장음표시 사용
31쪽
Profecto irregulare trapetium ex quibusvis datis rectis lineis
Si eonstitutum quaesitum trapetium fuerit MPRN. cuius latus MP - A . dg PT- B. atque sto C.& OM - D. fueritque latus Mo parallelum P Z; & ducatur ex extremo Puncto Q lateris PQ. parallela 2 N. lateri MP . occurrens Moin N; erit neeessario dissectum trapetium in parallelogrammum MPQN, ct triangulum stNO. Quoniam Figura quadrilatera est ι& latera duo opposita habet parallela . Item triangulum ipsum 2NO . eonstabit ex tribus datis rectis lineis; id est; ex una st Naequali lateri uni trapetii A . ex altera sto; aequali lateri eiuGdem trapetii C a atque ex tertia ON aequali exeessui inter alia duo trapetii latera, quae sunt parallelai nempe inter D. sive OM . de B . sive Pst. aut MN. vel inter B. sive Puta, aut MN.
dc D. sive MO . Ergo, si datae quatuor rectae lineae compositurae trapetium eae sint, ut duae ex nuper dictis trihus rectis lineis PN. NO. Ossis trianguli 2ON sint omnifariam lumptae maiores reliqua; problema polsbile est; si non maiores; Problema nequaquam erit polsibile: ita ut; positis datis lateribas duobus M O. &Pstia parallelis; quae iungant tertium datum latus I P; non adtingat quartum datum sto. ad MO . in O. aut nullo alio modo quatuor data latera in regulare trapetium Poterunt aptari
Sit quidem propositum id problema possibile. Ex datis tribus rectis lineis Ost - c; δἐ 2M in A. atque ON. quae aequalis si praedicto excessui dato; constituatur triangulum G N. Postea efficiatur NM.1upra D N aequalis datae rectae B. atque ex euatur QP parallela M N dc aequalis eidem rectae B. Iungatur M P. Erunt ob aequales, & Parallelas NM;& a P. rectae lineae illas ad easdem partes coniun
32쪽
me B. Ergo erit utroque casu MO D. Sed sunt paraIlelae MO; & PT pariter per fabricam. Igitur regulare trapetium ex quatuor datis rectis lineis A. B. C. D. nobis comparavimus O . E. F.
ἰX quatuor datis rectis lineis AB. ΓC. CD. DA. trapetium
regulare constituere; quod Circulo inscribatur. Debent quidem aut duae, aut tres esse aequales. Lemm. II. Item oportet ι ut tres omnifariam acceptae sine maiores reliqua ; a que etiam; ut duae ; quae non erunt parallelae; cum recta linea, quae est excessus parallelarum; sint omni modo sumptae reliqua maiores. Propositisne V. . Sit quaesitum trapetium ABCD. euius duo Iatera opposi ta pacallela sint A D. BC. Erunt AB. dc D. alia duo opposita aequalia. Lemm . II. Ponatur autem angulus ABC. Oh tuissus. Eritque AD C. acutus. Insunt autem duo anguli oppositi necessario aequ,tes duobus rectis propter Figuram Circulo inscriptam; & non uterque rectus. Quod initio propositionis primae ostensum , & explicatum est. Sed est angulus BAD. aequalis ADC. propter parallelas ;& inscriptam figuram ι ob quam est angui. ABE AD C. Ergo erit etiam ABC angulus aequalis DCB ob eamdem inscriptam Figuram. Inde obtusus erit angulus DC R. ducatur ex A parallela AH ipsi DC. Oeeurrens BC in II. Agatur etiam norma A L supra BC. cadet AH extra CBL; cum sit parallela ipsi DC; & angulus DC B; sive DCH sic obtusus.
Nunc . Erunt; uti praemonebamus; duae datae rectae Iinae, aut tres necessario aequales. Itaque casus sunt omnes iidem ac
illi; qui Propositione III. dc IU. eontinentur. atqui in illis una
33쪽
duarum ex datis quatuor rectis lineis est semper maior altera. Quare ita latera huius trapetii aptata ponantur ; ut Parallela A D. se maior altera sbi parallela B c. Inde dictus supra excessus propos. V. in adposia conditione semper obtinebitur. Erat vero A B aequalis statuta DC. Tandem connectatur diagonalis A C. quae necessario trapetium in duo trianguIa dispertiee. Sint datae AB ; leu DC in e . & AD b HC. atque BC- d. Ignota vero B L sit - x. Erit per positionem L H, - HC- LB BC - , - x - d. Sed est A L - AB BL ee - xx. Et etiam AL AD' - LH . Quare erite e
Igitur tertia Geometrica accipiatur post ab - a d. & b- d. cui in BC. abscindatur aequalis B L . extra BC. Extollatur ad normam L A ; cuius quadratum sit aequale excessiti quadratorum; quae ex AB ι & inventa EL conficiuntur; est vero A B . maior positione 3 quam B L. Iungatur AB. atque ex A ducatur AD parallela ipsi BC; & aequalis b. adiungatur C. ad punctum D. Pro venientque in triangulo ADC; uti & in triangulo ABC. duo latera omnifariam 1umpta maiora reliquo per Positionem . Posita nimirum sunt constituta triangula. Ergo compositum regulare trapetium erit ABCD. ex quatuor rectis lineis datis; quod Circulo inseribatur. Id enim politum este atque si per conversam vigesimae secundae lib. III. Elemen. iam demonstratam descriptus Circulus sit circa triangulum AB C; perducetur ille per quartum punctum D; Et inscriptum capiet trapetium ex Optatum . O . E. F.
QV eruntur anguli in regulari trapetio; circa quod Cireulus descriptus. Sint omnia quae antea.& eadem Fig. xviii. Dan
34쪽
PROBLEMA. I. stur quidem ,& noti fiunt per constructionem oppositi anguli Anc.& AD C. Inde per ea; quae praecedenti P Positione ostenduntur; exstant cogniti anguli BAD; & BCD. cum ille demo stratus ibi fuerit aequalis angulo ADC. ista vero aequalis angulo ABC. Sed dantur per constructionem anguli BAC dc BCA. Ergo cognitos etiam adsequemur angulos C A D. & AC D. Igiatur angulos omnes Perspectos habebimus inscripti Cireaeo it, petii. Deinde A D. datum est quidem maius latere BC. spropos
praecedenti l potest vero esse maius ἔ vel minus latere DC. Etenim interiptum trapetium hoc regulare intus Circulum complectitur . veluti dictum est: praecedenti proposiL casus omnes pro positionis Id. & IU. eum duo latera sint necessario aequalia. Quare in illis casibus; quibus una inaequalium datarum rect rum; qualis est AD; est minor una aequalium; qualis DC. erit latus AD. minus DC; iis autem casibus; quibus una inaequalium; uti AD; est maior una aequalium: qualis DC; erit latus A D . maius DC.
Ergo si latus DC soret maius AD; posset quidem in trapetio regulari. haud secus ac in irregulari inseripto Circulo f pr . positione II. J esse hac parte angulus C AD. acutus; rectus; &obtusus. At vero angui. BAD. in trapetio regulari inscripto intus Circulum est necessario aequalis angulo ADC sper antee densem l Sed AD C. est angulus necessario acutus. Ergo Ela BAD. necessario erit acutus. Ergo acutus necessario semper ipse angvlus C AD erit. Hinc etiam semper obtusus erit angulus BCD. Et quidem demonstratur sper eandem ipse BCD. aequalis ABC. qui erat obtusus. Si datus ang. CAD. se rectus; obveniet tra-Petii latus CD. diametret ipsius Circuli. Sunt igitur anguli huius trapetii omnes definiti. α E. F.
Manifestum est; Si ex quatuor datis rectis lineis; quae regu
35쪽
Iare trapetium componere debent Circulo inscribendum i duae sine
AD C. fore Isosceles . cum opposita latera AB. DC. statui ae qualia debeant Lemm. II. . Qua ratione datae rectae duae aequales inter se;& duae inter se aequales esse nequeunt. Nam quadrilaterum foret Parallelogrammum. Er quidem analogia propositionis VI. non consisteret. Igitur quicumque sint casus propositi III. non erit in hoc trapetio triangulum ullum I sceles. Si vero ex datis lineis tres sint aequales, qui duo esse possunt casus propositione IV. erit Isosceles triangulum ABC; si casus sit Figurae XIII. ipsius propositionis IV. sed erit I sceles ADC. si ea sus sit Figurae XII. eiusdem propositionis. Sunt enim in nostro trapetio duo latera opposita A B. & CD. aequalia; & A D est maius BC. atque primo casu Figurae XIII. erit DC in BC. inde etiam I sceles erit BCD. Sed secundo easu Figurae XII. erit AB - DA. Inde etiam Iisseeles erit BAD. Est regulare trapetium aliud I sceles; quod latera duo quae non sunt parallela; habet inter se aequalia: & aliud scalenum ieuius eadem latera sunt inaequalia. Et inde nulla aequalia . Sed colligitur ex propositione UI. circa quodvis trapetium regulare siquidem Iatera data aptari ad trapetium possint proposiι. U. 1 Sc duae datae rectae non sint aequales inter se; & duae inter se aequales;; uti nuper; circulum describi; atque Corollario proposit. IV. circa quodvis trapetium irregulare deseribitur quoque circulus. Igitur circa quodvis trapetium tum irregulare, cum regulare Iso- sceles c Lemmar. II. ; et si duae datae lineae non sunt aequales inter se; & duae inter se aequales; Circulus potest describi.
pio QIt datum trapetium A RHC. oportet illud circa Circulum X X deleribere. aut sint datae quatuor rectae lineae A E. EII. H C. CA non omnes aequales; oportet ex illis trapetium comPO
36쪽
nere, & circa Circulum deseribere. Sunt quidem tres omnim acceptae maiores reliqua.
Ponatur esse AE IC. datum trapetium iam constitutum i &eirca Circulum QAdescriptum. aut Ponatur ex datis quatuor rectis lineia non omnibus aequalibus ΑΕ. ΕΗ. H C. CA. esse compo
. AE erit AC - . EM. Sicuti antea. Consentit igitur reliqua Geometria cum algorithmo demonstrato .
Itaque ita trapetium datum sit; aut eκ quatuor datis rectis lineis ita constitutum sit; si circa Circulum z. describi debeat; ut duo opposita latera simul accepta aequalia sint duobus oppositis simul acceptis. Sive latera omnia sint inaequalia; sive duci aequalia ;& duo inaequalia ; aut duo aequalia inter se;&duo imter se aequalia. quo casu duo adjaeentia latera AE. & ΕΗ.erunt aequalia; & duo adjacentia AC. de CH. aequalia; Cum duo opposita simul aeeepta latera eslo debeant ex dictis aequalia duobus oppositis simul aeeeptis. Item quia secus, duo opposita latera essent aequalia; & duo opposita aequalia. quare
quadrilaterum esset parallelogrammum; & non trapetium ἔ quod quaeritur. atqui data sunt trapetii latera magnitudine. Ergo; cumdatus jim; & cognitus sit illorum mutuus positus; si trapetium
37쪽
circa Cireulum si describendum; quod demonstratum est; erum quoque dati anguli trapetii quatuor AE . &L.&II.& C. Itaque si Circulus ἔ cuius centrum E; circa quem Ponatur η deseriptum datum trapetium ALII C. Ex Q. agantur normales OD. ad trapetii lati s P E. & 0 F. ad latus EII. atque o G. ad latus CII. & ZR . ad latus A C. Iunganturque ET &CZ, Erunt
& CVM. Inde angulus DE C. Obveniet aequalis angulo FB0 . Et angulus BCst aequalis G CZ Igitur dividatur bifariam datus angulus A EII. a recta Eri & bifariam datus augulus ACII. . recta C L. Convenient Ez dc CZ, in puncto. quod si z.
Ex st . ducatur una normalis O D. ad latus trapetii AE . aut 2 F. ad latus ΕΗ. aut G. ad l tus II C. aut o R. ad latus A C. Vnum enim, idemque est. Et centro intervallo QII. acit O F. vel EG . aut P. B. deseribatur Circulus. Erit is quaestus. Id enim positum est ; cum unum, idemque positum fuerit pun Oum Circuli centrum tam pro normali 0 D. aut 2 F. quam pro normali 2Gι aut O L. atque unum idem 21 suerit punctum concursus duarum Εο . & CZ, ductarum per id, quod trape tium circa Circulum positum tuerit descriptum. Z E. F.
S c ii o L v M. Nequeunt ex quatuor dati trapetii iam constituti lateribus esse tria aequalia. aut si datae quatuor rectae lineae sint constituturae trapetium; nequeunt tres csse aequales; debent enim
I per demonstrata I latera duo opposita simul accepta esse aequalia duobus oppositis simul acceptis. Analytis haec Omnes solvit casus; vel trapetium circa Circu. tum dei cribendum irregulare sit ; vel regulare Isio sceles; aut Scalenum . atque si duo latera A L. & EII. aequalia sint inter se;& duo Cn. CII. aequalia inter se; erunt anguli oppositi EA C. dc
38쪽
PROBLEMA. II. sIntus Circulum vero datum; aut circa Circulum datum deleti. bere trapetium ; quod quidem minime esse potest datum iduo enim sola latera data esse Potant; problema est facillimae tolutionis.
PROPOSITIO. SIT data Elipsis GDLF. Cuius diameter positione data GL .& Centrum O . Quaeritur punctum in Curva A. unde si ordinetur A B; atque ducatur Tangens A T Occurrens diametro in T; fiat exeetas inter quadratum ex GL. & rectangulum ex Go in GB; ad excessium quadratorum GL . & GB ι veluti GL una cum GB ad subtangentem T B. Sit punctum A in curva quaesitum: & ordinatim adpliceturARr atque dueatur Tangens AP eonveniens cum diametro G L in T . Est per doctrinam Conicorum L B . BG t: LT. TG. t xxxiv.
39쪽
, o P R O B L E M A. II. de T B ad G B erit uti x L B ad 1BO. seu BO. BL tr GB. TR. Nune; denominatis diametro GL; & abscissa GB ; uti antea ;arit subtangens TB ' per nuper demonstrata.
Nunc diametro DE. δc parametro a . de rihatur parain hola ΚDI. Cuius vertet D. ducatur DII. parallela ordinatis parabolae ΚDI. Et in illa sumatur DA atque diametro AH; 3 e3 vertiee extremo puncto A ipsius DA; parametro vero a . . at que ordinatis parallelis ipsi DE sit descripta secunda Parabola BAC. Dico harum duarum parabolarum intersectiones praebere valores ignotae x . Duae intersectiones necessario sunt per descriptiones parabolarum; & non aliae. Sint autem intersectiones M. M. Unde agantur ordinatae MO ; de M P . ad Curvas . Sit Mo dicta x. in angulo EDA; atque D O dicta I. . ordinatae nempe sunt, δι abscissae parabolae Primae. Patet, Primam parabolam YDI deseriptam esse eam, quae inducta nova parabola est adi in xx. Nunc descripta C AB. se
40쪽
quata rectangulo; quod ex AP in Parametrum essicitur . qua-
laetio u in angulo EDII. atque est ibi etiam MP DO - γ. atque PA - DA -- D P - - - x. Est enim DP in plaga
aversa --x. Unde eadem provenit aequatio. Sed in utraque
curva sunt eaedem I ; & eaedem & x. Ergo lassiciatur - parabolae primae loco I r in parabola secunda . Et proveniet aequa-α ei aetio, quae erat construenda H -- -- c' - Ο. Et eum duae sint necessariae intersectiones Curvarum M. M.
duae sunt radices aequationis possibiles. Deeli vero in ipsa aequatione aliquis terminus; Ergo per algorithmum radices in illa sunt verae salsis mixtae. Unde una radix vera erit possibilis; altera& possibilis salsa . Erat MO in angulo posita EDA - - - x . In de erit opposita MO - - x. ambae vero DI. sunt - I. Itaque sumatur GB super diametro GL aequalis MO - . x. Erat enim in analysi GB - - x. Ex B ordinatim adplicetur ad Ellipsim recta BA. Et ducta ex A. tangens AT . conveniet eum ipsa diametro in T; ita ut subtangens TB. quarta sit in proportione Geometrica post G U - GOxGB. & GL GR atque G L -ι- G θ . Id enim positum est . Iam vero demonstratum est, eandem obvenire aequationem eonstructam; quae sane eadem est eum inventa: s adsumatur - x. Ergo accipiatur super eadem diametro GL in parte aversa; nempe ex L versus G portio LE - MO - - x. positae