Alexandri Andersoni Aberdonensis Supplementum Apollonii rediuiui. siue, Analysis problematis hactenus desideratiad Apollonij Pergaei doctrinam perì neuseōn, ... Huic subnexa est Variorum problematum practice, eodem auctore

61쪽

r VARIOR vM PROBLEMATVM rentia extremarum,ergo G Α, aequalis ipsis AH, CD imul ; & EA,ipsi AH aequalis est ex constructione, unde relinquitur GE,ipsi C D aequalis, ergo & totae ED, GC inter sic quoque aequales crunt.ὶ est itaque G,punctum quaesitum quod erat faciendum.

ut in secunda figura,maior fuei rit ipsa AC , constructione ut prius ab luta, fiat GA aequalis maiori extremae eruntque

iterum rectangulaEAB, GAD' inter se aequalia, quibus adda- ' tur idem commune , GA in E A vel CI, sunt enim AH, ΑΕ, aequales ex constructione, & CH differentia extremarum,cui si aequalis fiat AI, relinquetur EI, AC aequales &totae EA,CI aequales quoque ὶ fient G B in EA, GA in Eo vel GC, sunt enim AD GI, aequales EA,IC, unde & totae ED, GC, aequales quoque erunt in aequalia quod erat faciendum. Quod si data externa Z, aequalis fuerit ipsi AC segmento, fiat ractangulo C AB, qquale quadratum GA quibus addatur idem commune CA in GA, fientque

62쪽

PRACTICE is C Ain GB, GC GA inter se aequalia. & G punctum quotum,quod erat faciendum.

Eadem erit operatio, si iubeatur data ut prius recta, ita secari virectangulum sub duobus segmentis quibuscunque,datis duobus punctis,inuentoque contentis,adrectangulum, sub segmento, reliquo puncto dato,inuentoque comprehense,& dat aeterna, datam teneat rationem. tum enim datae externς, in data ratione analoga,est illa,quam nos hic posuimus extemam,in ratione aequalitatis. LEMMA.S I avertice trianguli, ducatur recta utcunque in basin, secabit ea rectas omnes triangulo inscriptas, basi parassetis,proportionaliter basi

Sit triangulum ABC. rectaque inscripta basi parallela EF. & recta a vertice in basin AD,secans basi parallelam EF,in G. dico esse EG ad G ut BD ad DC.

Asunt enim DC ad GF, BD ad EG, ut DA ad GA. & permutando, DC ad DB,ut GDdEG. quod erat C demonstrandum. L E SI - . SI per extremitates diametrorum parulidarum, circulorum inaequalium . duae rectae lineae transeuntes,in eodem pucto coierint, resiae a di Elo puncto eduriti, ad datos circulos, etessimul vltumque tangent, vel smilia auferent sigmenta.

63쪽

116 VARIOR V M PROBLEMA TvMSint duo circuli inςquales,seper diametros parallelas AHB,KGD,quarum extrema ΑΚ,BD, rectae AKE , BD connectentes, coeant in puncto E. dico rectas omnes a

puncto E eductas, ad dictos circulos, eosdem, vel simul tangere, vel ab ijsdem si milia auferre segmenta. ibi cis

Tangat primum recta ECF, in secunda figura circulum kCD,in C puncto, &ducatur recta EG,quς per H, alterius circuli centrum, transibit. per precedens lemma. sintque ad rectam ECF, perpendiculares, GC,HF. quoniam igitur est ut EG ad EH,ita CG semidiameter, ad AH semidiametrum, atqui ut EG ad EH, ita CG ad FH ea constructione. est ergo FH quoquς semidiame

64쪽

ter circuli AFB. 5 EF, perpendicularis ipsi FH, tanget circulum AFB.Iam secet recta ElΚ L A , circulos eos te, nam si alterum secat, secabit Z reliquum, si quidem ut demonstratum est smum tangit, tangit & reliquum in anferatque sc enta ΚI, AL, quae dico similia. cst cnim ut prius, EG ad YH, vi K G ad A H. parallelae igitur K G, AH, I G, HL, & anguli in centris LGI, A HL inter se ae

quales. rectae igitur ab Epuncto eductae, vel simul utruque tangunt, vel similia auferunt segmcnta, quod erat demonstrandum.

guli in centris I G E, LHE aequales. Vnde patet propO

llitum.

In tertia figura,vbi angulus ad circumferentiam A EB, rectus est, eodem modo ostendetur angulos in centris csse aequales: est enim EG ad DH,ut minor diameter ad maiorem. Si ergo per extremitates diametrorum parablelarum, &c. quod erat demonstrandum.

Ex prioribus figuris patct, siquidem angulus E fuerit obtutus, ut in prima Dura, ipsum intra circulos caderet quoniam perpendiculares AM,ΚN,cadunt extra triangula AEB, Κ ED. e contra, si E angulus fuerit, acutus, cadet extra dictos circulos, ut in secunda figura, nape pediculares DI , BL cadunt intra eade triangui . si denique angulus E, fuerit rectus, erit ad semicirculorum peripherias, ut in tertia.

65쪽

- Problema IX.

Aiam rectam terminatam semetsi iam utcunque,ali ad quadratum RB, datam teneat rationem AB ad BD. . sit BD perpendicularis ipsi A B,in puncto B. ducaturque recta AD, tum continuetur recta BD,in G, ut sit BG ipsi BC aequalis. & ducatur recta GC,quae producatur, donec Occurrat rectae AD,in E puncto, & sit diuisa CD bifariam in F, ductaque recta EF, tum a puncto B, in rectam EF, ducatur perpendicularis Bl, protracta utrinque quantumlibet, fiatque ipsi BI aequalis IK. & centro F, interuallo rc ductum semicirculum, tangat recta Eruinpuncto , producta 'donec occurrat rectae B IK protensae in H. nam quoniam hic ponimus rationem maioris inaequalitatis , rectamque A B maiorem quam BD , erit angulus GED acutus : est enim ACE semirectus & CAE semirecto minor , propterca' que C EA recto maior , de reliquus CED recto minor,ac proinde punctum E , cadet extra semicircu- luna GaD tum rectangulo BHΚ, fiat aequale quadratuHM.&rectae H QM in puncto M , perpendicularis sit MN, occurrens rectae EF, in N puncto, per quod , ipsic BD parallela ducatur ORNP, lecans rectas CCE, BCA,

DEA,in punctis O,R,P, dico R esse punctum quaesitu

66쪽

esse namque ARC rectangulum, ad BR quadratum, ut

AB, ad BD. Quoniam enim es rectangulum ΚHB, quadrato HM cquale, erunt puncta B, k,M , in circulo cuius centrum N punctu,

quemque tangit recta HM , eiusque diameter erit OP, ex praemisso lem

a te quae normalis datam AB. erit igitur quadratum RB , rectangulo ORP aequale est autem rectangulum ARC, adrectanguluORΡ, idest C RP sunt enim CR, OR ςqu les quia anguli COR, OCR aequales sunt cx constri

ctione) vi AR ad RP, idest AB ad BD : ergo&rectangu Ium ARC,ad RB quadratum,est ut AB ad BD. quod erat faciendum. Sit iam data ratio minoris inequalitatis, id est AB minoris ad BD maiorem. fiatque ut prius BG ipsi BC ςqualis. ducanturque rectae GCE, AED. de diuisa GD bifariam in F,ducatur recta EF tum centro F,interuallo FG , ducatur circulus, G QD.& per puncta B, E, agatur recta EB occurrens circumferentis G QD,in puncto, a quo, ad centrum F, ducatur recta QF, cui parallela educatur a

puncto B,quae sit BN,occurrens rectae EF, in N puncto, per quod agatur ORNP recta parallela ipsi GD,occurres

que rectis GCE, ACB,AED, in punctis O,R,P. dico A ij

67쪽

ao UARIOR vM PROBLEMA TvMR eae punctum quaesitum. - Centro N,interuallo ON vel NP,ducatur circulus

OBP, qui per B punctum

necessario tra

es FG, ad. BN: sunt itaque NO, NBaequales , &circulus ex centro N, interuallo No vel NP descriptuς. transit per punctum B. quoniam iam sunt puncta OBPin circumferentia circuli cuius centrum N, diameter OP, ex prae demonstratis: erit quadratum RB , rectangulo O RP,aequale. est autem rectangulum ARC,ad roectangulum ORP , vel CR P sex constructione in ut AR, ad RP,id est AB,ad BD. ergo & rectangulum ARC, ad quadratum RB,erit quoque ut AB ad BD. quod erat fa

ciendum.

Sed sit data ratio aequalitatis , eademque repetatur constructio quae prius, nisi quo dducta recta DE, diuidatur bifariam in Q. ducaturque recta QN,ipsi BP per pendicularis , occurrens rectae EF, in N, & per punctum N ducatur ORNP,parallela ipsi GBFD, secansque rectas

68쪽

CE, ACRB, AEPD , in pu ctis O,R,P. dico adhuc Rque centrum N. & quadratum RA , rectangulo ORPςquale est autem rectangulii ARC,rectangulo ORDaequale,iram later L R,RO, aequalia sunt quia anguli ROC, COR sunt aequales, iteque retia: A R,RP ςqu Ies quia AB,BD aequales sunt ex consti uctione. ergor clangulum ARC, quadrato RB aequale est,quod erat faciendum. Atque hic primus casus esto, quum nimirum secandum cst alterutrum segmentorum datorum, ita ut re ctangulum sub segmentis,duobus datis proximis punctis &quaesito terminatis, comprehensibin , ad reliqui segmenti eodem quaesito , reliquoque extremo puncto dato terminati, quadratum, datam teneat ratio

nem.

Secundus casus erit, quum alterum datorum segmem torum ita secandum est, ut rectangulum sub extremis

Sunt enim ex constructione hN,

cta OBP in

69쪽

datam teneat rationem, quod quidem facillime sic absoluetur.

Sit data recta AB,secta C puncto,iterumque secanda in D, ut rectangulum A DB, ad quadratum DC, datam teneat rationem R ad S. inter R & S media sit propoditionalis T. &super AB diametrum semicirculus describatur A HB,tum componantur ad angulum rectum EF, FG,ipsis R,T,aequales iungaturquerecta EG. & angulo FEG, fiat aequalis BCH,rectaque CH occurrat circumferentiae, in H pulicto, a quo descendat perpendiculatis in basia ACB eandem secans in Druncto quod dico esse

Quoniam enim ex constructione est GF ad FE, id est RUT,ut HD ad DC, erit quoque vi R quadratum ad T quadratum , ita H D quadratum ad DC quadratum, idest ita ADB rectangulum ad DC quadratum, sed vi R quadratum ad T quadratum, ita R recta ad Saectam, ergo ut Rrecta ad S rectam, ita ADB rectag tum , ad DC quadratum, quod erat faciendum. Tertius casus est, quum alterum segmentum datum ita siccandum est, ut rectanguluna sub eius deni partibus, ad quadratum teliqui totius segmenti, datam teneat rationcm. quod pari cu prioresacilitate perficietur, dete natio clarius patebit post denaonstrationem sequentis.

operationis.

70쪽

sit igitur data recta AB secta C puncto, eiusque segmentum alterum ut AC, secandu in D, ut rectangulum ADC,ad quadratum DB, datam teneat rationem R ad S. super AC ducatur semicirculus, tum inter R & S media proportionalis sit T.& fiat vi R & T, ita CI ad CB. quae angulum rectum contineant BCI. ducaturque recta BI,secans circumferentiam iam ductam, in punctis Κ, F, a quibus demittantur perpendiculares KD, FE, in basin AB & utrumvis punctum E, D, problemati sa-

tisfaciet.& FE ad EB. de vi R quadratum, ad T quadratum,idest Rad S,ita ΚD quadratum, ad DB quadra tum,& ita FEquadratum,ad EB quadratum,idest ita ADC rectangulum,ad DB quadratum, & ita AEC rectangulum, ad EB

quadratum, quod erat faciendum.

Hinc sequitur, si ducatur recta BH, tangens semicirculum AF HKC in H puncto,& demittatur perpendicularis HL in basin AC, rationem HL quadrati, id est rectanguli ALC,ad quadratum L B, esse singularem &maximam quare rationem datam R ad S, non maio-