Isaaci Monachi Scholia In Evclidis Elementorvm Geometriae, sex priores libros

81쪽

rationem primus adsecund-,quam terim ad gra : an uero minorem Multiplicentur tertino quartus interse: ita ut qui ex multiplicationesiunt numeris sint inter se aequales, Postea multiplicentur primm m quartum, insec diu in tertiis quodst nunc numeri ex multiplicationeprimi in secundi fuerint aequites dicemus in eadem ratione esse,priamum adsecuta ,αν fecund- ad tertium quod βvero numerine multiplicationeprimifuerit maior numero ex inultiplicationesecundi:t diceram indolorem bubere rationem, numer- primm adsecu dum, quam habeat tertiui ad quart- se uero uuis merus ex multiplicatione primi,fuerit tauor: quam numerus ex multiplicatione secundi: tum minorem rationem habere dicetur:primm ad secund-,quum haseat terim adflitari . Exempli gratia poni tur in eadem ratione esse hi numeri. o. 8 4. Multiplicentur intersie tertius er quartas. 8.er 4. ent x. e fimili modo multiplicetur primisit in ecundum . fiunt 8. Crmultiplicetursecu diu σ. interit s. sunt etiam 48. Manifestinerago est quia sint in eadem ratione. a. ad .er 8 ast . Nuncsumamus alios numeros, ita ut primus malo rem ratio m babeat adsecund- , quam tertius ad quartum Crfnt hi. o. q. 6. 3. Nultiplicentur intersea σ3. fiunt is σ3.ri 6 fiunt etiam 3. pyste multiplicenturio σ3.sunt 3o. Ermultipli

centar

82쪽

qκod is ad 4. maiorem habeasurationem, quam Demc7 flammm alios jumeros, utprim dura eand- minorem rationem buleat: quam terim ad quartι . Crsint bt numerι. ra. . 18. nunc mutitiplicenturis .in s. sunt 36α. erra in s. mis. fueh6α. postea ia ius. ItiplicenturAuntios erra. in s.funt νασ.ersit apertum auis manifestum,quod primm adsecundum minorem ratιonem habeat, qua tertim ad quartum.

Quando uero tres magnitudines fuerisit proporationalis. Non dicit quod duae rationes iuniis

dupla e bo cuidem esset: sed quod ratio quae feex duabis sit cupla utra. a. uel 9. 2. a. quia mpriorisvi numem duae rationes dupla,siunt contiis nusquam rationem babet 8.ud4. tam habet 4 ad i. sada ad a. uelpriminasterilium: non habet duplam rationem,quam habuit ad x hoc necundum sed bis

duplam hoc est quam babet primia adsecundis, πquam babessecundinad tertit . Simili rationestis triplis, 3. 3. Nam s. a libabetrationem triplam: C a. adi eodem modo tri plam.sed' ad a. dicitur bis bubere rationem, quama habet ad a. siquidem reters. 3. Cra sunt duae tripla

rationes Idem mulijssentienssim est Ais lusea bit, A trerfuerint magnitudines.

83쪽

prima ad quartam triplicdiam habebit rationem: quam babet adsecundi quia inter numeros quatuor in eadem rationeexistentes sunt tres eaedem rationes. uis eam obcausam dicitur prima usquartum habere ter eum rationem, quum habet ad ecundum hoc est tri statunu. Compositio rationis. pecentiores bane addiderunt definitionem non enim unum eridem it, compositio mιgnitudinaem e compostlio rationiam. Nam bis quidem antecedens compostissim consequen ti, magnitudo inquam cium Hagnitudine. tium tota

fiet nugnitudosamercompositae magnitudinio bus . quae etiam restaequalis θι magnitudinibvi exquibra ipsa est facta e composita vera m rationum compositio , aliam acit rutionem quemadmodum etiam insequenti libro dicit, Ratio ex ratio'ιbus composita esse dicitur erc. Sed sicuti ego in antiquulegi librA banc compo/sitionem uocarunt σιωθὲν τι λάγηρ. c etenim in tam quelibu theorematibG loquitur Euclides, Cruocat σμνωντι nihilominus tamen etiam hac ratione ex σιωθοντι in telligitur σαί r.

Existimo tamen melius ese, quwdica esse

θεοιν compostlionem terminoriam, non alitetura io, viam. Voco autem prνr terminos, ipsas propositia

maguitudines: nonagiem basitudincm ipsam quam intcrbe habeat. Sinnu

84쪽

scΗΟLIA. simili deser diuisio , non, ut' dicem mistelligiturrationis diuisio esse:duplae insesquialterameta sesquitertiam: aut triplae ins quialteram e duo plumse magnitudiniam diuisto. Num excessi au- tecedentna consequentem, consideratur ad consta

quentem.

Propositiones. PROPOSITIO SECUNDA.

T Rima magnitudo. Hoc theorema est in demonia strationem assumptis definitionsi verioris in

qua docuit, quae magnitudines in eadem sintratione. ubi cinquit. In eadem ratione magnitudines esse discuntur: quando aeque inultiplices, gnitudines prioniae et tertia hoc est antecedentium, aeque multiplis cibinsecundae e quartae,boc est consequentium uel simulfuerist aequales, uel simul eas excedunt, er is maiores uniuelsimvldeficiunt, er ijs minores sunt. od autem ex ipse cim illis eundem rationem baribeant: id boeisibeoremate monstrat. De his uero nullum ab initio mention ficis:

quia oon potuit dicere, illo munitudines nisadris

85쪽

ratione esse quaris aeque multiplices magnitu inexis eadem sunt ratione proertim cum studi vim nosimust inscquidnam istud sit. Esse in eadem ratio ne cinitas ab initio dixisset Simul excedercsiis

mulascere ima aequales esse: ἐemonstratin hoe

theoremate quod etiam ineatimstut ratione. Ita uenianifeste appareat definitio magnitudinum in eaderationeexistentium talis esse. Quando primaeo tertia magnitudin aequaliter multiplices magnitudiis nes,adsecundae er quartae aequaliter multiplices ma, gnitudines eandem babuerint rationem. Demonstrat uero illas magnitudines hi eadem ratione est per hoc theorema exper conversm.

PROPOSITIO SEXTA.

CI duae magnitatines o propositis est in Me theoremata demonstrare, gusdra inultiplicibis multiplicia auferantur: tum reliqua magnitudo uererit aequatu uelmultiplex hoc enim perse est mani, num βψ imas duae magnitudines adduas magni tudines ita se ut dictum est babeant si reliqua priorκ multiplex est, altera ulterius multiplex erit Ῥααqual/s, uls quadruplafuerint: e tripla ex ambab infuerintsublataeestim aequales erunt ambae ij quae postfactam triplasiubtractionemfuerunt relictae taIης- dupuit earundem dupla etiam erunt. Propos

86쪽

renet lanu. sere curamviorem rationεσα sunt oci laco quatuormagmtudinesprima Odem Mesecundari . tertian. σquota Aequia ἀε umnumproficunda σpro quarta. atquiprina multiplix est IH Aecundae uero A. multipli est νιrrtis etiamγ, multipsex est Aa cIε multiplia primae inest maior quam sit , quσmgmtuti si est multiplexsecun9magnitudinisRermagnitudon,multipis certis magnitudinu γ.est minormagnistud e . qu magnitudo est multiplex quarta magnitudinis A. in mim nuncprime magnitud, ni multiplix, maior estsecunde magnitudinum ei ici O tertia magnitudiissimultiplix nonfirmatis multiplici quam magnitatinis r idcirco magnitudo α admagnitudinem , maiorem ratisonem bubet:quam magnitudo, adipsam . manu tudinem. Perflefinitionemque disit, QDindo uersaequa multiplicia σquaesequuntur.

PROPOSITI DECIMA

S exta.

87쪽

PROPOSITIO DECIMA-

septima. S magniturines compositae. Hic initium facie

κλιν Cr so irnproportione inordinata: ordi

rata.

Ueruntamen huius theorematis lemmae est, beoarema praecedens uel ἐν 0. cuti Cnio. beorema, theorematis raseu Gio in proportioneperturbata: criti simili modo, 3 limina est.

Finis libri quinti elementorum Geometria Euclidis.

Euclida

88쪽

EVCLIDIS ELE

MENTORUM GEOME-

ti ire Liber sextus.

serafuerintproportionalia tium omnino reciproca erunt sed non κὰeuersa quae latera reciproca babent illari

etiam lateraproportιonalia fiunt , simpliciter nigetiam fuerintaequalium angulorι figurae:

PROPOSITIO UNDECIMA.

'tu Lobm. Arithmetici uero medium term nae proportionalem instimum multiplicati. diuides antecedentem hoc est primam rectam ct

quotin numerus rit tertiusproportionalis.

PROPOSITIO DUO DE

cimam Atis tribus.) Arit,meticesciniam in tertiam M multiplicabis: per primam diuides produs Ham C quotus qui erit nunuria: erit quarta re troportionagis.

89쪽

PROPOSITIO DECIM

tertia. 41st duabiu recti. Arisbmetice 'invenies, me diam proportionalem. Extremas in se multiplι- ea, er numeri productisumetitia quadratum: fluesti rationale, me irrationale e babebis medιaia

PROPOSITIO DECIM

quarta. Darallelogramma. Illa quidem parallelograma. quae babent unis angulum uni angulo aequalem inreliquos reliquis aequales habent: alterin alterirer omnino uniuersaliter sunt aequiangula verum hoc is loco propter illam eomparationem laterum an angul- eontinenti-: dicit quae habentuna unguli , uni angulo aequalim:sed trigona 'se non habent. Fieri enim potest, ut trigona aequalia,unum augul- uni angulo aequalem habeant:ueruntamen non babeant reliqm reliquis aequales ut per omnia se trigona aequiangula.

PROPOSITIO DECIM

quinta. AEquata trigona quae habent. Trisynis aequi Maurubolis hoc contingit: ut omnia latera hi mau

90쪽

Mani proportionaliased non quod in ratione resis prora. Trigonis uero aequabrus, erunum latM, unilarer quais babentibus, accidit: quod latera bis omnia reciproca quia latinstiteriest aequali salieris aeteri erratio aequalitatis conuertitur ad seipsi . hoc est ratis quae sumitur ex antecedente e cosse, quentri eadem ester indifferens Ita ut quaedam tris

sonu tant- latera babeunt proportionalia quodam uero trigona habeant latera rccitro idenis nonnulla trigona babeant titeraproportionalidoqrιciproca Suntauumpriora quidem trigona, quae

plangula quidem unitised non aequalia. secunda, ria uero, quae aequalia quid sunt trigona,erunt

augus , Aniangulo habent aequalem uerum non sunt aequiangula caetera uero praeter bac trigona. sunt eraequalia,Craquiangula. Quod autem sint trigona aequalia, eranum a gulam uni angulo aequalem babentia:ιta tamen ut

nons ut aequiangula: disquam manifesti est exisnumer quos in schemate e figura proposuimus. oniam enim trigoni quιdem uisa: duo latera, M. α , uni intersi aequialia: er anguli ad basim ei dens

trigoni sunt interse aequalis pretereum trigono si cum duo latera, αγ sint inequalia: etiam anguli ad basim sunt inae uales.Vnde sequiturquo Ἀφtrigonum, non sis aequali οβ trigono. Id quod stat demonstranti . FINI L