장음표시 사용
71쪽
rem esse debere, dupla eius quae est HL ad LB,vel 1 C, ad. CB si nimirum recta CI producta, secet tangen te in M.est enim maior ratio MC quadrati, ad CB qua dratum, quam IC quadrati ad CB quadratum.
DA tam re iam ferminatam semel utcunque e iam, ita
auxere, ut rediangulum ub tota audia oe augment'. ad quadratum compostae ex augmento . intersegmento, da
Sit recta data AB, secta utcumque puncto C, rati que data AB ad BF maioris primum in qualitis, quae ad angulum rectum conueniant augendaque sit AB, vel producendam E, ut rectangulum AEB, ad quadratum EC,datam teneat rationem AB ad 2s ducatur rect a AF, producaturque quantumlibet, &diuidatur angulus a BF rectus aequaliter per rectam BG, productam quoque quantumlibet, & occurrentem retiae AF in G puncto , tum secetur recta BF bifariam in M, & agatur recta
GM,proiciasa utcunque,¢ro M , interuallo M 3,. vel MF,ducatur semicirculus B u. F , quem tangat in α recta GA est namque G punctum cxtra semicirculum B iis , ut ha ctenus ostensum est.) producta quoque quantumlibet, tum a pun uo C,ad rectam GH ducatiar perpendicularis CL, producta donec secet tangentem Gα, in Zpuucto,& ipsi CL fiat aequalis LIq. & rectangulo CZHst aequale quadratum ZP, in recta tangente G α ZP. tiam apuncto P ducatur PR perpendicularis ipsi GAZP secansque re inii GMR in B puncto,&a puncto R ad
72쪽
n ad AB productam ducatur perpendiculatis RE,secans rectas G d,GF productas,in punctis T,S. dico E esse punctum quaesitum.
HCentro enim R,intemallo Rs, vel RT, ducatur 1emi circulus TPS, qui tanget rectam G ZP , in P puncto, cxpr nullo lemmate. & est rectς ZP quadratum, qua
73쪽
1c VARio AvM PROBLEMA Turile rectangulo CZH, ex constructione. sunt igitur puncta C, H, P in circulo TCHPS &RET, ipsi EBC perpendicularis. erit igitur quadratum EC, aequale rectangulo TES; id est BES, est enim angulus T BE semirectus ex constructione, ergo& reliquus BTE illi anualis squidem BET rectus est, quare BE,ET aequales) estautem rectangulum BEA, ad rectangulunas Es,ut EA ad ES,id est AB ad B p, ergo & rectangulum BEA ad quadratum EC, est ut AB ad BF. quod erat faciendum.
Hinc patet, si recta G A producatur , donec occurrat rectae AB, in I, diuidatur recta CZ, bifariam in O,. ducaturque IO,siccans rectam G M in Κ,&acta demum
DKN ipsi CZ parallega, & secante rectas IC,GM,IG, in punctis D, Κ, ,essu DK, KN aequales, de lincas a
punctis inter A,&D cductas,rcctisque ID,IG, terminuras, &m perpendiculares, inaequaliter secaria recta GM,maiusque segmentum esse inter ID, GK rectas, cui aequale absumptum ultra GK, excurret ultra tangentem G : ac propterea in illo casti, problema impossibile est e. est itaque hic singularis & maxima ratio BD ad DA, id est punctum datum C, data ratione AB ad ns, non debet assiguari inter D,& A. Sitiam data ratio AB ad BF minoris inςqualitatis, liquis ut supra peractis, erit angulus BCF obtusus , ut ostensum est, cadetque intra ductos,ut supra semicirculos. sit itaque centro M,interuallo BM,ductus semicirculos IHF, & a puncto C dato, ad angulum G,
74쪽
ducta recta CG secans peripheriam BHr, in H puncto,
a quo ad 11 centrum, lucatur recta HM, cui a puncto C,parallela aῆatur CR,secans rectam GM productam, in R puncto, a quo, ducatur RET,perpendicularis ad AB productam, & caetera ut prius,dico adhuc, punctum Eesic quaesitum. Sunt enim eae praemissis, plin
ctione: ergo rectangulum TES idest BES, aequale erit quadrato CE. atqui rectangulum AEB, est aes rectan gulum BES; ut AE ad ES, id est AB ad BF. ergo rectan gulum AEB ad quadratum EC,erit quoque ut AB ad BF, quod erat faciendum. Eademque erit&factio,& demonstratio , si ratio offeratur aequalitatis:debet aute tum BC,minor esse dimidio ipsvis A B,.vtinex sequenti schemate perspicere est. Nam si datum fuerit D pui
ctum medium rectae AB , recta ducta D G , tangeret circulos BCF,T GS,propterraque centrum punctorum D, G,in recta GM reperiri non
posset. & multo minus si dates
75쪽
punctum esset inter Di,& A. potest quoque centrumst in hac figura reperiri, si recta CG diuidatur bifaria,a perpendiculari OR.
D ta n recta semelseciam utcunque, ita augere, ut rectangulumsub tota aucta altero si meto cum ad
te ia, ad quadratum adiectae, datam teneat rationem. opor set autem rationem datam esse inaequalitatis maioris.
Sit data recta AB,secta puncto C, eademque auget da sue producenda in E , ut ratio rectanguli A EC, ad quadratum EB, sit eadem quae est AB ad BF. conueniathae ad angulum rectiun ABF, ducaturque AF productavi libet, & fiat angulus BCD semircinis,secetque recta D C producta,rectam AF in G pucto. & eide GCD o currat recta F B in D . tum diuisa rccta DF bifariam in M, ducatur recta G14 protensa in infinitum. & a puncto B agatur recta BL , perpendicularis in ipsam GM , quae protrahatur quantumlibet in Z. satque ipsi BL,aequalis m. tum centro M,interuallo M D,ducatur semicirci lus D F , quem tangat recta G Z, a puncto G, Occurrens recta: DLHZ, in Z pulicto. & rectangulo DZH, fiat aequale quadratum ZP, in tangente GaI'. & a P puncto ducatur perpendicularis in ipsam G ZP , quae sit pR,occurres rectiae GM, in I , a quo pucto R, ducatur RE perpendicularis iri ipsam AB productana, eritque - E,punctum quaesitum,
76쪽
PRACTI CRN am ut stipra puncta B,H,P, sunt in circulo cuius ce-trum R,semidiameter RP, vel RS, & rectangulum CEsquadrato BE aequale. est autem rectangulum AEC, ad rcctangulum CES,ut AE ad ES,id est AB ad Ap. ergo&rectangulum AEC,ad quadratum EB, erit ut AB ad BF, quod erat feciendum. D ceterminatio per se manifesta est.
77쪽
De tam rectam sieme e iam utcunque, ita augere, etyrectangulum sisb compo sita ex altero si meto cum aug-m nto, est, augmento, ad quadratum totius aucta datam teneat rationem. oportet autem rationem datam , ese minoris
Sit data AB, secta puncto C. producendaque in si,ut rectangulum C EB,ad quadratum AE, rationemhabeat datam CB ad BF,quae conueniant ad angulum rectum CBF. ducaturque recta Cp. & fiat angulus FBG, semi- rectus. occurratque recta BG, recta: CF,in G pucho, per quod ducatur recta AG,secans peripheriam, centro M. ubi recta BF bissecatur & interuallo M B, vel MF de circinatam in puncto H. ducaturque Iecta BH, cui pa- vallela exeat a puncto. A, secans rectam G B productam, in Tpuncto,a quo ad rectam AB productam, ducatur TE, eritque E punctum qua itum,
78쪽
Sunt enim ex ptaedemonstratas puncta T, A ,in circulo cuius centrum R,& semidiameter TR, & angulus AER rectus, ex constructione,quadratum igitur EA, aequale erit rectangulo sub TE vel B E & reliquo diametri segmento. quod hic spatij angustia describere non patitur) est autem CEB rectaguluadrectangulum sub BE &dieto scgmento , ut CE ad die tum segmentum, id est ut CD ad BF. ergo rectangulum CEB, adquadratum AE crit ut C Bad B quod erat faciendum. Ad reliqua determinals sectionis problemata, hic tibi damus praemissam essectionem nostram geometricam, cuius ductu, hanc viam quantumuis salebrosam aut asperam,facillime peruades, his Pr
missis principijs. Magnitudines sub ijsdem altitudinis & basibus,riter
se sunt aequales Si fuerit ut recta ad rectam,ita rectangulum ad rectangulum, solidum factum ex secundo in tertium, aequatur solido facto exprimo in quartum, & contra, si sol dum solido aequatur, erit ut bass ad basin, ita altitudo& altitudinem propos3 .sib.H. Euclid.
Dinam re etiam terminatam, duobus prenditis ut naue sciam , ita denuosecare oe r langula duo , sub Jegmentu quibuslibet duobuspunctis datis, . inuento terminatis, datam inter se teneant rationem. Sit data recta A B, secta punctis C, D, iterumque secanda , ptimum in alterutro segmento extremo, Vi
79쪽
DB, atque hinc triplex existit casas .Primus, s posito Epuncto quaesito, invisit ratio CED rectanguli, ad BEArectangulum, qualis data R ad S. R Sit hoc f
m ctum, puta ctumque timueratum si,
& erit rectangulum CLD aequale duobus, scilicet, ED, quadrato & ED in CD. ergo B EA, aequale ei quod oritur,sii applicentur solida ex S in hD quadratum, & in ED in CD ipsi R,ς it autem illud BE in EA,id es so in DE
minus ED quadrato,plus BD in DA. minus DE in DA ergo
ex praemissio principio, solida ex S in ED quadratu,& ex S in ED in DC,aequalia erunt solidis cx R in BD in DE minus R in ED quadratum, plus R in BD in DA, minus R in DE in D A. & ς qualium prosaphaeresi , S in ED quadratum plus S in ED in DC , plus R in ED quadratum , plus R in D E in D A, minus R in B D in DE,aequabuntur Rin BD in D A: erit igitur vi S plus R. in ED, plus Sin DC plus R in DA minus BD, ad R in BD, ita DA ad DE. quae proinde dabitur per lemma.
no strum analy ticum. Ego hoc exemplo, ad synthesin tibi praeho,tu in reliquis, si vis,imitare. Compositae ex R&S,applicentur rectangula , S in DC, R disserentiam DA, BD,& compositae ex latitudinibus ortis, sit aequalis Κ. tum eidem compositae ex.RS , applicetur rectangulum R in BD , & latitudini ortivae sit aequalis L. tum rectangulo cx L in DA , sit quale quadratum M. dataque M media, & Κ dii sc-
80쪽
nori sit aequalis DE. dico E cste punctum qua sit a. quoniam enim rectangulum ex DE in compos itam cxΚ & DE, est aequale quadrato 14, id est rcelati gulo ex Lin D A cxco isti uinione, erit ut composita cx Κ & DE ad L,ita DA DE. atqui ut composita ex k & DE, ad L, ita rectangulum sub composita ex R & S, &cdposita ex k &DE,ad rectangulum sub composita ex eisdem R, S,S L, id est ita aggregatum ex S in DC, R in disterentiam DA,& BD, Scornposita ex RS in DE, ad Rin BD. N ex praemisso principio aggregatum S in DC in DE,Rin disserentiam DA &BD in DE, composita ex R, S, in DE quadratum, aequabitur R in BD in D A. S a ualium prosaphaeresi aggregatum Sin CD in DE, Sin DE quadratum, aequabitur R in BD id DA minus Rin disterentiam D A, BD in DE,minus Rin DE quadratum. & ex eodem principio, erit DC in DE , plus D Eqiladrato,id est D E in CE ad BD in D A minus disserentia D A, B D in DE, minus DE quadrato, id est ad Bh in E A, est cnim D A si maior fuerit ipse DP, aequalis ipsi DB simul cum earundem disserentia, unde sublata disterentia S DF, relinquetur EA. ὶ vi R ad S. quod erat demon strandum. Caeterum analy seos ratio habenda est, si DB ipsa DA maior, siue minor, siue ipsi aequalis fuerit. hic
enim posuimus maiorem. Secundus casus ex hoc epitagmate esse potest, quum
ita iubetur data recta secari in E , ut sit rectangulum AED, ad rectangulum BEC vi R ad S.