장음표시 사용
121쪽
duobus ternorum laterum hine inde extremorum prω ducitis ABC EFG, sit M. Dico, quod H, I, Κ, L, sunt aequales M. Sumantur A, B, C, D, E, F G, ternae; &singularum,quae terni sumuntur excessus supra singulas praecedentes denominentur productis earumdem, qua rum sunt excessus, & intermediarum qui producti simesnguli quaternorum laterum ut fiant fractiones N, in P , Q, & excessus productorum a ternis hinc inde extremis EFG, ABC, denominatus omnium earum de extre-Pr. i. . morum producto ABC EFG, sit R; ergo N. RQ, sunt
aequales R: & quia N, O. P ,α singuli sunt excessus
carum, quae ternae sumuntur denominati productis quaternarum cui excessus D, A, denominatus producto ABC D, & Η, I, Κ, L, singulae sunt unitates denominatae
similiter; ergo singuli N, O, P, Q ad singulas HIL L,
sunt ut excessus D, A, ad unitatem ; videlicet proportionem habent compositam excessus D, A, ad excessimi consequentium B , A, & huius ad unitatem: est autem excessus D, A , ad excessum B, A, ut 3. ad unitatem; ergo excessus D Α , ad unitatem habet compositam propor tionem cuin excessus B, A, tum etiam 3. ad unitatem tpr. ,3. quae composita eadem est proportioni excessus productorum trium laterum ab extremis factorum EFG,ABC.
ad aggregatum productorum ex binis ijsdem, praete , G ι & diuidendo per productum omnium extremarum ABC EFG, eadem est proportioni R , ad M: ergo singulae magnitudines N, o, P, Q, ad singulas Η, Ι, Κ, L, sunt ut R , ad M;&colligendo omnes, N, O, ad omnes H, I, Κ, L, sunt ut R, ad Μ,&permuta do a
122쪽
Dispositis Arithmetice quotlibet magnitudi
tidem semper in dispositione ,sunt mιnores, quam ut ad unitatem habeant proportio. nem compositam unitatis tum ad produ
ctum ex minimis numeri laterum unitati . minoris, tum ad numerum lateru eiusdem
producta, tum etiam ad excessum dispo-stionis Arithmetica.
Sint dispositae Mithmetice quotlibet magnitudines,
quarum B, C, D, minimae ἔ & E, F, G, maximae, cum excessu Hι&vnitates denominatae produ ctis quatuor semper laterum fini: Λ. Dico, quod Α, sunt minores, quam ut ad unitatem habeant proportionem cominpositam unitatis tum ad productum BC D, tum ad 3.ni3- merum laterum B, C, D, tutu etiam ad i. Quoniam B, C, D,&c. sunt Arithmetice aispostae , ergo Α , sint Pr. 3. 3. aequales aegregato productotum duorum semper latetura ipsis dilpositis praeter B, G, denominato per planum O a cx
123쪽
tatem sunt vi aggretatum procnactorum duorum semper laterusia cx dispositis prael er B, G, ad planum ex produ-3 sariunciarau' BC D, EFG ; videlicet proportione habent compositam die i aggrcgati productetrym dum
tum laterum i consequelitibus pi ter B, G, ad differentiam productorum trium lamum ab exucinis Emὶ BCD, & huitismodi differentiae a d eoruniadem pr*du torum PQ i. planum BCDEFG; aggregatum autem productorum duorum laverum 1consequemibus ad differentiam pro . ductorum trium uterum ab extremis produxti ercthabet compesitam unitatis tum ad 3. numerum laterum BGD, tum etiam ad N i ergo A', ad unitatem habent pro portionem compositam unitatis tum ad H , didisserentiae productorum EFG, BCD, ad productumer, *s z. BCDEFG : quoniam autem productum BCUEFG, maius est quam ut ad differentiam productorum EFG, BCD, eamdem habeat proportionem, quam producitis DC D, ad unitatem; eomaettendo, diiserenti pr disectorum EFG, BCD, ad productum BCDEFG, min rem habet proportionem , quam unitas ad productum BCD ; ergo addendo communem propcirtionem com positam unitatis tum ad 3. tum etiam ad H, A, sunt minores, quam ut ad unitatem habeant propor rurtionem compositam unitatis tum ad produia 4 li elium BCD, tum ad 3. numerum laterum BCD, tum etiam
124쪽
Vnde constat, quod unitates, qua denominantur productis totidem semper magn=t dinum Arithmetice dispositas , quotlibet assumptis ni minores unitate uenominara solido sub producto a minimis numeri laterum umitate minoris , eodem me
infinitum disposita e oe aggratata sunt
Manisenum tandem en, quod unitates iqua Pr. 36, Mi denominantur productis socia- seisi r
125쪽
magnitudinum Arithmetice ordinataria, in aliqua multιtua suur a prima, qua propositam implent extensionem minorem extensione dispositarum earumdem ιn ιn suitum s
D positis Arithmetice magnitudinibus, unia tates denominata productis totidem semper in distositione, ordinata in infinitum, oecomposita ad unitatem babent proporti
nem compositam unitatis tum ad produ-x ctum ex minimis num/ri titerum unitate minoris, tum ad numerum uterum ei de
t. producti, tum etiam ad excessum di ρο- . sitis a Arithmeτιω-
λη Agnitudinum Arium: se dispositaruin infiniis 10 tum sint minimae ABC, t excessus D; unitates
autem denominatae pru in s Quatuoris polaterum ordiis
126쪽
iamiametis. III ordinentur, & aggregentur in E. Dico, quod E, admitatem habet proportionem e postam unitatis tum ad productum ABC,ttim ad 3. merum laterum ABC, tum etiam ad excessum D. Alias E , maior, est vel ini. H r, quam ut ad unitatem habeat eamdem proportione compositam : sit maior ; & sit excessus F ; & ab E, deducto F, relinquatur Gi ergo G, ad unitatem habet praedictam proportionem compositam: quoniam Ε, maior est GIergo in aliqua multitudine sumptae a prima magnitu' Coroll.3.dines in E, dispositae implent G : sit huiusmodi multitu- prop. 3.dinis numerus H ; qui adiecta unitate fiat I sergo magni. Def. io. tudines in E, dispositae sumptae in multitudine I, sunt maiores G ; videlicci sunt maiores , quam ut ad unitate habeant praedictam proportionem compositam ι quod Coroll. r.est absurdum: ergo E , non est maior, quam ut ad unita- Prop- I tem habeat proportionem, compositam unitatis tum ad productum ABC, tum ad 3. numerum laterum ABC, tum etiam ad excessum D .
Sit Ε, minor G ;& sit desectus F ρε fit ut F , ad G. ita fiat producti ABC , quadratus ad Q; & ex diuisimne Q, per productum ABC, fiat quotiens magnis tudinis M, tamquam produ cti totidem laterum aequam lium, quot sunt ABC, latus inuentatur, utpote rad cubica, quae sit N ;& inter magnitudines Arithmetice dispositas inueniantur tres, vel quot sunt Α, Β, C, tot dem magnitudines consequentes O, P , S, maiores prae dicta radice N: ergo productum O, P, S, maius est pro- du cto totidem laterum aequalium ipsi N, videlicet magnitudine
127쪽
gnitudine M; & multiplicando per productum A B C, productum ABCOPS , maius est producto ABCM, vudelicet Q; est autem Q, ad quati ratum producti ABC, ut G, ad F;er o productum ABC PS, ad quadratumi producti ABC, maiorem habet proportionem, quam G, ad F; dc per conuersionem rationis, productum ABCOPS, ad excessunt eiusdem supra quadratum producti ABC, minorem habet proportionem, quam G, ad Es ha H.is. . bet autEm excestus producti ABCOPS, supra quadia ium producti ABC, ad exeestum productorum o PS, ABC, proportionem eamdem, quam productus ABC, ad unitatem; qua communi adiecta, productus ABCOPS, ad excessum productorum OPS, ABC, minorem ha bet proportionem , quam eomposita G , ad Ε, & produo
Prop.1.3. cti ABC, ad unitatem; sed excessus productorum OPS, ABC, ad aggregatum productorum duorum laterum eonsequentium inter Arithmeticodispositas praeter A, S, habet proportionem compositam tum 3. numeri laterum ABG, tuus etiam excessus D L ad unitatem ; qua etiam communi adiecta, productus ΑΒ COPS, ad aggregatum productorum duorum laterum consequentium praetcra. S, habet minorem proportionem, quam composita, ad E , & pmducti ABC, ad unitatem, nec non com posita tum numeri 3.tuin etiam euusius D,ad unitatem; de est Oomposita tum producti ABC, tum numeri 3.tum etiam excessus D, ad unitatem aequalis proportioni v n,
eatis ad G; quae compositae proportioni G , ad Ε, facit proportionem gnitatis ad Eι ergo productus ABCOPS,
128쪽
' ' har thmeti* ι 13 ad aggregatum productorum cuorum latelum conse quenmm praeterR Thabet rnrno proportionem, qtnimvmras ad E r seoproductus ABCOPS, ad aggre. gatum productorum duorum laterum consequentium praeter A, S, est ut unitas ad aggregatum productorum duorum laterum consequentium praeter A, S, denomunatum producto ABCOPS, quae quidem fractio vocetur R ι ergo unitas ad R, habct minorem proportionemo quam ad E ι & propterea R, est maior. E t tandem quot sunt producti duorum Iaterum consequentium praeter A, S, totidem assumantur a prima earum unitatum, quae in infinitum ordinatae sunt, &compositae in Ez constat Prop.1.3. R , esse aggregatum huiusmodi asiumptarum ;& propterea R , esse portionem extensionis E, maiorem. minoris ;quod est absurdum: non ergo E, minor est, neque maiorIergo idem est, quod ad unitatem habet proportionem compositam unitatis tum ad productum ABC, tiim ad 3. numerum laterum ABC, tum etiam ad excessum D.
ra facta dispo One continua m nitudinum
minata planis dispostia i re aggregata in- sinita siunt aquales unitatι denominatae mm; gnitudine, qua est principium infristitiolus.
SIt dispositio continua magnitudinum procedentium in infinituin ab A;& ditarcntiae denominarae planis
129쪽
in huiusmodi dispositione ordinentur in infinitum, &componantur in B. Dico quod B, sunt aequales unitati denominatae per A. Sunt enim B . extentionis finitae rnam assumptis quotlibet a prima, & in denominatione v Itimae assiumptariam adhibita C, una ex dispositis ab Ater. . r. constat assumptas aequales esse differentiae C, Λ, den minatae pIano CA; & ad unitatem se habere ut differentia C, A , ad planum C A eouuertendo, unitatem esse ad assumptas ut planum CA, ad differentiam C, Arsed maiorem habet proportionem pIanum C A, ad differentiam C, A, quam Α, ad unitatem; vel maiorem quam
unitas ad unitatem denominatam per As ergo unitas ad assia mptas maiorem habet proportionem quam ad unitatem denominatam per A; & propterea quotlibet asere. r s. 3. sumptae sunt minores unitate denominata per A: ergo B, sunt extensionis finitae. Igitur si B, non sunt aequales unitati denominatae per A, necessario maiores erunt, vel minores: ponantur maiores ι & quoniam B, sunt exten- Ptiis. . sionis maioris unitate denominata per A; sumi possune
in aliqua multitudine a prima, ut impIeant unitatem dem nominatam per A; fit huiusmodi multitudinis numerus Des t s. D, qui adiecta unitate fiat E; ergo B, sumptae in multi tudine numeri Ε, siunt maiores unitate denominata perA; quod est eontra ea, quae superius demonstrata sunt enon ergo B, sunt maiores unitate denominata per A. Supponantur minores; & sit desectus F. & ut F, ad unitatem denominatam per Λ, ita fiat A, ad G ; & inter numeros dispositos ab A , inueniatur C, numerus maior
G ; ergo C, ad A, maiorem habet proportionem quam G, ad
130쪽
Arithmeties II sc , ad Aa uel quam unitas denominata per A, ad F;&Per conuersionem rationis, & conuertendo, excessus C, H, ad C, maiorem habet proportionemquam B, ad unitatem dcnominatam per Λ; sed C, ad planum AC, est ut unitas ad Λ , uel ut unitas denominata per A, ad unitatem; ergo ex aequali excessus C,Α,ad planum AC,mai rem habet proportionem quam B, ad unitatem: est aute excessus C , A , ad planum A C, ut excessus C, A, den minatus plano A C, ad unitat cm; ergo excessus C A, denominatus pIano AC, ad unitatem habet maiorem proportionem, quam B, ad unitatemr Assumantur ex iactionibus dispositis in B,tot ut inter assumptas habea. tur ea, in cuius denominatione adhibetur magnitudo C;& assumptarum sit aggregatum Hr constat H , esse portionem B;& esse aequalem excessu, C, A, denominat O Pr. . I. plano AC ; & propterea H , ad unitatem habere proporationem maiorem quam B; & Η, maiorem esse Β, partem toto; quod est absurdum: non ergo B,sunt minores unutate denominata per At sed neque maiores: ergo B, sunt
aequales unitati denominatae per A. Quod, &c.
Disspositis quomodolibet magnitudinibus pro
cedentibus in in initum, ut Uumptis toti, dem semper secundum aliquem numerum singula excedant singulas praecedenIes pariter totidem sumptas ordinis eiusdem 3 ex denominatione huiusmodi excessuum m