 Crura erit rectangulam tota erminore sigiFnte content initaturit . Cras Crquadrataem maioris sevienti eodem naedo unitat

PROPOSITIO DUODE,

. perpendicularis non cudat intra trigonum oris: sed extrastyri protrahath 'demonstrandum est. Di, cimus ergo quodsieri nequeat ut intra cadat. Nam si id fieripotest: cadat ut se rem. Quoniam angulus s res rectus' Crangulae βαε obtusa, atq; remmior, quod ieri nequit Quare non intra cadit,sed extra. Id quod erat demonstrandum. Propo-

64쪽

PROPOSITI DECIMA

tertia. ΦN trigonstoxnoni syQnyniam in definitionibuπ libriprimi, docet trigonium ovgontrum esse quoatres babet acutos angulas,sciendrum est quod hoc in loco illud non sic uitelligat,sed omnia trigona appe,

Iathogonia quid omnia habent acutos angulos, es non omnes, tamen ad minimum duos. Propositio itasAchbabe Omnis trigoni latus acutiam angulium pubtendens, minuspotest, quum latera acutum angulam subtendenMaranin potest,qua latera acutis angulium continentia, rectangulo erreliqua qui equutitur. Quodsi ergo rectanguiam fuerit trigonium. accipies ex lateribu duobuianguis tum acutum continentibuε, ιllud quod ubtendit a gulam pectu Ita ut perpendicularis in illud latus caesdacEodem modo fuerit ambinonium. conuersum huius theorematis hoc est,Si qua tarsi rectae minis quadratu si, γα. rectangula quod

bis continetur rectis ,γH. Cr reliqua quaestqvuris tur. Dico quod trigonium μγ, lovgonit . Du catura puncto α, rectae γ ad angulos rectos, recta κ. . sit recta κγl, aequalis rectae D. Quare quaadrata recturi II, 1 Crc.

Finis librisecindi Elementorsini Geometria Euclidis.

65쪽

CHI SCHOLIA IN TER-

tium Librum Elementorum Geometriae Euclidis.copus Euclidis in boclibro explic

re accidentia circulorurm tam quoad lineas rectu, qvim etiam ad angulos

attinet.

PROPOSITIO PRIMA.

DMicirculi centri J Sicuti libro primo omnia Mnsimplici simam trigonorκm inqua figuram; inempe trigonum aequi laterum eiusq; constιtutionem posivitstatim ab initio:propter insequentes delineaAtiones quaefacienda erant. Itio hoc in libri, ab initio ponit centri inuestigationem quia circularis tenerationis cauus Omnis itas circulus suum peculiare er propria Din centrum babet sua natura definitum e circi scriptura,st quoad nos non omnis circuluc, suum proprium centrum babet,sedis tulit cuiuigene sim uidemus. Ii prioribmitas tbcree tibus, in quibM ciriseulii in fumerarit, centra quos existebant, ni is siret apparcbant in iis uero theoremtibus, inqui.

66쪽

circuliconstituendum, it adiumentiassere. Hoc autem prim theorem, uidetur medium tenereloc . interproblemata et theoremta pro

plerea quod damproponit aliquid gus aciendi est: problem:dum uero non ad faciendum,sed ad his uestigandum aliquidproponit: tbeorem uidetur esse Veruntamen mis dicend- est:esse theorere quod propositionem baseutfgurarum e uerbis circumscriptum,sicuti etiam idem dicipotest de quora propositione lib. primi. Propositis duobus trigo,

uiser duobMangulis aequalibus atq; lateribus dacibus aequali existentibus inuenire uir er bdaseluemfaequales. Sicuti enim in illa propostrione quaeritur aliquod accidens quod iam sua natura tria vulsi . Ita etiam hoc in loco , accidens aliquod circuli praesertim confideremusproprium probi malis, CT quod contrarium est propositioni uis longe magis haecpropositio, nomenproblematis se fugietri nec tenere poterit. Ex hoc t5eoremate demo, stratu id quod cum finitione circuli conuertiturmani Iad circ-ferensetium circuli, d puncto quodam,ex j quae intra Agu rem funti omnes lineae rectae ductae uerint aequales: e figura illa erit circulus Pomamus autem noties circ. , sedRuram aliquam rectilineam: O

67쪽

incidant, erit igitur trigonam equi crurum, quodsi nunc basissecetur in duas partes aequales e tum recta quae dum est:faciet angulos rectos ieritissumtior utroque utere id quod feri nequiti. quia proponιtur quod omnes in aequales quotquot punctum emtro, id circiamferentium ducuntur.

PROPOSITIO SARTA

Si in circulasQuodsi enim rectae illae per centroiductae essent .uo opinerat inquirere ansese mutuo indues paries aequalessecarent. quia munifestum est, quod centrum ipsori , sic ipse sectio in duaue partes aequales. Eodem modo si altera per centroi trum ductafuerit .altera uero per centrum non ueris ducta: ea quae percentrum ductu est: nunquam fa,rtam fecuturi quae uero per centrum non est ductu tu primum secabιtur bifarium equando ad angulos reoctos est, et per centrum ducta.

ROPOSITI SEXTA.

SI duo circuli. Quidam addunt laterae botest, si duo circulis elirutuo tangunt interne ac si dicerent, fieri posse, ut Isese tangant externe unum C idem centrum habere possiit id quod non est, ue utim siue interat, iue externes e tangunt,nunquanti

unum

68쪽

ROPOSITIO SEPTIMA.

xvi circulo aliquo cin isto theoremate con- uertiturbo theorema,si in circulo aliquo, inter 8efuerit sumptum aliquodpunaum, ab hoc puncto , ad circulum ductaesue faliquotliheae rectae,

quarum dii quidemst maxima, altera uero minisma, ex reliquis nonnullaequιdem aequales, aliae uero inaequalessuerint:tum maximapercenis eritduoeta,minima uero e directo p itu ei quae percentrumo ductauiaut tota ex maxima e minima constans, circulisit diameteroex ceterauero maiores, centro

funiustιmoris: aequales uero, aequalitera centro dia flant. silenimperpunctum,.quod in circulae uesa recta ineu maxιmi γ, mimini a deinde recta εἰ emulor uidem φιum L er aequalis rectae e. Dico quod recta γε percentrum s ducta , rectu Aa, ἡ directopositaeidem in fractu uicimor centro, qua grecta e re V, is,aequaliterdistantes a centro Quodsenimi non est , νιlicet rectu γ 8'per centrum ductu,sed aliqua alia, quae ipuncto ducta est etiam maxima coninuinis erit σperounctum ductu.sed ear per centrum ductu est. quo ferinc D

69쪽

IsAAc MONACHI ia . Quare aer γ rectaesunt ex directo posite, ita ut totuba,fit diameteri Dico etiam quod QR vicinior centro, quam recta, Numfluicinio non ut, tum uellongius eris remota, ς Pasiteras eod flabia sed si songius remotasMerit, tum ς, maior est quam εἰ quod fer nequit. Nam proponitu νminor esse quum sit recta εἶ quodA aequaliterrista, bunt etiam aequales interseerunt edfiunt inaequalis, quodferi nequit. nam uicinio est centro,quam Vecta, recta est aequalis rectae e quareaequa,titer a centro distabunt. quae enim inaequaliter Icem, reo distunt, eri ei quales sunt.

ROPOSITIO DECIMA

octaua.

icta quaecircvlidiametro J conuertitur cum bacpropositione si recta quaedam linea ducta. fuerit qaae circulum tangit, Cr a puncto contactas. recta quaedumlineas, lineae tangentifueritducta ad angulos rectos, inma ipsum circulam ea quae prori ductu emit in alterum circulipartem:erit circuli di

meter.

matertia.

70쪽

sCHOLIA.μι enim recti: Gegmenta circular--iora,ut gulos rectis minores manses est, quota ita Iuerintsegmenta etiam angulos recipient aequales quanto em uni maiorvsemicirculis o magis minuuntangul- rec . similiter, segmentas se circuluminora , proportionaliter augent re undefluitur, quod circitia segmenta ilia:

angulos capiantaequales.

Sede segmento angulidiuersigenerissim' is angulis remineis, quia mixti noti comparantus cum illissub certa magnitudine: mst habita rationamuιorisCrminoris. deetiariacciditutprogredioente maiores mento adminus Cratigulo maiore enitentcquouis angulo reclo insemicirculosiatam gulus rectus et Crinfigmento minore .progrediatis

PROPOSITI TRICES D

ina septima.