장음표시 사용
131쪽
gnitudinu ordinis eiusdem ριν productum
tum ex magnitudinibus , quarum Iuni excesius, tum etiam ex intermedijs siunt fractiones, qua in in initum d posita , er gregata fiunt aquales .mtati denomin ta producto totidem magnitudinum, qua sunt in principio dispost iovis ,
SIt A, dispositio magnitudinnm in infinitum procedentium, ut sumptis exempli gratia ternis quibuslibet , singulis excedant singulas praecedentes ordins eiusdem ι & sint primae tres B, C. Dι & quarta sequem E; & sit F, dispositio infinitarum fractionum, in quibus praedicti excessus denominantur productis ex magnitu dinibus tum excedentibus, timi intermedii ; quarum stactionum prima est excessus A, R denominatus producto BCDE. Dico quod F, aequalis est unitati denominatae proditisto BCD. Est enim F, extensionis finitae: nam aslumptis in F, quotlibet a prima in denominatione ulti. triae asiunaptarum adhibeantur O, P, R, S, magnitudines in A,dispositae;& ex ternis consequentibus BCD,C DE, alijsq; deinceps dispositis in A, utpote etiam ex P R S, fiant producti G, H, & deinceps alij, utpote etiam VSi, quorum dispositio in infinitum sit Iι constat assumptas aequales esse differentiae V, G, denominatae plano V, G,& ad unitatem se habere ut differentia V, G, ad planum G Va
132쪽
G V; & conuertendo , unitatem esse ad assumptas ut Pr. as. I planum GV , ad differentiam V , G : scd maiorem habet proportionem planum GV , ad di fierentiam V, G, quam G , ad unitatem; vel quam unitas ad unitatem denominatam per G , ergo unitas ad assumptas maiorem habet proportionem quam ad unitatem denominatam per G ;& propthrea quotl ibet assiumptae sunt minores unitate denominata per G : eigo F , est finitae extensionis. Prae Pr. as. terca differentiae denominatae planis in I, disponantur in strie Κ; quarum prima est excessus H , G, denominatus plano GH: & quoniam magnitudines A, procedunt in infinitum ; etiam producti earum scin I, procedunt in infinitumi ergo Κ, est cxtensionis finitae ἱ & aequalis Pra. 3.
cst unitati denominatae per G : & cum G, sit productum B, in CD i di Id, productum Ε, in C D 3 erit pla. num CH, prodiictum B C D E, in C D: ergo GH,&planum G H , sunt homologa rationis eiusdem B, E ,&producti B DE : ergo excessus Fl, G, ad planum G H, est ut excessus E, B, ad pi o ductum BCDE; & stactio, in .qua excellus H, G , denominatur plano G H , videlicet prima dispositarum in Κ, aequalis cst fraetioni, in qua excesitis E, B, denominatur producto BCDE, videlicet primae dispositarum in F: similiter demonstrabimus easdesingillatim magnitudines tum in Κ, uim in F, esse dispo. sitas,& sunt ambae dispositiones Κ, & F, extensionis finitae, ut probauimus; ergo Κ,& F, congruunt intcr se: cum ergo Κ,sit aequalis unitati deno. 'minatae G, videlicci producto B C D ι etiam F, est aequalis unitati denω minatae producito BCD. Quod, dcc.
133쪽
Datis extremis in aqualibus , intermediam inuenire , cuius , S unius extremarum
disserentia plano denominata sit aqualis alis data magnitudini, qua sit minor dis
rentia extremarum plano denomι nata.
A. 8.DAtae sint inaequales extremae A, B, quarum discirentia plano denominata sit C;&data sit alia magnitudo D, minor C. Opportet extremas A, B, intermediam iliuenire; cuius,& A , differentia plano deno. minata sit aequalis D. Vel est A, maior B; vel minor: sit maior; & ex multiplicatione DΑ, fiat E; qui au eius unitate sit F s & per F, diuidendo A, fiat quotiens G. Dico, quod G, est intermedia A, B, & quod excessus A, G, plano denominatus est aequalis D. Quoniam G, mult plicando F,producit A;& multipIicando aggregatum Ε, & unitatis producit aggregatu plani GE, & G;est autem F, aequalis E,& unitati; igitur A, est aequalis plano GE , di G & A, est maior G ergo communi ablata G, excessus A, G, est aequalis plano CE;& diuidendo per G , excessus A, G, denominatus per G. est aequalis Et videlicet plano DΑ; & diuidendo per A, excessus Α,G, plano denominatus est aequalis Dr non est autem G, aequalis, neque minor B; nam excessus Α, G, plano de
134쪽
. Arisbmetica . I Is nominatus, videlicet D, aequalis esset vel maior C,co tra hipothesim i ergo G, est intermedius A, B; & excessus A , G, plano dcnominatus est aequalis D. Sit A, minor B;&conuertendo, B, maior A ;& quoniam D,es, minor C; sit defectus Η ,& inueniatur E, intermedius B, A, ut excessius B, E, plano denominatus aequalis fiat H r quoniam A, E, B, sunt magnitudines continue dispo. sitae; aggregatum differentiarum A, E; h, B,planis denominatarum est aequale C i videlicet ag3regato D, H 3 est autem differentia E, B,pIano denominata aequalis Haergo residua differentia, videlicet desectus A, E, plano denominatus est aequalis D. Quod,&c.
In continua dispositione magnitudinum in Φnitarum inter extremas qua piam magnitudines ab etna ad alteram procedentium , disterentia planis denominata disposita in infinitum, oe aggregata, sunt aquales uni disterentia extremarum plano δε-
SInt dispositae quomodolibet magnitudines infinitae in continua disp ositione procedentes inter e tre
135쪽
mas A, B, ab Α, quae sit in principio dispostionis ad B;& infinitae differentiae planis in dispositione denominals aggregentur in C; & sit L, differentia A, B; & ex deno minatione L , per planum A B, fiat H. Dico, quod C, est aequalis H : Est enim C, extensionis finitae: nam as sumptu in C , quotlibet a prima in denominatione vit,
mae assumptarum adhibeatitur D, E, magnitudines inter Prop.7. I. A, B, dispositare constat, quod assumptae sunt aequales Prop.7. differentiae dimominatae plane AE; est autem differentia
denominatae plano A E, v ni cuna disserentia denominata plano E B, aequalis H; ergo differentia denominata plano A β, minor est H; & propterea quotlibet assumptae Pr. s. . sunt minores Hr igituh C, est finitae extensionis. Iam si C., non est aequalis H, necessario maior erit, vel minori sit maior; & quoniam C, est maioris extensionis H ; sumi possunt ex magnitudinibus dispositis in C, aliquot apsima , ut impleantvi sumantur, disit ipsarum multi Des x.. tudinis numerus F; qui unitatὲ adiecta fiat G tergo C, sumptara prima in multitudine numeri G, sunt maiores Ηι quod est contra sipetuis clamonstrata: non est ergo C, maior H. Sit minor;& inueniatur D, intermedia extremas A, B i ut differentia A, D, plano denominata sit Prop. . a. aequalis C; ergo differentia A, D, est mi dor L:& quoniὀab moid B, sunt Hispo ita niae estudi nes infinitae; etiam different iantrea d i spo si non e su fit refinitW & simul compositae sun eqssales uni direrentiae extremarum L; ergo - vel prima ex huiusmodi different ijs est maior diis rentia Pr. t 6. i. A, D; stes si minor plures a mima sumptae secundit mali quem numerum implent differentiam Α, D; qui numerus
136쪽
tibinetica. 122 unitate adiecta fiat N;ergo differentiae in dispositione A, ad B, siumptae a prima secundum numeru N, sunt mai res differentia Λ, Di sumantur igitur secundum numerum N, magnitudines ab A. dispositae ad B, praeter Λ di assumptarum sit vluma E; totidemque sumantur ex fractionibus dispositis in C; quarum aggregatum sit P: constat P, esse portionem ipsius Ci& differentiam Α, Ε, maiorem differentia A, D , & propterea disterentiam A , E, plano denominatam, videlicet P, esse maiorem dictis Ps P rentia A, D, plano denominata, videlicet C; ergo portio est maior toto; quod est absurdum: non est ergo C, minor IJ;sed neque maior:ergo C,est aequalis H.Quod,&c.
In tantinua dispositiona,magnitudinum inis itarum inter extremas a prima ad vitia mam procerintium, disserantia illarum,
' qua distant aquali ordinis snteruallo deno . minata productιs tum earumdem, qIarumhunt disterentia tum etiam sntermediarum,
disposita in infinitum, oe aggregata sunt
quales disserentia snter prodescium numera laterum unitate minoris ab iis, qua sunt -i et sn principio dio monis, re homogeneam ','' pote natem ab ultima , denominata plano
137쪽
Synt dispositae quomodolibet magnitudines infinitaem continua dispositione procedentes inter extremas
A, B .b A, l, Κ, M, o, quae sint in principio dispositi nis ad B & infinitae differentiat illarum se quae. distant aequali Oidinis interuallo, utpota semper binis relictis dis entiae A, M, I, O , M. denominatae producta Alfi M , lXMO,&e. aggregentur in C;&sit Q dispositio P oductotum numeri laterum unitate minoris Al Κ, IKM . KMo, e. in qua quidem dispostione sit V, pr ducum ΛΙΚ ;&R , potessas totidem latcrum a B, dissicis rentia veto R, V, fit Lῆ ex cuius denominatione per p' 'nuni H Vἰ fiat H. Dico quod C. e st aequalis H. Este ncssionis finitae ; nam assumptis in C , quotlibet a prima, in denominatione vitiniae assumptatu adhibea Nur S, T, D, E, magnitudines inter A B, dupositae in Prop. r. 3..dispostione sim X,Z,produ α ST D, FDE: constar, quod assumptae sunt aequales differentiae denominatae Prop.r. m. plano Vrbin autem digerentia henominata plano Z. una cum differentia denominata plano Z R , aequalis H ἔ. ergo disserentia denominata plano V Z , minor est Hide propterea quotlibet assumptae a prima ex dispositis in C, pr. i,. i. iunt minores Η: igitur C, est finitar extensionis. Iam si, C. non est aequalis H; necessario maior erit , vel minor: Pr. ic. i. 'maiori & quoniam C, est maioris extensionis H; sumi' po fiunt ex magnitudinibus dispositis in C, aliquot a prii ma, ut impleant Fit sumantur, & sit ipsaru multitudinis Des io. numerus F, qui unitate adiecta fiat G; ergoC. sumptara prima in multitudine numeri G,sunt maiores H,quod est
138쪽
contra superius demonstrata: no est ergo C,maior H. Sit minori de inueniatur X,intermedia extremas V, R, ut dis- Propa.
ferentia V,X, plano denominata sit aequalis Ci & intelli. satur U,X,esse potestates ipsi R ,homogeneae,quaru raduces inueniantur Y,S: quia V,est productus magnitudinuinaequalium,& continue dispositarum A, I, Κ; constat quod V, est intermedia extremas A, Κ;& quia X est intermedia extremas V, R, disserentia V , X, est minor disi erctia,V, R 3 & differetia Y,S, minor est differetia Y, B ;ci ablata communi differentia Y,Κ differetia Κ,S, minotest differentia Κ,B:& quonia in dispositione Κ,ad B, siunt magnitudines infinitae: etiam differentiae sunt infinitae;&simul sumptae iunt aequales uni disterentiae extremarum N, B 3 erso vel prima ex huiusmodi different ijs est maior differentia Κ, S; vel si minor, plures a prima sumptae se- PG1K.r. Cundum aliquem numerum implent differentiam Κ, S; qui numerus unitate adiecta nat N, ergo differentiae in Des io. eispositione Κ, ad B, sumptae a prima secundum nume rum N, sunt maiores differentia Κ, S: Sumantur ergo P. cundum numerum N, magnitudines a K, dispositae ad B,
praetcr Κ ; & assumptarum sit ultima T; quam sequantur
aliae duae D , E ι & in dispositione Q, sit Ζ, produ ctumTDE ; & quot sunt magnitudines assumptae a R, 3 sque
ad E, totidem sumantur ex fractionibus dispositis in C, a prima ἱ Quarum agῖregatum sit P: eonstat P, esse portionem ipsius C 3 & differentiam Κ, T, esse maiorem disterentia Κ, Ss & addita communi differentia Y, Κ, disse rentiam Y, Τ, maiorem differentia Y, Si & propterea'
differentiam inter V, & homogeneam potestatem a radice T, maiorem differentia V, X s est autem differentia V , Z, maior differentia inter V,& homogeneam pol cstatem a radice T ; ergo differentia V, Z, est multo maior disse. rentia V, X,& ideo differentia V, Z, planci denominata Prop.ν. a maior est differentia V, x, plano denominata videlicet
139쪽
I14: Noua aeuadeatura stactione Cr est autem differentia V,Z,plano denominainta aequalis P; ergo' , est maior C , portio toto; quod est
absurdum: non est ergo C , minor H, sed neque maior tergo C, est aequa lis Η. Quod,&α P . t
Si plures continua dispositiones , in quibus is, frentia simi similes, magnitudinum insin,
sitione , Qt qua sunt Ordinis ei prim e similiter orinnata ; diserentia in singulis di spositioniAus eodem ordine pumpta, is , qua sunt in ipsarum Mystionum princia
mediarum disposita ιn infinitum , γ' et gruata sunt aquales uni disserentia re ductorum a prum4s,mas vinins extra mis, eorumdem productorum piam Δημminata. TR ium continuarum dispositionum ex magnitudionibus infinitis inter binas extremas procedentium prima fit ab A, per B, ad C ; secunda a D, pqr B, ad F, tertia a G, per Η, adi, in quibus differentiae sint similes, di quae
140쪽
& quae componantu fin una dispositione ab A,per D,G, B, &ta ad I, ita ut primae Α, D, G , secundar B, E, H .dcreliquae deineeps ordinis eiusdem, necnon vltimae C, F, I , sint similiter ordinatae ; & singulatu in dispositionum differentiae denominatae productis in huiusmodi compo. sita dispositiones utpote differentia A , B, denominata producto ADGB ι& differentia D,E, producto D GBE;& sic deinceps iri infinitumDisponantur ,& colligantur in L ι &a prisis ADG . & vltimis CFI,producantur M,& N. Dico, quod L, est aequalis differentiae M,N, plano denominatae . Est enim L, extensionis finitae: nam a Gsumptis in L, quotlibet a prima, in denominatione viti. mae assumptarum tres adhibeantur B, E, H, magnitudines inter A, I, dispositae , & Q, sit productum B ΕΗ ἡ &quoniam sunt continuae dispositiones ABC, DEF,GΗΙ; : qm continua est etiam dispositio MQN ς&dEercutia M,Q,
minor est differentia M,N differentia M , Q, plano Prop. . t. denominata minor est disserentia M , N, plano de nominata: est autem differentia M Qἐpigno denominata Prop.I.3. aequalisquotlibet lilsumptis ini igituς quo libet assumptae in L, sunt inores disserentia M, ,plano de nominata; ergo L, est linitae extensionia. Inter M,N, diiPO- Pr. M.t. nantur homogenea producta in di osixione ab A , ad Ιἀ