장음표시 사용
41쪽
FIM L contra primam acceptam LMO -- x. Et ordinetur ad Ellipsim recta ED. atque ex D. fiat DP curvae tangens; concurret D P.
eum diametro Ge in P. ita ut sub tangens P E. st quarta pariter Geometriea post GL' - LO X LE. & GV - LE ; atisque GL - LE. id enim positum est. O . F. O.
In inventa aequatione deest secundus terminus; unde summa radicum verarum erit aequalis summae salsarum. Sed etiam deest terminus tertius. Igitur coe isciens termini tertii affectus fgno nequit se ilicet en minor tribus octavis partibus quadrati coet fio cientis termini secundi. aut productum ex ultimo termino in coeῶ- cientem tertii ; si assietatur illud signo -; esse minus tribus octavis partibus quadrati; quod ex eouisiciente coni Huatur termini quarti . Quae ambae necessariae eonditiones severe in algorithmo demonstrantur; & nostram nos hahemus demonstratio. nem; quibus 1 si alterutra earum desit; radices procul dubio erunt aut aliquae, aut omnes in aequatione quarti gradus fictitiae. In no. stra vero aequatione ambae conditiones desiderantur. Hinc sperasterith. inerunt in illa radices impossibiles . Sed duae non omnes. duo enim puncta necessario dantur concur sis Curvarum per dein scriptionem ι scuti dicebatur. Unde duae; quae sunt radices; sunt Possibiles. Ergo descriptio curvarum Geomtrica respondet algorith. Tum idem algorissimus demonstrat; si aliquo orbata sit aequatio termino; qualis haec aequatio eadem fuit; adesse in illaveras radices cum falsis commixtas. Et descriptio duarum harum curvarum; quae ipsim eamdem construit aequationem ι duas Flo. II. habet MO. satisfacientes problemati; locatas in positu contrario ἔ unde radices verae, & falsae aequationum algebricarum originem ducunt. Ergo ratum , constansque per haec fit quod
de praedictis conditionibus, & de mixtione dicta radicum verarum . & falsarum aIgebriea demonstrat Geometria. PRO
42쪽
SIT propositum problema ἔ duos numeros invenire; ex quorum quadratorum additione deducta latera laetant 78. & si illis mutuo ductis addantur eadem latera; progignatur 39. Sit dictus unus et . alteras. Erit Ob unam conditionem et ae F z - - ae 39. Inde Σ - Σκ - 39 Et Σ - Τ' 'Sed ob alteram conditioin atque ΣΣ - Π 78x -- ωκ
nem est zz - - xx - Σ - α - 78. quare erit ; si loco z.& ret substituti eius valores fuerint expositi per x; aequatio
Habet o . divisorem 3. & comperta aequatio dividitur Per x - 3 o. Est igitur x m 3. Sed erat Σ - φ .
quare erit Σ - - - 9. Sunt igitur duo numeri 3 . & s. Ssatisfaciunt quaestioni. Sed; divisa inventa aequatione per x - 3 - o; remanet P4xx - 6s x - 68 o. Et 468 habet divisorem s. at qua haec ipsa aequatio dividitur per x - 9 o. remanetque xx - I3x - s1 - o. Hinc erit etiam per hanc reductionem
Ergo habent ut iidem duo numeri inventi. Equatio xx - 3Σ --s1-o. nequit in serius deprimi; sed & duas habet radices fictilias. quod propter omnia signa iquae adsunt; Algebrae regulae demonstrant. Et quidem erit xx
43쪽
4 4 4tur x - 3s. Et duae erunt radices imaginariae
-- . Soli igitur duo numeri sunt aut rationales ; aut irratio nates ; qui satisfaciunt quaestioni ; 3 . & s.
FIG. I. QIT datus ang. aeutus ABD. euius postione quidem datum sit Q latus B D. sed latus A B . magnitudine etiam datum. Quae ritur locus punctorum M; ita ut ; iunctis rectis lineis MB. MA. quarum MA . secet BD in E; sit triangulum B ME. semper con. stans ; & datum Ponatur esse series punctorum M. M. quae sita . Agatur AF ad normam supra datam positione BD. Cadet hsolbs AF. inter B dc D. Ex quovis puncto M. ponatur ducta MC ordinata Iupra BD. in dato angulo quovis obtuso MCB. atque ex A. ducatur AO. parallela MC. oceurrens BD. in o. quae cadet extra BF. versus D. ob angulum in F. rectum; & angulum AOD. qui erit obtusus; cum sit MC. parallela A D. Ex eodem puncto M. sit ducta normalis MI. supra eamdem BD. quam patet eadere extra BC. versus D. Dinantur datae, & eognitae AF - b. AO a. BO e. Et abscissae B C . sint v. atque ordinatim positae Cu sint - γ . Sit vero constans triangulum. & datum B ME dd. M AO. AF MC. ML. sive a. b. t: γ . - MI
44쪽
sumpto puncto M; unde ductae i uti supra i MC. MI. similia semis per erunt triangula AOE. MCE. quare AO. OE ir MC. CE.
Quae hyperboles est asymptotica . Componetur autem sic. . a d dAbrumpatur in BD portio BZ - - . Ex ο agatur Oxparallela AO; seu ordinatis loci quaesiti. Et sit in ux portio Q H - AO - a. Ex H educatur HL parallela BD. Tum ex eodem Tagatur O XU. parallela AB. secans HL in L. Et eadet st XV intra angulum B N. Erat enim ang. B0K aequalis AOD. & inde obtusus. atque erit angulus BO X aequalis ABD. Unde erit acutus. Et datum est triangulum 2LH; obo II latus datum ι & angulum OHL - DO H - AO B dato.& angulum O LH B EL - A B D dato. Dieaturque s L m. Nunc essiciatur 2 Z - 0 L m. ad partes D. Ex Z. agatur Z T. parallela G. X. Et fiat ZT BO - ,-- deinde asymptotis O D R . & O X V deseribatur hyperboles T P ; per Punctum T. Erit ea limes qu4elitus punctorum M. Sit enim quodcumque M in Curva. Unde ducantur Alc.
45쪽
parallela AO . & MI parallela AF. atque MN parallela AB asive st . quae cadent supra SD positae scuti in schemate; propter dictam aequidistantiam. Modo erit construction. AO . OB r: MC. CN. scilicet a . e r: I . - CN. Sunt enim BC
BN - x - - - - - . Item ob triangula simia δ
nempe a. m et: I . - ΜΝ. sed sunt 2 N. abscissae; & NM. ordinatae Loci constructi hyperbolici. unde ON X NM. est sem-
a addazaa dd O . Quaebe beaequatio fuit inventa. Igitur erit in descripta hyperbole Locus quaesitus. atque si ex quovis eius puncto M ducantur lineae ad B. SA; quarum M A secat BD. in E; erit triangulum B ME semper datum ι & - dd. Id enim positum est. O . E. F.
. I. Crant quae antea. Et Hyperboles si opposita SG . Poterit O Hyperboles opposita perducta esse per punctum A . datae positione, & magnitudine rectae Lineae AB. poterit etiam tota procedere extra AB. & poterit quoque illam secare. Dico primo; aut Perme et curva per A. aut secet AB. aut tota extra AB
46쪽
PROBLEMA. IV. 7 dati esse semper locum in eiusdem S G curvae punctis .u; cuius ordinatae MC in loco quidem quaesito sunt I . Sed ab. seisiae BC manent - - . scilicet esse semper locum in ipsa hyperbole opposita respiciente plagam ex B versus D. positam. Etenim sit punctum curvae quodvis M. in ea parte acceptum; unde ducantur; uti supra in loco quaesito; ordinata MCcurvae; atque normalis MI r uem ducatur AO. in angulo AOD obtusio ; & perpendicularis A F. supra B O D asyptotum . Erit angulus BC M ordinatarum ea in plaga acutus; eum sint ordinatae parallelae construαὶ ipsi A O. Atque est quidem BC - - x. Sed CM I. Item si ad est punctum in curva quaestum; iunctis MB. MA; secabit Mn datam positione BD juxta problema in puncto E. non intus B D. qualis MAe. sed ad partem Γ T. oppositam ipsi BD. quod liquet; leearet enim tune ita tecta MA , si duci posset; rectam BM; seu Iatus B M . ut non constitueretur triangulum B MAE ; quod vult problema. Debet igitur illud eonstituti hypothesi conditionis problematis. Nunc per ea, quae effecta sunt in praecedenti; erit MI- I. Et EB
- bsaado ra adde, e . eadem aequatici est; quae supra inventa fuit. Componetur autem Locus simili modo, quo in praecedenti. Nam sit acceptum quodvis punctum M in hyperbola descripta opposita in plaga respiciente asymptotum BD. ubi BC sunt x.
47쪽
18 PROBLEMA. IV. Sed Cu sunt - I. Et agatur MC parallela AO. atque normalis MI. Et MN parallela AB; seu alymptoto st V X. Erit . utie νin praecedenti; CN - - . atque BN - BC - CN erit x - - . atque O M abscissa loei constructi erit se B λ- BN
. . debet enim potestas-- curvae praefigi ligno --i non sgno - ; cum in
eadem plaga compositus locus fuerit; ubi quaesitus. Ergo manet Iocus quaesitus; ubi determinatus est. Et iunctis ibi MB. MA. quae secet BD in E; erit triangulum B ME. semper datum; &- dd. II. Dico secundo ; esse etiam locum in hyperbole respiciente plagam BR asymptoti . Ubi angulus ordinatarum BC M semper erit obtusus; cum sint ordinatae parallelae ipsi AO. te fruction.
atque abseisiae , dc ordinatae loci quaesiti fient- .ae; & - I. Oportet autem , ut punctum E. tunc cadat supra BR. ad pa tes scilieet curvae S ; non vero ad partes curvae G; supra. BD . Id vero semper accidet. si hyperboles ipsa opposita pertranseat per extremum punctum A rectae datae AB; aut secet ipsam AB. potest enim & pet A. perduei , & secare rectam AB;& tota etiam extra illam prolabi; ut initio num. I. dicebatur. Demonstratur. Per transeat curva per A extremum Punctum rectae AB. aut 1ee et illam uti in P. Agatur ex A normalis AF supra BD a veluti supra in solutione. & eompositione Problematis quoque essiciebatur. Et si curva seeat AB; prosecto; cum lit tune punctum A extra curvam ; seeabit normalis AF ipsam eandem . curvam in X. Nunc sunt AF. aut KF distantiae curvae ab asym- ptoto
48쪽
PROBLEMA. m. aspicito R D in locis A . aut x. Et aceepto puncto quovis M. in tua , atque ducta ex M normali UI supra R stra; uti etiam fiebat in solutione,& constructione Loeti erit MI distantia curvae ab eodem asymptoto RED in puncto quovis M. atqui Per Pria' ioprietatem curvae asymptoticae est distantia MI. semper minor di- div. stantia AF.θc minor distantia ΚF, unde; & secundo casu multo magis ; minor quam normalis tota A F. Ergo per Element. Geometriae recta linea A ME non parallela asymptoto RN . occurret illi in E. ad partes rectae MI minoris quam AP. Sc inde semper accidet ; si hyperboles opposita pertranseat per extremum punctum A. datae rectae AB; aut si secet AB; ut punctum E. cadat semper supra BR. ad partes curvae S. non vero supra BD. ad partes eurvae G. Et Posita conditio loci, qub eadet pundum E. his casibus semper servabitur E. D. Nunc . Sit punctum quodvis M in hyperbole opposita GS. respi- νlG IV. ciente plagam BR asymptoti. Ubi ah scillae fiunt -x ι itemque ordinatim positae sunt I . Ex M. ducantur ; ut supra in loco quaesito ἔ MC. ordinata Curvae, atque normalis MI ; item du eatur AO. in angulo AOD. obtuso. & perpendicularis AF . supra ROD asymptotumi eritque angulus ordioatarum BC M. Ob tussis; eum sint ordinatae parallelae ipsi AO Construction. Itaque si praestentur; quae in loco quaesito effecta sunt in pra-
-- -F -- - -- o. uuae aequatio eli Plane
49쪽
ipsa eadem eum supra inventa promin. I. O num. huius . Ita que eodem omnino modo construetur , ae illa tum in propositi ne I. tum in hac secunda n. I. Igitur etiam in ea hyperbole oppofita GS. Limes erit ordinationum quaesitus.
Int omnia . quae antea. Sed cadat hyperboles opposita GS. o tota extra datam rectam A B. Iam vero pertractati duo casus sunt; quibus hyperboles haec opposita aut pervadit Per Apunctum extremum i Psius ΛΒ ἔ aut secat AB a tumq; ostensum est , semper esse illam locum quaesitum ι cadereque necessaria latersectionem E. rectae MAE. & asymptoti R OD supra BR. ad partes curvae S. contra plagam QD. Ad hane vero partem; sed & ad aliam aversam ὲ nempe ad Partem curvae G . versus st D. incidere quoque posset hoc casu curvae percurrentis extra totam datam rectam A B. inter lectio eadem E. si Locus quaesitus diceretur esse posse opposita hyperboles G S. cum hoc casu non habeant locum, quae in praecedenti Propositione n. v. dicta sunt ostendentia interia sectionem E. necessario cadere supra asymptotum BD. ad partes PIG. vlI S. curvae; & non posse incidere ad partes G versus M . Itaqi μ ν δ ὲI' ineidae intersectio E. ad partes curvae G. versus a D. Et cadat aut extra BO . aut intra BO. semper enim constituetur triangulum BEM; FIO. VII. quod vult Problema . Non erit GS. locus quae litus . Cadat enim intersectio E. extra EO. Et hyperboles G. esse possit is loeus. Fiant quae supra. Erunt abscissiae loci quaesiti iplae BC--x atq; ordinatae CM --I. Erit etiam angulus ordinatarum ficu. obtusus; cum sint ordinatae parallelae ipsi AO. Igitur erit MI -
50쪽
ta . Et si pro FB aecipiatur illi aqqualia - ae
o. Vti hie supra; δι quae aequatio non ea est; quam supra in Ioeo quaesito proris. I. adsequebamur . atque a a dil nequaquam illa proveniet; si ι uti nuper; pro EB-:ῖ.bum 'tur