장음표시 사용
51쪽
exorietur aequatio , quae Prius; & quae hic supra . nimirum dis
--. --- - - - --- O . non equidem supra in
hoc ipso eodem Ioco investigando proposit. I. deprehensa . Ergos locus quaestus diceretur esse opposita hyperholes G S. dc interinsectio E rectae lineae EM A . de asymptoti RG Fig. vii. O viii.
caderet ad plagam curvae G. versus O D. aut extra. aut intra B O. nequaquam esse possiet hyperboles opposita GS. locus ipse quae situs; casu; quo tota extra rectam AB. progrederetur. Cadat tertio; si eadem hyperboles pervadens tota extra datam rectam A B . dicatur esse loeus quaesitus ; intersectio Ε. rectile EM A . Sc asymptoti R D. supra BR. non ad Partes cur vae G. versus OD. sed ad partes curvae S. contra stra. scutilite superius praedicebatur. Et casus esset Figurae VI. Igitur accipiatur punctum quodvis M. in curvat Fig. vi. . Coniungantur MB . de MA . quae MA . protracta secet in E. asymptotum BR . addictam plagam S. Αt; cum punctum datum A. maneat sh orb. I in ter convexam eurvam G S. & asymptotum . ipsa recta Eu A. sec hit curvam G S. in alio puncto K. versus eandem partem BR. asymptoti . secus esset curvae tangens contra positionem. Qua de re iungatur ΚΒ. Profecto cum in curva dieatur esse posse locus quaesitus; & sint puncta curvae M. atque Κ; erunt triangula EMB. Ex B. aequalia. Insigne absurdum. Etenim esset hasis EB. utriusque trianguli communis. Sed altitudines MI. δ:ΚI. nempe rectae ex M. & Κ. demitae ad normam lupra asympto- tum 2A . in I ; forent ob asymptoticam eurvam necessario inaequales . Itaque nequiret en hyperboles opposita GS. traiecta exinera datam AB. Ioeus quaesitus; si dicta intersectio E. insideret ad partes curvae S. contra Ergo; si sectio opposita GS . loei hyperbolici ad asymptotos inventi propos. I. eadat tota extra datam rectam AB. nusquam habebit locum quaesitum. O . E. D.
52쪽
In casa propositionis secundae num I. recta linea MAE de . terminata quemadmodum saepe dictum est ἔ potest secare sectio- νis mnem oppositam in uno puncto; & potest in duobus. In casu quae ibi. eiusdem propositionis num. Il si curva opposita pervadit per extremum punctum A datae rectae A B; ipsa EM A. minime Reabit
eandem curvam in alio puncto praeter Mi secaret enim in tribus punctis curvam unam hyperbolicam recta linea; quod fieri nequit per Conteorum disciplinam . Si vero ipso eodem casu num. II. curva opposita secat eandem AB; uti in P; potest etiam & in PIG v. alio secundo puncto recta linea EMA secare curvam praeter Punctum M. Igitur in ea is Prop. II. num. I. Fig. III. O num. II. Fig. V. potest recta EM A secare curvam oppositam in duobus punctis; & non in duobus; sed in uno secabit. In ea su Propos III. si intersectio E caderet ad partes S. curvast nc. vi
contra asymptotum O D; secaretur curva necessario in duobus puncti, M. d Κ. recta EA M; uti ibi ostensum est. Sed sequeretur absurdum demonstratum in Proposit. Qua de caussa non e st Loeus eo casu in liyperbola opposita GS. Atq; si eadem intersectio E cadat ad partes curvae G versus DI . nuipiam erit locus in sectione. quod etiam ibidem demonstratur; sive E incidat intra BO. sive pis vi I. e X ra . Quo utroq; modo recta EA u . nequit nisi in unieo puncto M. R Viu curvam alymptoticam secare; cum anguli MED. vertex sit E. l. praasymptotum. Inde eius duo latera EAM; & EB. semper subinde fient divergentia. quare EAM. numquam potest alibi occurrere curvae asymptoticae identidem ad asymptotum semper eandem B Ε aecedenti. Id vero in aliis casibus propos II Fig. m xv. v. non consistit. Ergo in sectione opposita erit semper locus quaestus, si per transit illa per extremum punctum A. datae rectae AB. propositione II. num. II. Fig. IV. Et nuspiam erit locus; si curva eadat tota extra AB ; atque abscissae sint - x. & ordinatae -3 ;in loco quidem quaesito. Proposis, III. FQ. V. O VI. Si denique
53쪽
curva i p ta opposita cadat tora extra AB έ & non secet rectam A B iSed abietissae Ioel quaesiti snt -- x. & ordinatae-I Proposit. II. nam. I. FQ. III. aut secet ipsam AB . Proposit. II. num. II. Fig. V. tunc erit semper opposita lectio hyperbolica limes ordinationum quaesitus. Haec enim ex Praecedentibus consectantur. Et quidem his duobus postremis casibus i cum non demonstretur recta EM A necessario secare curvam oppositam in duobus Punctis; potest enim . & non potest sic illam secare; uti initio se holii dictum est;&cum loci quaesiti aequatio bene proveniat. non lecabit ipsa EMA eurvam illam in duobus punctis: & locus sane crit in curva proposit. II. num. I. Fig. III. O num. II. Fig. U.
Int omnia quae antea. Sed datus angulus ABD sit rectus Fig. I. Proposis. I & idem quaeratur. datus enim ibi fuit acutus. Eadem omni ex parte erit solutioὲ & constructio. Et enim solum fiet A F - A B. Hi ne AB erit b. Et in constructione asymptotus D. X erit ad normam supra BD. in ita. Et cadet etiam intra angulum B sth obtusum . Et reliqua uti in Pto- positione prima aria. ix. Sit idem angulus ABD datus obtusus. Conficietur quoque eodem modo problema. Et datus angulus ordinatarum M CB erit quoque obtusus. Et perpendiculum AP. cadet extra AB. atque AO parallela ducta ordinatis supra BD. incidet supra BD. ad partes D. Sicuti in praecedentibus. Et EC erit pariter BC - P E . atque O E - B E - BD. uti in loco quaesito . proso'. I. Et reliqua omnia eodem modo scuti antea perficientur.
Fis. I. datum Positione, & magnitudine triangulum BAst. rectangulum in B. Quaeritur trames punctorum M. ita ut ductis
54쪽
ex punctis II. lineis rectis MN parallelis Bu . & occurrentihus in N. ipsi Ba protractae hinc, & hinc. si iungantur Mn.& N Q. fiant aequales. Sit A Bst . datum triangulum non Isosce Ies. Itemque si AB latus minus latere B . Ponatur inventus Limes DEI. cuius punctum duodvis sit M .
AD. recta maior AB . Quod ostenditur. Nam est - tertia Geometrica post a. & ι . quae si recta linea L. Inde erit AB. B C
t: BQ. L. Quare Dpotbes erit L. maior B Et longe magis L AB L AB ιι
-- - maior eIit -- - - - . nempe a . Quare A D. recta definita
maior erit AB. Inde punctum D. cadet extra AB. versus B. Nune axi DB A. Vertice D. parametro DL - 1 a. describatur Parabola IEDF. Erit ea semita punctorum M. quaesita. Quoniam ordinatim ponatur ex DB A. quaevis NM ad parabolam in crure DE. superius ad Buta. Et sunt AN x. ahleissae loci quaesiti. Sed Ioel eonstructi sunt abstissae DN - , , a
sunt Loei. Sed ob parabolam habetur MN - DN x D L. Igi-B a tur
55쪽
QInt omnia quae antea. non Permeabit Parabolae crus S F. per P . verticem dati trianguli. Esset enim per locum Geometricum recta B O M AO. Quod valde absonum rationi. Itemque si ordinaretur ad curvam rota ZBO; tunc AO laret in Ast. Ergo foret M Bu . Et inde BO. Quae omni modo cum eadem ratione pugnant . Et quidem ἔ si ad curvam ordinata foret
-. - - ο κ Est enim DB - AD - AB. Igitur esset ιι - βώ - a a - 2aa . quod a ratione prorsus abhorret . Est vero Loeus in crure ipsio DF. Nam sumatur quodvis punctum m. in illo superius ad datam B sto. & ordinatim ponatur MΝ; erit AN --κ. Et MN -I . Inde MN erit --33. Et reliqua uti antea. Eritque etiam ibi Naese M A. Itemqua si sumatur ibidem tota ordinata A1NM. erit MA . in et ure DE Nae. Sed MA cruris D E est MA cruris DF. Ergo in crure DF est etiam MA - Νει Accipiatur nunc plaga insta BPO . Vbi abstissae essieiuntur - - x. Et ordinatae in parte versus parabolae crus D E sunt - F ; sed in Ioco versus Parabolae crus DF. sunt - I. Itaquest ibi abscissa AP; & ordinata PK versus DF. Et erit parabo lae abscissa DP - DA -- AP - - - - - BL ordi
nata P x erit - - γ. Igitur eadem prodihil ibi aequatio. Et sit
56쪽
sit ibidem abstissa AH. Et ordinata H M. versus D E. Et erit parabolae abscissa DU - DA AH - E Ne
se 1 . Et ordinata HM. erit - - I. Et eandem etiam inveniemus aequationem . Inde erunt iunctae Psta & ΑΚ. atque Hst . S AMinter se aequales. Tandem Locus in Curvae portione TR. intercepta inter duo trianguli latera BZ. Ast insidit etiam hinc, dc inde ad curvam. Quoniam erit ibi abscissa ΒΝ - AB AN - a κ & ordinata NM- - . I. Inde essiciantur Omnia ι quae antea: eritque ibi A Z, Ergo sane ubique in descripta parabola adest quaesta sedes ordinationum MN.
Int omnia qua antea. Sed datum triangulum BAZ. Sit I seeles . Et erit idem Iocus parabolicus; qui quaeritur. Sint enim quae prius. Itaque erit AB - B Inde a - β. Et AD ι, a M- - . fiet se Igitur erit AD ine AB. Et B. essicietur vertex parabolae in Ioco constructo; eum iam provenerit locus quaesitus II -- -- - 1aa - o. Idem vero axis ΓΛ. erit Parabolae ἔ ct idem latus rectum xa. Igitur sit ordinata MN. & abscissa BN. Erit illa quidem I. haec vero aequalis semper erit a - x. Sed est MN' - BN x xa.
Et ubique vestigia M. in utroque parabolae crure B E. & BF. invenientur tam supra, quam infra punctum A. quare ubique eripMA aequalis N O .
57쪽
I. T data recta linea AD. magnitudine ; cuius data Pars AB. divita sit bifariam in C. Addatur ipsi AD in dilectum recta Doaequalis BD. Erit AO, scilicet cupla BD; una cum AB. aequalis 1 CD. Nam est AO - AB -- βο - 1 CB - 1B D- ac D. Item erit a DA - ΒΛ a CD. Nam est D A - CD -AC
Ergo erit 2 DA - 2 CD - BA. Et a DA BA - 2 CD. II. Sit recta AB, dc recta B L. atque sit Κ tertia Geometrica post duplam AB. dc post B sto perspicuum est ὲ esse du plam Κ tertiam Geometricam poti simplicem AB. dc post B L.
Ad Odo sint, quae antea . dividatur Ba bifariam in C. Et deieripta sic parabola EDF. vertice; axi; parametro; quem ac modum in superioribus constitutum est. dico illum esse locum quaesitum. demonstratur . Est recta D L. Parameter. Nam lumatur l)miorum ita Parabolae quae, is NM. ex A. Versus versicem D. Erit per Parabolam MΝ' - DN x D L.
- 2DB X AB -- AB' --BN'. Sumatur tamquam una recta linea 2 DB - AB. atque altera sit recta AB. Igitur erit x DBX AB - AB rectangulum ex recta x DB -- A B in rectam alteram AR per eandem . Et inde AM' erit m rectangulo; quod cx 2DB - - AB. conficitur in AB; una cum BN . Erat
58쪽
PROBLEMA. V. 39 Erat constractione tota AD aequalis ipsi Ac. simul eum
tertia in proportione Geometrica post a AB. de Bu . Sed AD. componitur ex A C. & CD. Ergo erit Ac -- CD aequalis ipsi AC. eum dicta tertia Geometrica; Et; sublata communi AC; erit sola CD aequalis eidem tertiae. Et dupla CD. aequalis tertiae Geometricae post AB. & BQ. f Lemm. n. a. J atqui dupla DB simul cum AB . est aequalis duplae C D Lemm. n. I. . Ergo dupla DB simul cum AB. erit tertia illa post AB. & B L. Et B st erit aequale rectangulo; quod ex dupla S B. simul cum
AB . tamquam ex una recta linea constituitur in ipsam AB. l6. vi. Elem. atqui hoc rectangulum una cum B Ν . erat aequale quadrato quod ex A M. Igitur erit A tu' - BE . BN . Sed etiam est se BC -- ΒΝ'. Ergo erit AM NE . Et AM NT. 2 E. D. Aeeipiatur nunc semiordinata parabolae quaevis III. ex Λ . in plaga aversa vertici D. Et fiant. quae antea. atque erit Am
Et constituatur una recta linea x DA -B A. ferit autem 1 em
B A . erit rectangulum; quod ex recta linea x DΛ BA in B A essieitur per eandem ; cui simul eum BΠ' erit aequale A u . Et sicuti antea ostendetur a CD tertia Geometrica post A B ;& BQ. atqui a DA - B A est in x CD f Lemm n. i. J Igitur erit AB tertia Geometri ea pol BZ; & a D Λ - BA. Quare BU
re tangulo quod ex recta linea constituta a DA - BA essicitur in BA. l6. vi. Elem. q. cui una cum quadrato BH' erit se Au .
59쪽
Sint omnia. quae antea. Si datum triangulum fuerit AB abs seeles ; facilis est synthetica problematis solutio . Nam ι veluti casu eodem effectum est in proposit. Ill. mg. quae ibiὶ idescribatur Parabola eadem; sed vertice B communi cum trianguli AB st dati vertice: & erit ea Limes ordinationum quaesitus, plane idem ae in alio casu. Quoniam sumatur primum abscissa BN in axi RAG. supra punctum A. Et inde ordinatim ad cur
PIG. Iv. MUne in eodem triangulo dato AB L. non aequier uri sit la- tus A B maius qu4m sta Et erit recta AD minor AB. Quandoquidem sit recta linea L . Iupra definita pro sit. I. Igitur trit AB. Botare B st. L; atq; inde. b Oib. I recta L minor B V IL AB Igitur erit L. longe magis minor, quam A B. Et- minor . at-L AB . AB AB - . L AB .
Assi se ilicet ADPad. propos) minor AB. cadetque vertex D curvae parabolicae intra latus AB. trianguli dati AB T. Et re Iiqua hoc
60쪽
PROBLEMA. V. Ihoe eam ipsius verticis D intra E .a locati fient plane uti in ante. eedentibus ; si triangulum non fuerit Equicrure ; tum in Analytica ; eum in Synthetica solutione. Etenim pro solutione Synthetica; si semiordinata sumebatur quaevis Hu parabolae inta A; opus erat; ut 1 DA seret recta maior quam BA. Proposition. IV. atqui aut dati trianguli non Ilolcetis A B 2 latus AB sit minus; aut sit maius latere BQ; erit semper recta a DA maior quam AB; quoniam; si dicatur quoque L tertia praedicta pro-L B Aportionalis; erit rimulauction. Proposit. I. semper - - --- DA. unde erit semper L - BA - 2DA. Ergo 1 DA erit maior semper recta linea quam BA. excessu eiusdem tertiae proportionalis . Quare patet quod propos tum est . Solutio autem analytica est eadem, quae supra L Propositione L J
I. ostenditur in his semper; si sumatur etiam radix salsa - a . progigni aequationem; quae conitruitur ; & quae est iplamet inventa . Ergo ostenditur , , radicibus etiam falsis praeberi valores ignotae π.&esse illas aequationis inventae etiam radices: & satisface re quaestioni. Et ita temper in antecedentibus; & in inlequentihus. Quod semel admonitum volumus. I l. Quaesivit Limitem hune parabolieum insignis ad laudem Geometra V. vivianius in Divinatione secunda Geometrica in Aristaeum seniorem Lib. 3. a propositione XIX. us'. ad XXII. de Lo- eis Solidis. Quatuor igitur propositionibus rem ablolvit. Quarum prima proponit Problema ; si datum rectangulum triangulum fuerit Isosceles ; tres vero aliae spectant ea sum ; si idem triangulum non fuerit Ilosceles. Et duae illarum continent non brevia Lemmata ; tertia autem; qua Problema solvitur ; satis bene est longa. Iam vero solutio Analytica non adest. Et nostra Synthetica solutio ab illa Vivianti est plane diversa.