Alexandri Andersoni Aberdonensis Supplementum Apollonii rediuiui. siue, Analysis problematis hactenus desideratiad Apollonij Pergaei doctrinam perì neuseōn, ... Huic subnexa est Variorum problematum practice, eodem auctore

81쪽

ri C D H a rectangulum aequale DE quadrato, plus AD in DE,&BEC rectangulum quale DB in D E , minus DE quadrato, plus CD in DB, minus CD in DE. est autem vi R ad S, ita DE quadratum, plus AD in DE,ad rectat gulum quod oritur ex applicatione S in DE quadratum, plus S in AD in D E ipsi R; ex praemissis ergo S in DE quadratum, plus Sin AD in DE, applicatum ipsi R, quabitur DB in DE, minus DE quadrato, plus CD in DB , minus CD in DE &S in DE quadratum, plus S in AD in DE, etc-quabitur R in DB in D E , minus R in DE quadram, plus R in CD in DB minus R in CD in D E , & qualium proseph resi S in DE quadratum,plus Sin ADin DE, minus R in DB in DE,plus R in DE quadratum, plus R in CD in DE.ςquabitur R in CD in D B. ergo ut S plus R in DE, plus Sin AD , plus Rin CD , minus R in D 3, ad CB in D B. ita R ad DE , quae propterea dabitur. Reliquus casus ex eodem epilagmate est,ut sit ratio rectanguli BED, ad rectangulu AEC,qualis data R ad S. - . Sit fictum: & erit illudo C. D E A Nquale BD in DE, minus DE quadrato. hoc avsem aequale A D in CD, plus CD in DE,plus AD in DE, plus DE quadrato. ut autem R ad S ita D B in DE, minus

DE quadrato , ad id quod oritur si applicetur S in DB in D E minus S in DE quadratum ipsi R. & ex praemissis erit s in DB in DE minus DE quadrato , squale R in AD in CD, plus R in CD in DE, plus Rin AD in DL, plus R in DE quadratum.

82쪽

Et ςqualium prosaphaeresi,S in DB in BE,minus S in DE quadratum, minus R in C D in DE, minus R in A Din DE minus R in DE quadratum, ςquale erit R in A D in C D gitur vi S in D B minus S plus R in D E , minus R in CD ,minus Rin AD, ad AD in CD, ita R ad DE , quae

proinde ut prius, dabitur. Atqui totidem orientur casus , ex duobus reliquis si nimirum iubeatur ita secari data recta in intermedio segmento, siue ita augeri, quibus eodem modo fuisseri potest. sed haec satis sunt ad usum lemmatis nostri tyronibus manifestandum , qui inde petant singulorum casuum,quum Syntheses, tum determinationes, quae quidem ex applicationibus sponte sese offerunt.

Haec polloni, Pergo Problemata, ad determinatam sectionem spectantιa, eritincta,resuscitauit vir acutus minimios Viliabrodus Snellims, qui etiam non minus Di citer, oe quae ad stati, rationis sectiones eodem fato interiere, restituit. sed me, is quam Grego ex eiusdem agri cultura feci, hic tibi copiam ubens facio.

Problema XIIII.

IN dato triangulo parallelogrammum rectangulum inscribere, quale dato. oportet autem rectangulum datum,fmise dati trianguli maius non esse. Sit datum triangulum ABC,datumque rectangulum EB CD, cuius latus ED, secet dati trianguli latus alterutrum, Ut AC, in Κ puncto. tum rectangulo AC Κ, fiat aequale rectangulum AFC, ducaturque recta FI, parallela basi BC,& demittantur perpessiculares in basin I G, FH , dico rectangulum I G HF , esse aequale dato,

83쪽

erat faciendum.

CONSECTARIVM.

Hincpatet maximum inscriptum rectangulum, aequale estu semissi ipsius trianguli, nam quoniam rectangula AFC, ACk, aequalia sunt, maximum autem rect

sulum sub segmetis ipsius AC, est quadratum dimidi segmeti,id est rectangulum sub tota AC, dequaria eiuμdem parte,ut autem AC ad Ck, ita to ta perpendicularis a vertice trianguli Α, ad basim BC, est ad rectam DC, si igitur DC aeqvi lis fuerit quartae parti perpendicularis,se cabitur AC in F, bifariam & aequaliter, cst autem recta-gulum sub tota base in quartam partem perpedicularib quale dimidio totius trianguli.

Problema XV

9 cesibus diametri para animi rectanguli, sepra birera ime qualia, inuenire latera. Sint dati excessus A B, CB,&super rectam A B,describatur semicirculus A G B, in quo coaptetur tecta AG, ipsi AC aequalis, S ducatur rcchi Gn. tum data GA me- di , re ipsius CB dupla, diis rentia ex trema: u iuuenias

84쪽

PRACTICE. 3Trtur extremae, quarum maior sit BE. tum ex BE&com-

posita ex BE & AC, id cst DE, fratrectangulum DFBE, quod dico esse quaesitum. o Est enim ex costructione, lua-F dratum G B, aequale rectangu- - lo sub B E, Zc BE minus duplo ipsiusCB,id est qua stato ipsius By, minus B E in CB bis. est au-lcm G B quadratum , aequale quadrato A B, minus A G vel

AC quadrato, id est CB quadrato, plus rectangulo bis sub CB, C A, ergo BE quadratum minus BE in C B bis, aequale erit C B quadrato, plus CB in CA bis. & additis

utrinque aequalibus nempe BE in CB bis BE quadratum, aquabitur CB quadrato, cum quatuor sectangulis,duobus sub CB, BE, de totidem CB, CA, sed BE vel HE bis fa

cnim ex constructione, DE aequalis compositas ex BE

vel HE & AC. est dupla ipsius DE. ergo quadratum BEaequale est rectangulo, stib dupla ipsius D E, & B C, una cum BC quadrato, id est rectangulo sub composita ex DE dupla cum BC,& BC. addatiu commune quadratum D E, eruntque quadrata BE,DE,id cst BD quadratum, aequalerς stangulo sub composita ex DE duplacu

BC, & BC, simul cum DE quadrato. sed quadratu B D. est aequale rectangulo sub BC,&composita ex CB, &d inpla ipsius CD, una una quadrato ipsius CD: erit itaque DC, ipsi DL aequalis dc e B eYcellus diani e tri supra' maius latus DE' atqui AC differentia ex xstitum , aequalis est ipsi D H . ex constructione. ergoD A resiqua, rc

85쪽

38 UARIOR vM PROBLEMA TvMliquae HE, id est BE, aequalis erit. & AB, excessus eius. dem diametri supra minus latus B E. est itaque DF B Erectangulum quaesitum. quod erat demonstrandum.

Problema XVI.

M to excessu diametri quadrati, supra latus eiusdem,

Inuenire latus.

Sit datus cxcessus ΑΒ, cuius duplo aequalis fiat FH,eique ad angulum rectum addatur BC, ipsi BA aequalis. tum data FB differentia extremarum, &BC media, i ueniantur extremae, quarum maior DB lateri quaesito erit aequalis.

Est cnim quadratum AB vel BC, id est reci angulum D Bin BE, vel DF, cu rectan--Εgulo DB in FB, aequale quadrato DB. & AB quadratum bis,cum rectangulo DB in FB bis, aequalia DB quadrato bis, sed AB quadratum bis,est aequale CAvel AD qum drato S: DB in FB bis,est quale F B quadrato semet,plus FB in DA bis. est enim FB in BD semel,ae luale FB quadrato semet,plus FB in DF,deinde idem quoque aequale est, FB in D & FB in A B,vel AF : sed F B in AF, plus yBin DF est FB in D A. in ergo I A quadratum, plus in quadrato semel plus FB in D A bis,id est quadratum compositae ex DA,FB,est aequale DB quadrato bis, & est DB latus quadraticuius composita ex DA, FB est di meter,&FA vel AB differentia diametri, S lateris.quod

crat facicndum.

86쪽

Problema XVII.

tis quatuor rectis, quarum tres utcunquesumptae relicta sint maiores, ex quatuor datis,quadrilaterum circulo inscriptibile construere, id est cuius bini anguli oppositi,

aquentur duobus rectis.

Si vel omnes quatuor, vel duae saltem, niter se fuerint aequales, constructio facilis erit, si enim primum, fiat quadratumi sin alterum, fiat ut differentia duarum in aequaliti ad minorem, ita aequalium altera, ad aliam, quae crus erit triaguli Isoscelis, supra minorem ut basim, extra circulum constituti, cuius trianguli crura, si datis - aequalibus augeantur, fiet qucsitum. 1ed sint rect ς AB, AC , CD, DB,omnes inaequales. sitque factum : & occurrant duae C A , DB, extra circulum in E. eritque ut

CD ad AB, ita EC ad EB, &itaED ad EA, & propterea quoque ut CD ad AB, ita composita ex EC , ED, ad compositam ex EB, EA. & diuidendo,ut differetia CD, An ad An , ita differentia compositae ex EC, ED , &compositae ex AE,EB,id est composita ex C A , B D datis

ad compositam ex AE, EB, quς propterea dabitur: ergo & composita quoque ex CE, EB: est autem ut CD ad ΑΒ ita CE ad EB,dabitur igitur EB. ergo de tota ED,& reliqua EA, totaque C E. Componetur autem sic. sint quatuor datae rectae F, G, H,I, omnes inter se inaequales, sumaturque quaevis maiorum nimirum G,cum minima I, fiatque ut disseretia earumdem ad minimam I, ita composita ex reliquis duabus F, &H, ad aliam rectam,quae sit Κ: haec compo-

87쪽

Onatur cum re VARIOR vM PROBLEMAΤVM

reliquarum altera ut F,sitque conatosta P, L. tum fiat ut eadem G ad I, ita huius compositae vitiariae vatum segmentum P,ad reliquum L. iungaturque hoc interuallo rectς M, describatur arcus circuli, & ccntro C,interuallo reci ς P, alius priorem intersecans in E pun-O o,tum in re t is CE, DR sumantur segmenta, AC, BD, Quoniam enim ex costructione, est ut disserentia re diarum G &I. ad minorem I,ita rectae F,H, simul. i. AC, . Et simul,adh, i. ΑΕ, ΕΒ simul erit&c5ponendo ut Gad I ita CE, ED simul, ad AE,EB simul, atqui ut eadem Gad lita P ad L,id est A E,pars ad EB partem : ergo&reliqua quoque DE d reliquam AE cri ut tota CEDsegmenturi cum ultima relicta H , ipsi M aequalis,at cadem ablata a conlinquat P. tum posita recta CD, ipsi Gipsis F, H aequal0,& cQnnectatur recta AB. dico quadrilaterum ACDB elle quaesitum.

88쪽

ad totam ΑΕΒ , id est ut Gad I. & quoniam est vi CE ad EB, ita DE ad EA , similia erunt triangula CED, DEA, punctaque A,B,C, D, in circulo.& ut CF ad EB, ita G,id est CD ad AB: erit igitur AB ipsi I equalis , &quadrilaterum quintum C ABD. quod erat ficien

dum.

' Problema XVIII.

Detesto quadrato, a quovis angulorum renam educere, quae cum latere subiacente pro uelo m latere opposito, triangulum rectang&lum extra qzadratum constituat, quod ad quadratum datum teneat rationem.

Sit datum quadratum ABCD, ratioque data R ad S. satvtR, ad compositam ceXR &S, ita IC latus quadrati, ad rectam AF,quq ab angulo A educta, secet latus B C productum, in F. tum centro F, interuallo FA, ducatur circulus EA G,& agatur recta AG, quam dico problema cfficere. Quoniam enim cst R'ad R & Ssimul, ut BCadFA,id est ut ABCD

quadratum , ad rectangulum sub AB , AF. est auten ABCD quadratum aequale trapeato ΑECH, ducta nimirum AEὶ sunt citim triangula AEB, AH D aequalia quibus addito communi trapezio ABCH, fit quadrasi ASCD, aequale trapezio AECH, & rectangulum sub Ap

89쪽

AF, est aequale triangulo AEG. ergo ut R ad R S simul, ita trapezium AE CH, ad triangulu AEG: & diuidcndo vi R ad S ita trapezum AECH,id est quadratum A dcD . ad nisagulum H CG, quod erat faciendum.

Problema XIX.

D tam reciam itast re, ut recitangulum Ab tria, est zno sigmentorum, ad alterius sigmenti quadratum,

datam teneat ratione .

Sit data recta DE, lata ratio A ad B, intcr quas media proportionalis si I, dataque I media & A disterenti, extremarum,inuci uantur extremae FH , GH. tum fiat ut FG ad GH,ita DC ad C E. eritque rectangulum DEC,

ad quadratum CD, ut A ad REst enim

GH I,atqui ut A ad B, ita Aquadratum ad I quadratum, id est FG quadratura, ponitur enim FG ipsi AEqualis j ad I quadratum , id es ad rectangulum FHG,Vt autem po ad GH, ita DC ad CE:&componendo ut FH ad HG, ita DE ad EC, & conuersc- do ut FH ad FG , ita DE ad DC: ς quales ergo sunt rationes 1 H ad FG & HG ad FG rationibus D E ad DC,& CE ad CD: sed ex illis composita est ratio FH G rectanguli, id est I quadrati, adria quadratum, id cli A quadratum,

90쪽

ex istis v ero composita est ratio DEC rectanguli,ad DC quadratum , ergo ut FG Vel A quadratum, ad FHG rectangulum, vel I quadratum, id est ut A recta ad n rectam, ita DC quadratum ad DEC rectangulum,quod

erat faciendum. e ALITER. . .

Sit data recta A B, super quam costruatur quadratum A BDC, sitque ratio data A B ad AE, quae conuectantur ad angulum rectum E AB,cui subtendatur recta EB. tum dividantur rectae CE, DB, bifariam in punctis G, F, perrectam GF cxtensam quantumlibet in H, de a puncto Ain rectam GF H, ducatur perpendicularis AHIΚ, quae producta concurrat cum latere DC protentio,in Κ puncto. sintque AH, HI, aequales, tum rectangulo AKI,fiat aequale quadratum KL, & per L punctum , ducatur recta LMNO psis DB A parallela, secans rectas CD, GF, BA, BE, in punctis L,M,N,O. dico rectam AB sectam in N,ut iubetur. Quonia enim recta GMF, secat rectas CE, DB bifariam, secabit quoque bi-

F. faria rectas omnes ipsis CD, BE, terminatas,¶llelas ipsis DB CE,qualis est LMNoex praedemonstratis, & rectangulo AKl , aequale est

quadratum Κ L, erunt pulmcta L,I, A ,O. in circulo cuius centrum 11, & diameter LMNO, quae quonia perpendicularis est ipsi AB, erit quadraton A N, rectangu-