장음표시 사용
101쪽
SInt A, unitates denominatae solidis numerorum Ariathmetice dispositorum ab unitate cum excessu B, sumptae in multitudine numeri C; sit aurem D, planum
C B; & D, auctus B, sit E ; quo singulis duabus unitatibus aucto fiat it F, dc G: constat G, esse aequalcm plano C B, aucto B, & binario: & quia C, est multitudo A;&terni Arithmetice dispositi denominant singulas A s ergo
numerus binario maior C, est multitudo eorum , qui adhibetur in denominatione sumptarum A; & propte ea C, multitudo est intermediorum, oraeter extremos ; sed quot sunt intermedij, tot uplex est excessus penultimi, &vnitatis ad excessum consequentium; ergo planum B C, videlicet numerus D, est excessus penultimi, & unitatis;& D, auctus B, videlicet E, est excessus ultimi, de unitatis; & E, auctus unitate videlicet F, est ultimus:& G a segregatum extremorum F, & unitatis : ex ductu G, in C, Pti a. 1. fiat H; constat etiam H, esse duplum aggregati intermedioi um. Sit I, duplum compositi ex quadrato, Sc num rodi & ex dum H, in I, fiat Κ ; de compositum ex B, &unitate sit L; constat L, esse secundum Arithmetice dispositorum ab unitate. Dico A quales esse H, denominato per compositum ex Κ,& duplo quadrati L. Fiat N, compositus ex D,& unitate; consat N,esse penultimum Arithmetice dispositorum ab unitate; ergo dispositionis Arithmeticae primi sunt unitas, & L; ultimi u ero N, & F;&extremi unitas. & Ft quoniam unitas ad duplum B; pr. . , . Vel H, ad duplum plani BH; vel dimidium H,ad planum B H, est ut aggregatum intermediorum ad excessum plani N F, super L, planum unitatis, &L; est aut cin aggregatum
102쪽
gatum intermediorum dimidium H ; ergo excessus plani N L, super L, est planum B H; & planum N F, est aequale plano B Η,& L ; & solidum LN F, est aequale solido L B H, aucto quadrato L; quoniam autem L, est aequalis B, & unitati; planum L B, est aequale composito ex quadrato B, & numero B; videlicci dimidio Iι ergo solidum L B H, est aequale dimidio plani H Ii uidelicet dimidio K; ergo solidum LN F, uel planoplanum unitatis,L, N,& F, est dimidium Κ, auctum quadrato L; ergo Asunt aequales dimidio H, denominato per dimidium Κ, auctum quadrato L; S multiplicando utrumque numerum fractionis per a. sunt aequalcs H, denominato per Κ, au ctum duplo quadrato L . Quod,&c.
Unitati-, qtu denominantur solidis omnium Arithmetice dispositorum ab unitate quotlibet sumpta a prima sunt minores umiain
te denominata duplo compositi ex quadrato, π numero excesius . .
SInt C, quotlibet unirates denominatae solidis omniuArithmetice dispositorum ab unitate , sumptae in qua liba multitudine a prima;di sit D duplum compositi ex quadrato, & num cro excessus dispositionis Arithmeticae . Dico C, minores esse unitate denominata D. Sit E
103쪽
E, mul tiplex plani mra Ilitudinis assumptarum , aucti nu. mero cxcessus, & hinatio, per eamdem multitudinem,&
Pr. aa. i. ex eodem eXccssu ,& unitate; ergo C, int aequales E, denominato per F, auctum G ;&C, ad unitatem sunt ut E, denominatus per F, auctum G, ad unitatem; videis licci ut E , ad compositum ex F, & G; habet autem E, ad compositum ex F, & G, minorem proportione quam E, ad F;& E , ad F, est ut unitas ad D; uel ut unitas de nominata per D , ad unitatem; ergo C, ad unitatem habent minorem proportionem, quam unitas denominata per D, ad eamdem unitatem; ergo C, sunt minores unutate denominata per D. Quod, &c.
D. V eonnat unitates denominatas solidis omnium numerorum Aritbmetice dispositorum ab unitate in infinitum dispositas, oe aggregatas essesnita extensionis.
Pr,iGr. Patet etiam, quod unitates denominata sol ius omnium numerorum ab unitate sunt maliqua multitudine a prima, qua 1mplent propositam extensionem minorem extensio ne dispositarum earundem in infinitum .
104쪽
Datis tribus numeris, quartum inuenire, qui non minorem primo dato metiatur per pla
num sui ipsius, oe alterius dati, auctum
C. D. I. E. I 68. F. 2 st G. δ A. 3. Sint B, C, D , tres numeri dati, opportet inuenire
quartum, qui metiatur numerum non minorem dam
to B, per planum sui ipsius, ct C, au ctum D. Aggregati ex quadrato D, & quadruplo plani BC, sit radix quadrata E ι quae diuidatur per duplum C, ut fiat quotiens Fr item D, diuidatur per duplum C, ut fiat quotiens G, & sit A, non minor excessii F, G. Dico A, metiri num erum non minorem B, per planum A C, au ctum D . Quoniam A, non est minor excessii F, GI ergo aggregatum AG,non est minus F, & multiplicando per duplum C, duplum aggregati ex planis A C, GC, non est minus duplo plani F C: di quia G, est quotiens diuisionis D. per duplum C; duplum plani GC, est numerus Dritem quia F, est quotiens diuisionis E, per duplum C; duplum plani FC, est E i ergo aggregatum ex duplo plani AC, & D, non est minus E ι & quadratum aggre gati ex duplo plani AC ,& numero D, videlicet aggre gatum ex quadruplo planoplani quadratorum A, C, &quadruplo Blidi ACD, & quadrato D, non est minus quadrato E. videlicet aggregato ex quadrato D,& qua-: M druplo
105쪽
so μι- α draturadruplo plani B C; & dempto prius communi quadrato D, nec non diuidendo per quadruplum C, aggregatum solidi sub C. & quadram Λ , & plani AD, non est minus B: sed A, metitur aggregatum Iidi sub C, & qua.drato A , & plani AD, per planum AC, auctum D; ergo
A, metitur numerum non minorem per planum AC , auctum D. Quod,&c.
Pistates denominata solidis omnium numinrorum Arithmetica dispositionis ab unitate , dilposita in infinitum, oe aggregata sunt aquales unitati denomιnata per duplum eonpositi ex quadrato, es numero excessus consequentiu tiusdem dispositionis.
SInt in A, dispositae in infinitum, & aggregatae unita tes denominatae solidis omnium numerorum Arithmeticae dispositionis ab unitate; & sit L, duplus compositi ex quadrato, denumero ex tessiis consequentium eiusdem Arithmeticae dispositionis; & M, sit unitas denominata per L. Dico, quod A , est aequalis M. Alias i. erit A , maior, vel minor M. Sit maior; igitur in aliqua multitudine sumptae a prima unitates in Λ , dispositae implent M: sit huiusnodi multitudiais numerus B, qui unitate
106쪽
' agrithmestra. 9 unitate adiecta fiat C; ergo aliquot unitates in A, dispO- De Lio. star sumpis a prima in multitudine numeri C, sum maiores M; quod est absurdum: non est igitur A , maior M. Pr. D. a. Sit mi non & data proportione minoris inaequalitatis A, Pr. H. i. ad M , inueniatur altera maior, quae sit numeri I, quem L , metiatur per D , ad Ε, numerum unitate malorem;&S ipsus D, fiat multiplex F, per N, quadratum compinsiti ex excessii consequentium, & unitati,& datiS tribus t r. 12. 1.
numeris F, excessu dispi sitionis O,S P, aggregato ex O , & binario, quartus inueniatur G, qui nactiatur numerum non minorem F, per planum CD, auctum P ;&sumamur unitates in A, dispositae a prima in multitudine numeri G; & assiumptarum summa si H : conflat H, esse portionem ipsius A ; & aequalem producto ex mi me. Pi.ro O, in planum Go, auctum P , denominato per mul riplex eiusdem producti secundum L, auctum N: quia autem productus ex G , in planum Go, auctum P, non est minor F; etiam denominatus per sui ipsus multiplice pr. 4. 1. secundum L , auctum N, non est minor F, dc nominato
per multiplicem P, secundumssi, auctum N . & diuiden.
do utrumq, numerum nactionis per N,3 non est minor D, denominato per multiplicem D, secundum L,auctum vnitate; est autem I, multiplex D, secundum L SI, auctus unitate est E ; ergo H , non est minor D, dcnomia nato per E et sed, quia Ia , ad I, est rut unitas ad I idi vel ut M , unitas denominata per L, ad unitatem,& I, ad E, maiorem proportioncm ha b c t. quam A , ad M; ergo ex aequo in perruibata D, ad Ε, vel D , denominatus per E, ad unitatem habet maiorem proportior c, quam
A ; maior igitur est I , denominatus per E, quam λ; &non est H , minor D, denominato per E; eigo H , est maior A , pars toto, quod est absurdum : non igitur A, minor est M , neque maior et ergo A, est aequalis M. Quod,&c. M a Theor.
107쪽
Unitates denominata solidis numeroru Arithmetice dipositorum ab Unitate , quotlibet assumpta a prima ad succedentes in infinitum sunt, ut productus ex plano excessus consequentium Arithmetice dispositorum, multitudinis assumptarum ducto in seipsum auctum eodem excessu, oe binario, ad compositum ex eodem excessu , σ
Slut i , quotlibet unitates denominatae solidis num e rorum Arithmetice dispositorum ab unitate, cum excessu B, lumptae a prima in multitudine numeri A; se cedentes vero in infinitum sint dispositae,& aggregatae in S Se planum AB , sit D ; & D, auctus B, & binario sit C; & exductu C, in A, fiat Li& ex L , in B, liat Erconstat E, esse productum ex D, in C: sit F, compositus ex B,&vnitate. Dico R, ad S, esse, ut E, ad F. Ducatur F, in B, ut fiat I: constat I, esse compositum eκ quadrato , & numero Br clucatur etiam F, in E , ut fiat G :
quoniam E, est productus L B; ergo G, est productus LB F ; est autem I, productus B F ; ergo G, est productus LI:
108쪽
LI: fiat ipsius F, quadratum H : constat R , esse aequales Pr. ro. r. L, denominato per duplum G, auctum duplo H ,&ag Pr. 13. a. gregatas R, S, atquales esse unitati denominatae per du.plum I; Ergo is , ad aggregatas R, S, ita se habent ut L, denominatus per duplum G, auctum duplo Η, ad unitatem denominatam duplo I; & multiplicando pcr a. ut L, denominatus pei C, auctum H, ad unitatem denominain tam per I ;& multiplicando per I, ut productum L I, videlicet C , denominatus per G, auctum H, ad unitatem;& multiplicando per G, auctum H, ita se habent R,ad aggregatas R , S, ut G , ad compositum ex G , Η i & di. uidendo, R , ad S , ita se habent ut G, ad Hi uidelicet ut planum F E, ad quadrarum F ; & diuidendo per F , sunt R, ad S, ut E, ad F. Quod,&G
Productus duorum laterum es maior , quam ut ad eorumdem disserentiam sit,ut minus latus ad unitatem ; π excelus est minoris lateris quadratus.
SInt duae magnitudines A , B; quarum sit B, minor;& differentia C. Dico quod productus AB, minutus quadrato B, ad C, est ut B, ad unitatem. QuoniaA , aequa lis est aggrcgato C, B; productus AB, est aequalis aggregato producti CB,& quadrati B; ergo productus
109쪽
ctus AB,minutus quadrato B,est aequalis producto C B; est autem productus CB,ad C, ut B, ad unitatem ι ergo productas AB, minutus quadrato B, ad C , est ut B, ad unitatem. in Dd,&
Unitates denominata solidis numerorum Arithmetice dispositorum, quotlibet sumpta sunt minores unitate denominata solido sub duplo excessu, ου minimis numeris .
A .. ore D. SInt in Α , dispositae quotlibet unitates denominatae
solidis krithmetice dispositorum ; quorum primus B; secundus Ci& duplus excessus consequentium I . Dico A, minores esse unitate denominata solido BCD. Arithmetice dispositorum, qui adhibentur in denominatione unitatum A, sint penultimus E, & vltimus F: ergo A , sunt aequales aggregato ex intermedijs , praeter B, F, denominato per planoplanum BCEFι ergo A, ad unitatem sint, ut aggregatum ex intermedijs praeter B, F, ad planoplanu in BC EF ; videlicet proportionem habent composita ex proportiori bus intermedioru praeter B. F, ad excessum planorum EF, BC,& huius excessius ad planoplanum BC EF : est autem proportio intcimediorum praeter B, F, ad excessum planorum E F, B C, eadem
110쪽
eadem proportioni unitatis ad D ;& proportio ex cessus Pnas. . planorum EF, BC, ad planoplanum BC EF, minor prO- Portione unitatis ad planum BC; vel multiplicando per D, minor proportione D, ad solidum DBC; ergo ex aequo proportio intermediorum prςter AF,ad planopianum BC EF, minor en proportione unitatis ad solidum DBC , & aagrcgatum intermedioriam praeter B, F, deno minatum planoplano BCFF, videlicet A, minor est v n, tale denominata solido DBC. Quod,&c.
Vnde constat unitates denominatas solidis P u.r numerorum Arithmetice dispostiorum in
insinitum d positas, re aggregatat esse
ritet etiam , qued unitates denominata selia Prosii dis numerorum Aritim lice dispositorum
in aliqua multitudine sunt a prima, qua implent propositam extensionem minorem exien eo stara earumdem iη ita.