장음표시 사용
111쪽
Unitates denominata solidis numerorum Arithmetice dispositorum in infinitum d/sposita, re ageregata siunt aquales umiandenominata solido sub duplo excrgu , σ
A. a. B. I. C. 3.D-- G. AH-Κ -- Sint numerorum Arithmetice dispositorum miniminumeri Α, B; quorum excessus C; & unitates denominatae solidis eorumdem in infinitum dispositae,&aggregatae sint in D; & unitas denominata solido sub d plo C i& plano AB, sit G . Dico D, esse aequalem G. Coroll. 1. Alias erit D, maior, vel minor G: sit maior; igitur in albPI, 6 qua multitudine sumptae D , a prima implent G : sito huiusmodi multitudinis numerus H, qui unitate adiecta Desio. fiat K 3 ergo aliquot dispositae a prima magnitudines D, Pr. αε, a. sumptae in multitudine numeri Κ , sunt maiores G, quod est absurdum: non est igitur D, maior G. . sit P, minor G.& sit desectus I; & vi I, ad G, ita fiat plani AB quadratus ad in& ex diuisonem per planupr 7- - A B, fiat M . & inueniatur numerus N, qui multiplicando se ipsum auctum numero C, producat numerum non
112쪽
minorem M ; & inter Arithmetich dispositos inueniantur
duo numeri consequentes O, P, maiores numero Niergo etiam planum O P, maius est plano numeri N, ducti in seipsum auctum numero C;& multo maius est,quam M; Smultiplicando per planum AB, planoplanum ΑΒ P, maius est solido A B M, videlicet numero Q i est autem numerus Q, ad quadratum plani A B, ut G , ad I s ergo planoplanum ABOP,ad quadratum plani AB, maiorem habet proportionem,quam G, ad Is & per conuersionem rationis, planoplanum ABOP, ad excessum eiusdem supra quadratum plani AB,minorem habet proportionem, quam G, ad D ; habet autem excessus planoplani ABO Pr. 1 f. a. P, supra quadratum plani AB, ad excessum planorum C P, A B, proportionem eamdem, quam planum AB, ad unitatem; vel eamdem, quam unitas ad unitatem denominatam plano AB; vel diuidendo per duplum C, eamdem, quam unitas denominata duplo C, ad unitatem denominatam solido sub duplo C, & AB, v, delicet ad G;ergo ex aequali in perturbara planoplanum ABOP, ad excessum planorum OP, AB, minorem habet proportionem , quam unitas denominata duplo C, ad D;& conuertendo excessus planorum o PAB, ad planoplanum AB OP, maiorem habet proportionem, quam D, ad unitatem denominatam duplo Qest autem aggregatum intermediorum numerorum Arithmetice disipositorum inter A, P, ad excessum planorum DP, AB, ut unitus ad duplum C vel ut unitas denomina-N ta
113쪽
ta duplo C, ad unitatem tergo ex aequali in perturbata aggregatum intermediorum inter A, P, ad planoplanum AB OP, maiorem habet proportionem, quam D, actvnitatem ι & aggregatum intermediorum inter A, P. denominatum placoplano AB OP, ad unitatem habet maiorem proportionem, quam D, ad eamdem unutatem; Ergo aggregatum intermediorum inter A, P, denominatum planoplano A P, maius est quam D tA. a. B. y. Ο - P - C. . quot autem mi inter A , P. intermedij, totidem assiImantur a prima earum unitatum , quae in infinitum, . dispositae,& aggregatae sunt in D; quarum assumptarum aggregatum sit Ret constat R, esse partem, vel porti Pri4.1. nem ipsius D; & constat etiam R , esse aequalem aggregaro intermediorum Λ, P, denomin to per planoplanum AB OP; ergo R , est maius D, pars toto, quod est abirdum et non ergo D, est
minor G, neque maior; ergo D, est aequalis ipsi G ι Quod . &c.
114쪽
Vnitates denominata solidis numerorum rithmetice dispositorum, quotlibet assumpta ad Decedentes in infinitum sitini, ut excessus plani, qui sit a maximis numeris adhibitus in denominatione assumptarum supra planum, qui sit a minimis, ad idem planum a minimis contentum.
A. I. B. F. 8. C. II. D. Iq. E. 3.
NVmcrotum Arithmetice dispositorum sint A, B, minimi cum excessu Eue & sint F, quotlibet a Gsumptae , & aggregatae unitates denominatae solidis numerorum dispositorum Arithmetice ab A, B ; & in ipsarum F, denominatione sint adhibiti numeri C, D, maximi; &ipsis F, succςdentes in infinitum dispositae,& aggregatae sint G. Dico r, ad G, esse ut excessus planorum CD, AB, ad planum A'. Quoniam F, sunt Pr. 4. 1. aequales aggregato intermediorum Arithmetice dispositorum inter A, D, denominato per planoplanum ABCD ;& G, sum aequales unitati denominatae solido sub Pr. 17. a. duplo E, & plano C D ; igitur F, ad G , sunt ut aggregatum in i mediorum inter A, D, denominatum pia N a noplano
115쪽
A in ore G. no plano A B C D, ad unitatem denominatam solido sub duplo E , & plano CD F& multiplicando per pla, num C D ,sint ut aggregatum intermediorum A , D, denominatum plano AB, ad unitatem denominatam duplo E ;& multiplicando per duplum E, ut excessus Pr. 3.1. planorum C D, AB, est enim excessus huiusmodi multiplex aggregati intermediorum inter A, D, ut duplum E, unitatis denominatus plano AB, ad unitatem ρ & multiplicando etiam per planum AB, sunt F, ad G, ut excessus planorum CD, AB, ad planum AB. Quod,
116쪽
In quo eorum, quae superioribus Libris demonstrata sunt, generaliora traduntur principia.
IDispositis quomodolibet magnitudinibus , ut assumptis totidem semper secundum aιiquem numerum, singula excedantHgulas pracedentes pariter totidem siumptas oria. nis eiusdem , ex denominatione huiusmodi excessuum magnitudinum oνdinis eiusdem per productum tum ex magmtuiambus, quam unt ensus, tum etiam ex interi
117쪽
medijs, sunt fractiones, quarum aggregarum est excessus productorum totidem ia-c rerum ab extremis hinc inde, de minatus per productum dupli numeri laurum ab iisdem extremis.
DIspositis quomodolibet magnitudinibus A, B, C,
D, E, F, G, ut assumptis totidem semper secum dum aliquem numerum, utpote singulae D, E, F, sup rent linguIas totidem sumptas praecedentes A, B, C, &similiter E , F , G, superent B, C, D,& sic deinceps; ex denominatione excessus D,A, per productum earumdem Uaecedentium D, A, & intermediarum B, C, fiat fractio I; & similiter ex denominatione excessuum E, B ; F, C irta, D; H , E, per productos BC D E, CDEF, DEFG, EFGH, fiant fi actiones Κ, L, M , N ; & quotland A , B, C, vel D, E, F, &c. totidem sint extremae maximae F, G, H,& minimae A, B, C & ex denomination Oexcessus producti extremarum hinc inde FG H, ABC, Per productum omnium earumdem extremarum ABCFGH, fiat fractio P. Dico I, Κ, L , M, N, aggregatas aequales esse P. Ex totidem semper consequentibus A BC, BCD,&c. fiant producti in R, S, T, X, Y: quo niam Q, est productum ABC; & R , productium BCD Planum QR, est productum ex productis ABC, BCD, Ctgo A , D, & productus A B C D, sunt homologi rationis eiusdem laterum Q, R, & eorumdem laterum plani
118쪽
excessus R , Q, ad planum QR ; ergo ex certus D, A, de. nominatus producto A BC D, videtri .mctio est aequalis excessui R, Q, denominato plano QR : similia ter demon strabimus K ς L. M, aequa las excessibus S,RιT,S, X, T ι Y, X, denominatis planis RS, ST, TX, X Ys ergo colligendo I, Κ, L, M, N. sunt aequales
exces abus consequentium Q, R, S, T, X, Υ, denominatis eorumdcin consequentiu planis ;videlicet uni exces. Pr. 7. I. sui extremorum Γ, C denominato eorumdim e tremo rum plano Q Yr est autem Y, productum FG Η, & Q, productum ABC; ergo excellus Y, Q, denominarus plano QY, est aequalis excessui productorum FGH, ABC , denominato producto ABCFGH. videlicci fractioni Pr ergo I, Κ, L, M. N . compositae, & aggregatae sunt aequales P. Quod,&e. '
Theor. a. Prop. 2. Dispositis Arithmetice magnitudinibus,mees
sus producti quotubet laterum a mammis extremιs, s pra productum totidem lato
rum a mimιmιs extremis, ad aggregatum productorum numera laterum uniIate mi
noris factorum ab ijsdem dispositis consta. quentιbus , prater primam, oe ultimam, habet proportionem compositam, tum excessus digpoptionis , tum etιam numerr multιω
119쪽
tudinis laterumproductorum excedentium
SInt Arithmetice dispositae quotIibet magnitudines A, B, C, D, E, F, G, H; & a maximis extremis fiat
productum trium laterum FGH;&a minimis extremis productum totidem laterum AB C. Dico excessum prinductorum F G H, A B C, ad aggregatum productorum duorum laterum , qui fiunt a consequentibus , praeter primam,& vltimam A. H. videlicet ad compositum explanis BC, CD, DE , EF, FG, habet proportionem compositam, tum excessus B, A, tum etiam ternari, numeri multitudinis laterum F, G, H, ad unitatem. Sit E. in dispositione proposita proxima minor Fr quoniam excessus H, E, ad excessiim B, A, est ut 3. multitudo nuis merorum F, G , Η, ad unitatem ; addita communi proportione excessus B, A, ad unitatem, ergo excessus H,E, ad unitatem habet proportionem composita, tum excesilas B, A, tum ternar ij ad unitatem: ducatur E, in proxi. mas maiores magnitudines F, G, ut fiat EFG, productus totidem laterum, quot est FGH; ergo planum FG, ad productum EFG, est ut unitas ad E; est autem productus EFG, ad productiim FGH, ut E, ad H; & diuide do, productus EFG, ad excessum productorum FGH, EFG, Pt E, ad excessum H. Eι ergo ex aequali planum FG , ad excessum productorum FGH , EFG, est ut unitas ad excessum H, E; & conuertendo, excessus productorum F G H, E F G, ad planum F G, cst ut excessus H, E, ad unitatem: similiter demonstrahimus , quod singuli excessus productorum EFG, DEF,CDE, BCD, ABC, ad singula plana EF, DE, CD, BC, AB, sunt ut excessus
120쪽
. agrithmeti . Iosexcessus Η, Ε, ad unitatem: ergo colligendo, cxccssus productorum FGH, ABG, ad aggregatum planorum AB, BC. CD, DE, EF, FG , est ut excessiisH, E, ad unitatem; videlieet troportion habet compositam, tum exccssus B, A, tum etiam numeri multitudinis lat tum F, G, H, ad unitatem. Quod, &e.
Disesiis Arisbmetire quotlibet magnitudini
tus nitates denominataproductis totidem: semper consequentium, sunt aquales aggre gato productorum numeri laterum binarisi minoris,factorum ab ijsdem dispositis con- seqqentibus, praeterprimam, re ultimam, denominato per planum sub duobus totii dem hine ιnde extremarum productis nu- mera laterum unitate minoris.
SInt dispositae Arithmetice magnitudines quotcunq; A, B, C, D, E, F, Gi& unitates denominatae pro. ductis earumdem ex.gri quaternarum sint H, I, Κ, L s& aggr garum productorum ex binis ijsdem, praeter primam 4 ,& yltunam. . ,denominatum per planum subi ibi ' o duobus