장음표시 사용
21쪽
de neeessario consequi tur ι tres omni modo acceptas esse maiores reliqua. Colligitur etiam ex demonstratione, verum quoque esse Lemma; si ex quatuor datis magnitudinibus inaequalibus tres sine aequales; maiores quidem in summa, quam reliquar aut duae sint aequales ,& duae inaequales; vel denique duae sint aequales inter se;& duae inter se aequales; modo tres omnifariam Eceptae sint maiores reliqua. Manifesta est neeessitas conditionis Lemmatis . Nam si quatuor sint rectae lineae datae, seu quaevis magnitudines p. m. n. f. quarum minores tres non sint in summa maiores maxima; sive tres omnifariam acceptae non snt maiores reliqua; propositio non consistit.
Rapetium regulare; cuius nempe duo latera opposita snt Parallela ; alia vero minime; inscriptum Circulo habet duo alia latera opposta non parallela semper aequalia. Sit enim Circulo stia inscriptum trapetium regulare DAB C. euius duo latera DC. AB. parallela. Et producantur DC ad I. atqueBA ad E. Erit angulus EA D aequalis angulo DCB. propter trapetium inscriptum; atque aequalis etiam angulo AD C. Propter Parallelas . Igitur ADC . erit aequalis angulo DCB. Inde circum serentia ABHC. erit aequalis eircumferentiae BAPD. & ab Iata Communi AFB. erit ei rςumserentia DP A. aequalis CLIB. Ee igitur chorda DA . erit aequalis chordae CB. Sunt ver D A. CB. Iatera duo trapetii Opposita non parallela. Idem autem eodem modo ostendetur; si parallela suerint duo latera opposita DA . CB. Ergo patet quod propositum est. Vera est etiam propositio conversa; posito quidem descripto intus circulum quadrilatero DABC .seu ; quod idem est; posita descripta intus circulum Figura; in qua angulus EAD si aequalis angulo DCB . Itaque dicatur . M
22쪽
PROBLEMA. I. 3Manifesta est Propositio conversa ι si nempe in Circulo sit DA CB; S angulus EAD mr angulo DC B; esse DC Parallelam AB.
EX quatuor datis rectis Lineis omnibus inaequalibus CD. FIa IV. DA. AB. BC. trapetium constituere; quod Circulo pos. st inseribi. oportet autem ut tres omnifariam sumptae maioressat reliqua. Sit CD maior DA. & DA. maior AR. quae maior B C. Ponatur factum esse quod quaeritur. Et si trapetium Performatum ABCD. quod Circulo possit inscribi . Iungatur FIG. V. diagonalis AC. quae dividet trapetium in duo triangula. Erit quidem trapetium irregulare Lemmat. II. nulla habens latera opposita parallela; atque eum Figura si quadrilatera habebit angulos aequales quatuor rectis; eumque inseribenda sit Circulo . anguli duo oppositi erunt aequales duobus rectis . Sed nequeunt esse tam ex una Parte , quam ex altera duo oppositi ambo recti ι etenim omne quadrilaterum habens duos angulos utraque oppositione aequales est Per Elemen. Geometr. parallelogrammum ι Igitur necessario duo anguli oppositi erane aequales duobus rectis ; & non erit uterque rectus. Quaeritur autem trapetium ἰ non parallelogrammum. Quod etiam esse minime potest i eum quatuor datae rectae lineae sint omnes inaequales.
Ponatur angulus in B obtusus; hine illi oppositus in D.
Sint quoque ita latera AB. BC. CD. DA . eollocata; ut summa quadratorum; quae ex AB. dc BC. Iateribus trianguli amblygonii ABC. conficiuntur; sit minor, qu m summa quadratorum, quae ex A D. & Dc lateribus trianguli Oxygonii AD C. constituuntur. Sit etiam in hoc triangulo latus AD minus la- Λ x tere
23쪽
tere DC. Igitur ponatur latus AB. aequale datae rectae li-ν G. Iv. nae AB. & latus BC. aequale datae rectae BC. & latus' AD. aequale datae rectae DA . atque latus DC. aequale da- ae rectae D C. Nune. Est quidem angulus A Dc positione aeutus . atque etiam cpositione acutus erit angui. AC D; eum sit latus A D. positum minus DC; unde Rngulus AC D. in triangulo AD C. FIG. v. non erit υμιωμὶ rectus, aut obtusus. quare necessarici acutus. demittantur ex A normales A G. supra DC. & A L. supra E L. cadet AG . intra DC. sed AL extra BC. Sint dein nominatae rectae datae AB. e. & BC. d. atque CD. a. &DA. b. Ignota vero BL dicta sit Similia sunt triangula AB L. & ADG. cum tam anguli AB L . A B C ; quam Dpothesi ADG; ABC sat aequales duobus rectis. Inde erit ang. AB L aequalis ang. ADG. Et sunt anguli AGD. ALB recti. Hinc erit AB. BL tr AD. DG. scilicet e. xta b. - DG. Quare CG - CD GD erie a atqui est AG - AG - G AD - DG' - GC . quare erit AC' - , ,
edd. Inde habebitur analogia; aab - aed. bb - β - ce- ώ-e . x . atqui est e . data quantitas; de necessaria tnaior x. Ergo etiam maior esse debet aab - ed quam ι, -- ec - dd, quae datae etiam sunt quantitates. Sed est re- ipsa a ab se 1 cd maior quantitas, quam sa - ec
24쪽
Item est b, -- a a maior quantitas quam cc - dd. quain re b, -- aa - ec dd est excessus inter quantitatem maiorem, & minorem. Ergo si adinveniatur quarta Geometrica post x ab - . aed; & ι, - - aa - cc - dd. atque ς; erit illa aequalis x ; sive B L. Et inventus erit vallat ipsius x. Componetur autem Resolutio sie . Dieatur m comperta x. Sit latus BC in datae rectae BC- d. producaturque BC ad L. Fiat BL m. atque ex Leducatur ad normam L A. Cuius quadratum sit aequale ex . cessui quadratorum ; quae ex data Ad me. & inventa B Leonstituuntur. Est quidem BL po One minor AB propter angulum in L rectum. Coniungantur A B . & AC. Erit quidem ttiangulum ABC. datum ob latus AB in e . & BC d. Leon- μα νη. Atque ob latus A C; quod datum , & inventum est petr id quod ponebatur. Etenim est CA' - AB' - - θ - . 2 BC x. B L. Invenitur igitur C A per ignotam B L determinatam . Et erunt in ipso triangulo duo latera omni modo accepta maiora reliquo; cum positum ABC triangulum fuerit. Deinde dabitur uuoque triangulum ADC per AD - ι . &DC in a eουε ucDoue ; & per dictam AC. Unde dabitur per id, quod ponebatur. Quare anguli in A.& D-δc C. erunt quales esse debent; si trapetium iuxta hane Blutionem Circulo sit inscriptum. duo vero latera in eodem triangulo ADC erunt quoque omnifariam accepta maiora reliquo; positum enim ADC. triangulum suit. atque ambo triangula ABC. CD A. posita sunt conformare trapetium; quod Circulo sit in seriptum . Ergo ad datam rectam AC. datumque in illa punctum A. datus anguintus C AD. eonstituatur . & lumatur A D - , . iungaturq; DC. erit DC - a pomisne i sed erat AB -πι atque BC d. Igitur irr gulare trapetium ABCD. ex quatuor datis rectis lineis persorm tum habemus; quod Cireulo inseribatur. Id enim positum est. Describatur nunc circa triangulum ABC Circulus; cuius Centrum s v. 4. Elem. i circa autem omne triangulum Ci cui ut
25쪽
euius deseribitur. Et per conversam propositionem vIgesimae secundae lib. I ii. Elementorum ι quae sane demonstrata est i pertransibit Cireulus per quartum punctum D. Et circa quaesitum irregulare trapetium ABCD. erit Circulus ABCD. descriptus Z. E. F. Se voLIUM. Vera est conditio probIemati adposita; quod ex quatuor datis rectis lineis; unde trapetium conflandum est; tres sint omnifariam acceptae maiores reliqua. Quoniam patet, in omni Figura quadrilatera esse tria latera necessario maiora reliquo omni rici vir. D iam accePta. Iungatur enim in Figura quadrilatera FEPH
diagonalis EH. Est EF. - FH m . Inde EF FU EP erit , EΗ - EP. Igitur Ionge magis EF - FH - EPetit γ PH. Et ita de reliquis casibus. COROLLARIUM.
titas positiva erit iuxta hane solutionem. Quoniam est iuxta illam a maior b. Iam vero e . erit semper maior m.
ria. yr. QInt omnia ἔ quae antea. Et positio eadem . Est quidem anguIus ADC. in trapetii triangulo ADC acutus. itemque acutus AC D; cum sit latus AD. minus DC. uti propositione praecedenti dicebatur. Sed angulus CAD; propterea sane . quia latus AD. minus est DC, unde DC. maius latus subtendit angulum CADι esse potest & aeutus a & rectus; atque etiam obtusus in hae solutione. Itaque oportet illum de
26쪽
Dueatur ex verrice D. perpendiculum D I. supra basimas C. erit kibiu AC. ad CG. veluti DC. ad CI. Sed datur AC. itemque eognita est FIG. per solutionem CG. quae quantitas Positiva Iroia. praeredentis .& datur CC. Ergo dabitur CI. quae si minor sit quam . C. cadet perpendie ulum D I. intus A C. & angulus CAD. erit aeutus ponitur quidem A CD. acutus. Si maior ι eadet DI extra AC. ad partes A. Et ang. CAD. erit obtusus . Si aequalis se CI. ipsi AC. ea- det D I. in A. eritque D I. idem trapetii latus D A. 6c ang. CAD erit rectus. Et circuli descripti diameter fiet latus DC. trapetii. atque iunc erit C A. media Geometrica inter totam basim CD. &Ωgmentum CG. adiacens ipsi CA. quod triangulo rectangulo convenit ; e cuius angulo recto A. Perpendiculum AG. ad basim demittitur . Ponatur angulus A D. obtusus in hae solutione; in qua semperantulus ADC. est aeutus. Et recte illa consistit. Nam ita aptentur fio viii trapetii latera ut sit A D. maior. & DC minor ex quatuor datis rect s lineis. Et si nune AD, dicta , . atque DC. dicta a. Et fiant quae propositione I. & normalis AG. cadet extra CD. ad partes C. Et eadem erit, quae ibi analogia. Quoniam DG. erit - - . Indis CG erit - α- - . Et reliqua uti ibidem.
Iam vero eadem CG. fiet - . Quae quantitas positiva εeum neeessario in se DG. sit maior ι sive a. quae est DC. Ine e EADEM de si agatur perpendiculum D I. supra AC. uti hie superius; habe- Vise bit ut etiam AC. CG :t DC. CI. Et noscetur CI. Ergo easiis hie est temper possibilis; scilicet ex quatuor datis rectis lineis semper trapetium fiet inscribendum intus Circulum eum angu Io ACD sumpto vel obtulis , vel aeuto Fig. vi. & vm I i qui nequit iane sumi rectus; sumeretur enim in analysi. datum triangulum A DC. quod minime datur: & datum sumeretur id quod quaerituri atqui angulus C AD. erit hoc casu necessario aeuius. Igitur determinatus .mni modo est angulus CAD. g. E. F. fio ViII. Nunc determinantur sie reliqui trapetii anstuli. Nam dividitur il
Iud in duo triangula ABC. AD C. Est AB C. amblygonium; eu- & vlu. ius inveniuntur per constructionem anguli ABC. obtusus, & BAC. atque
27쪽
atque BCA. acuti. Cum vero datus fuerit obtusus AB c. dabitur quoque illi oppositus ADC. acutus in altero triangulo AD C. in quo determinantur quoque Per constructionem alii duo anguli CAD. &ACD. sive CAD. acutus adveniat; sive obtusus ι sive rectus; pinsito A CD. acuto; uti explicatum est i & sive in solutione sumatur AC D. acutus proposiι. antecedenti sive obtusus; uti nuper. at qui datis angulis BAC. & CAD. uti & BCA. & AC D. dantur toti anguli BAD .& BCD. Ergo trapetii anguli omneS habentur des niti.
COROLLARIUM. Si iungatur diagonalis BD s Fig. viti. J trapetii; erit angulus ABDobtusus; si sit ang. AC D. postus obtusus: & obtusus erit trapetii angulus BCD. cum sit maior ipso A D. Colligitur etiam ex propositione alia perfacilis constructio problematis : qualis videtur esse resolutio. Nam eonstituatur datum triangu-rIG vI. lum AB C. uti in propositione I. Modo quia datur CI. sicuti ostentum vi II est i dabitur ID. ob datam CD. de angulum CID. rectum . Quare in recta AC. accipiatur , in loco ubi debet ex dictis ; portio CI. data ἔ atque ex I. educatur Perpendicularis ID. aequalis quoque rectae datae. Connectantur DA. & TC. Eritque triangulum ADC. cum alio ABC. constituens totum quaestum trapetium ; quod circulo inseribatur. Constructio est longe facilior illa, quae proposHio
SInt quae antea. Sed ex quatuor datis rectis lineis duae sint aequales, & duae inaequales . oportet quidem ut tres omni modo accepte sint maiores reliqua. Et eadem erit selutio; siquidem trapetii; quod circulo inscribatur; latera apte iuxta imperata mutuo eOmponantur . atque tres casus sunt Figuris I x. xi. repraesentati.
Si casus sit Fig. ix. posset iter dicta triangulum A DC. constitui I sceles Fig. vi. si angulus A CD. se acutus. proposit. I. Est
quidem semper in hae si lutione angulus ADC acutus: Igitur latus D A. & Iatus DC. sive tecta b. & recta a seret 4. Et Probe conficeretur solutio. Nam l6. - . t s. necessario est hoc casu
28쪽
9- , . Et tunc, cum essiceretur a - , ἔ analogia propositionis primae redderetur ac d - 2aa. Σsa -- ce -dd re c. m.
Sed Grou. Lem. I. & uti patet est; 1 c d - 2 a a maior quam 1aa- ee - ώ. atq; esset A B - ς - 3 ; & BC - d dira x . sive AB - e - x & BC -d - 3. δέ hoc casu temper foret o a Mee . & a a d d. Unde esset a s g ce -- dd. Et quantitas idcirco esset positiva Laa -ce - . Ergo Patet . quod proponitur. Posset sane idem triangulum ADC. non deligi I seel est ri . uti sed cuius sit latus alterutrum - 4. & alterum m 3 . proposit. I. O II. Et probe quoque solutio per superius effecta absolveretur. In casu; quem commostrat Fig x. posset triangulum obtus angulum ABC. 122eles adsumi. Itaque esset A B - e 8 . PIG. VI. pariterque BC d - 8. Et proba maneret solutio. Nam 6 -- 6 . necessiario est hoc casu Q 8l - l69. Itaque analogia
quidem idem triangulum A BC. non constitui I sceles; sed cuius alterutrum latus 8. & alterum 9. iuxta ea, quae in antecedentibus tuta suere. Et solutio rite . ae rectε perficeretur per quae hactenus sunt pertractata . Quod vero spectat ad perquirendos angulos trapetii in omnibus tribus casibus huius propositionis; & in illis; in quibus aut triangulum A BC. aut AD C. sit Isosceles; simili ratione peragendum est, ac in Propositione II. Quartus essee etiam Casus ; si duae rectae scirent inter se aequales , & duae aequales inter se. Uerum; modo duo latera opposita ; & duo opposita non locentur aequalia; esset enim tunc Paral
Llogrammum; similis erit solutio. Nam esse deberet ex dictis in triangulo A B C. amblygonio latus AB BC ex ea . 3. Et in triangulo oxygonio AD C. esse latus AD-DC - exemeaus NG. VI.
29쪽
PROBLEMA. I. s . Et est quidem p - s M a s -- 2 s . Vnde recta servaretur analogia proposit. primae, quae tune esset acc- ga. 2 aa - 2 cer. c. m. Esset enim Primus terminus maior secundo. Corollar. Lemm. I. S Per se patet . atque 1 a a maior ae c. quare 2 aa
ae e quantitas esset Positiva. Et duo dicta triang. forent aequi-eruria. Hine; cum in triangulo A D C seret D A - DC. est vero angulus in D. acutus in hae solutione; oh venirent semper ne-eelIatio acuti alii duci in c. & A. Item totus angulus BAD. esset aequalis toti BCD. Et uterque ; ob figuram inscriptam Circulo; rectus. Et reliqua scuti in praecedentibus.
Int datae quatuor rectae lineae; quarum tres aequales. Et idem quaeratur. operietque semper; ut tres omnifariam acceptae sint maiores reliqua. qua de re duo sunt casus Figurarum xli. S Mil. ct eadem quoque erit solutio; & conIlructio; constitutis inter se trapetii lateribus; sicuti in antecedentibus praeceptum est. In catu autem; quem exhibet Fig. xiI. erit
necessario a non quidem ut lubebit; ex dictis triangulum ADCrio. vi IIOseeles. Itaque erit AD s , Et D C a se s . atque A B - e - s. & B C - ου - 3. vel AP e u 3. & BC d s . Estque sane hoc casu semper 2s --as as s. atque angulus A CD iaret necessarici acutus. Semper autem acutus ADC . Analogia vero propositionis pri
rio hoc casu semper a maior erit quam d. Vnde et aa - ddquantitas est positiva. Liquet vero; O Corali. Lemm . I. esse 2 aa - 2 a d quantitatem maiorem quam a s - dd. Ergo recta erit solutio. Et reliqua scuti in praecedentibus conficientur. ric. vi. De id de in casu Figurae xui. triangulum obtusiangulum AB C. necessario non arbitratu erit etiam ex dictis Isosceles. Igitur ita locentur latera; ut sit AB - e - ix. & CB - d
30쪽
& isa - . 1 ab M b, - aa Coroli. Lemm. I . Postea eoustria-ctian est a maior b. primo casu. & ι. maior a secundo casu. quare primo casu ga b. & secundo b, - aa. erit quantibias positiva. Itaque recte perficietur eadem Problematis solutio. Quod ad id autem , quod i pectat investigationem angulorum train petii in ambobus casibus huius propositionis ; pariter etiam
praestandum id est , quod in propositione secunda.
Perspicuum est; si ex quatuor datis rectis lineis. quae tra petium componant; duae, aut tres sint aequales a facilius quihus vis casibus Proposition. III. O IH succedere Problema Etenim inventa analogia; per quam sola quarta Geometrica quaerenda est ι paucioribus terminis tuna comprehendetur . Liquet autem, non omnes datas rectas lineas ι ex quibus constituatur trapetium; esse polle aequales. Figura enim quadrilatera; cuius omnia latera sint aequalia; est parallelogrammas per xxxiv. tib. I. Eum IIgitur; quod ex antecedentibus consequitur; circa quodvis trapetium irregulare, cuius nempe nulla latera sunt Parallela i potest Circulus describi. De regulari nunc; cuius scilicet duo latera opposita sunt parallela; alia vero minime ; inquirendum est.
MX quatuor datis rectis lineis quibusvis A. B. C. D; oportet regulare trapetium comPOncte.