장음표시 사용
151쪽
Dc Umpta enim ab aequa Ii ipsi an, fiat
I O centro a , Se interuallo a b quadrans I E circuli a b e. Sit etiam radius αε ad anis se gulos rectos ipsi a dcitingatur bo. D nique assumpto in ab quolibet puncto Gordinatim applicetur r u , quae Protracta occurrat arent a h in k, unde ad ax ordinatim applicetur m. Iam M. Constat primo, quod oraue a, aequali ipso temporedescensus ex quiete ab a in a
εκ vi scilius naturaIis agglomerati impetus versu& centrum com
mune α, perfecisset sa) ipsam ab ex vi praedicti impetiis seeundum a b, dum scilicet planum a b eius descensui restis isset. Constat secundis , aequales sere dc similes arcus cn, AE . Quare, aequali ipso tempore descensus ab a in m , perseeisset O graue a ipsam a r. Igitur, aequali ipso tempore descensus ab a in nr, peruenisset graue a, ex vi motus compositi, in ipsum pumaum λ. Aia sumptum est autem punctum r pro quolibet puniato ipsuis a ,
Iinitur graue a, ex ut motus compositi, describet arcum a b. Petia ueniet autem in punctiim haequali ipso tempore descensus ab a
152쪽
subnascentes impetus versus centrum particulare a. Itaque in . puncto h solus aderit vivus impetus secundum a a , seu b h ipsi parallelam, aequalis nempe illi, quem graue a acquisiuisset in descensu ex quiete ab a in a, siue illi , quem aequireret in descenis su ex quiete ab ε in ipsum fast centrum commune a . Quare, simi-Ii ratione, describet a puncto B alterum quadrantem eiusdem ci cum serentiae r atque ita successive, donec redeat ad ipsum p- stum a s unde scilicet eiusdem circumferentiae descriptionem re sumet. Itaque describetur semper a gravi a per infinitas reuolutiones circumferentia Circuli, cuiusceat ruin a, radius autem a X. Quod erat demonstrandum.
DDO autem aequali semper impetu processurum graue a in deis scriptione praediha ιircunssere Iia, quantώι nempe es imis petas ab initio positus secundum ab AREsumpta enim eadem figura , protrahatur m fi ad a b in x .& iungat ut a . Erit n r aequalis ipsi fiat. Si erga impetus secundum ab ponatur ab initio, ut ca . erit impetus acquisitus in descensu ex quiete ab a in x , ut a B. Porro in F impetus vivus seeundum is erit b vi nr, hoc est Exi impetus autem ex qui tet aequisitus ab AE in m erit scin ut mε. Itaque graue a obtin bit in E impetum m h secundum directionem k A parallelam ipsi a x, de impetum lix secundum directionem mk parallelam ipsi b. Quare imperiis compositus erit si vi ak, hoc est x b, siue s a, aequalis nempe impetui, qui ab initio positus fuit secundum ab . Atqui punctum k sumptum est pro quolibet puncto arcus a B. Igitur arcus ah, atque adeo tota praedicti circuli circunserentia , describitur aequali semper impetu a graui a , quantus nempe est impetus ab initio positus secundum as. Quod erat dec.
153쪽
CU indicimus impetum compositum esse vi ak, aduerte ex imi dumtaxat eius quantitatem, non vero directionem, quae sumenda eli secundum tangentem , ductam ex puncto ε versiis partes o, ut conitat ex ipsa demonstratione
PROPOSITIO DECIMA.SIn vero impetus ab initio possos I
cunia m a b Da sit ad impetum ex quiete acquireudam ab a in E , ut a b maior , aut minor quam a Z, ad ipsama Σ : Mo aescriptum semper iri a graua per in iras reuoluriones perimetrum
eo eos, cuius unus semiaciis sit E a, ctu alter sit a h aqualis ipsi a b. CEntris enim v, Se π, deseribant m quadrantes circuli ab σ,xag. Assvmi pio autem in a b quolibet puncto r, ordina-ttim applicetur rn , quae protracta occurrat in euidam in altero Padrante ordinatae mi, quae utique abscmdat arcum at sim Iem arcui ι κ . Denique iungatur b , , d mittaturque ad AE perpendicularis ux. Iam sic . Constat primo,quod graue a,aequali ip tempore de ensim ex quiete ab a m n, persectisset sa) ipsam a b. Quare, aequali ipso tempore descenius ex quiete ab a in g, perii niet graue a, ex vi motus compositi, in punctum B. Constat secundo, quod, aequali ipso tempore descensus ex quiete ab a in m , per
154쪽
sirs ex quiete aba in nr, perueniet grauea, ex vi moliri conapoliti, in punctivia ε. Constat tertio ita fore spropter sin ilitudinem a rcitum I et g adant, ut ab ad n x, seu αθ ad m/r atque ita semper, ubiuis sumptum fuerit punctiim ε in line , ex vi motus compositi, descripta. Igitur, cum semiaxis x B ita sit semper ad ordinatam m Φ, ut, in quadrante circuir et a g, raditis ag ad ordinatam m I perit linea a ε θ, ex vi motus compositi descripta, quadrans curvae et lypticae, cuius umis semiaxis est ipsa a a, Se alter semiaxis est αδ. Atqui m puncto b elisus omnino fuisset imis petus secundum a b , nimirum per agglomeratos subnascentes impetiis versus centrum particulγre a . itaque in punisto h solus aderit vivus impetus secundum a et, aut b B ipsi parallelam, aequa, lis nempe illi, quem graue aequisiuisset in descensu ex quiete ab a in S; qui propterea ita se habebit ad impetum ab initio positum secundum a siue ad impetum ex quiete acquirendum πab B in x, ut a z, bὶ ad ab , seu bhadhΣ. Quare, simili rarione, describet graue in alterum quadrantem curvae et lyptica cuius nempe unus semiaxis sit ipsa a ri & alter sit E daequalis ipsi, h. Porro autem satis constat, quod quadrantes cryptici α ha, rhae pertinent ad eandem et lypsin. Rursum a piamstoe d prosequetur graue ob eandem ratiotrem , descriptionem eiusdem ae urtiaeetiypticae, donec redeat ad ipsum pum tum unde scilicet eliisdem perimerri deseriptionem resima et . Itaque describetur semper agra iii a per infinitas reiiolutiones perimeter et lypseos euius unus semimis sit se, de alter se a h xqualis ipsi a b. Quod erat demonstrandum, . f
HIne habes primo, quod tempus integrae deseriptionis periumetri eirculi, aut et lypseos, est quadruplum illius, quo omnia gravia s quacunque distantia peruenire intelliginitur ad cen. trum commune , aut particuIare ipsorum grauivin. Habes seis T cum
155쪽
xqs NEO-ST ATICAE cundo, quod in singulis reuolutionibus , quibus ellypsis describitur, aequalem semper impetum compositum obtinet graue m punctis aequE distantibus a centror maximum quidem in vertice axis minoris; minimum vero in vertice axis maioris: caeteros autem impetus in punctis intermedii si minores quidem & minores averti axis minoris usque ad verticem axis maioris ἱ maiores autem & maiores a vertice axis maioris usque ad verticem axis
minoris . Quae omnia facili ratiocinio colligi possunt ex praedictis .
Em me autem Z centro communi grauium, ct angulo l a Eacuto, vel obtuso ; si graue a obtinere inreuigatur impe- um secundum a i , qui ita H ad impetum ex quiete acquirendum ab a in E , ut quisibet a i ad ipsam a Σ : dico descriptum semper ab eo iri per infinitas reuolutiones perime. ιrram HI seos infra exponenda.
E Sio enim ellypsis αε b, ad cuius se
miaxem x perpendicularis sit fi , aequalis alteri semiaxi x B. Sint etiam, centris E, dea, quadrantes circuli Ebe, x fig. Rursum per a ordinetur m ι in quadrante x k g, & rn in quadrante a be . Denique in ma, & n a protra ctis sumantur ad de ax aequales ipsis rn, m t. Si ergo posita a I tangat ellypsin in a, sitque diameter rectanguli ipsis a d, a x contentie dico x B quadrantem esse
illius ellypseos, cuius perimeter describetur semper per infinitas reuolutiones ab ipso graui a . Si enim praedictum graue constituis tum ab initio intelligatur in k cum impetu secundum ε b, qui ita Diuitiam by Cc oste
156쪽
LIBER KVARTVS. I Tio sit ad impetum ex quiete acquirendum a in x, ut ε , ad k a, leu tk ad agr constat utique descriptum sa) semper ab eo iri per
infinitas reuolutiones perimetrum et lypseos, cuius unus semiaxis si x k, ω alter sit x is aequalis ipsi h b . Dum autem graue peruenisset a k in a , obtineret ibi sb secundum ma impetum ut ro, siue a da de secundum n a impetum cc ut mi, siue a x. Quare impetus compositus erit ut si secundum ipsam contingentem a LItaque obtinebit ibi secundum eandem directionem a I aequalem ipsum impetum, qui positus fuit pro hypothesi huius propositionis. Nam impetus secundum a I, quem obtinet grane in a post deseriptionem curuae ellypticae his, it ast ad inpetum ex quiete aequirendum 1 in α, ut a Iad εα ut satis honstat ex dictis rimpetus autem ex quiete acquirendus in et , ita est ad impetum ex quiete aequirendum ab G in z, ve a ad as . Igitur, ex aequo, impetus ille secundum a I ita est ad impetum ex quiete acquirendum ab a in et , ut aiad a α : quod utique pm hypothesi huius propositionis positum fuerat. Porro inanilastum est, quod graue acum eo impetu secundum a levdem curvam describet, siue pila. ctum a statuatur initium motust, siue non. Igitur praedicta curua et lyptiea deseribetur semper per infinitas reuolutiones ab ipso graui a. Quod erat demonstrandum .
SUpponere hic uniuersim videmur, quod in deseriptione curua ἀruin motus compositus sit semper secundum contingentes . Hoc autem opportunias demonstratum inuenies in proposit. t 7.
Vod autem innuit P. Thomas Ceva in sta Philosophia nouo- antiqua carmine exarata, dissert. q. motum videlicet proiectorum aeternum quidem esse, sed per circuitum ex qua T a tuor
157쪽
i 8 NEO- STATICAE tuor segmentis parabolicis constitutum ι id plane sequitur ex systemate Galilei de inotu uniformiter accelerato, cui tunc, ob tanti viri auctoritatem , mordicus adhaerebat. Illud autem superuacaneum est admonere ; in ea distantia , in qua sumus a centro con muni; systema Galilei a systemate nostro discerni sensu vix posse
158쪽
li ratione excessus quadrati ub supra quadratum r m aequatur rectangulo bg k. Igitur aequalia inter se sunt rectangula est, bgk. Quare ita erit sc ad g b. ut reciprocε ες ad ι s . Porro autem, si puniata x, de r proximiora semper sumantur ipsis d, Sc n; ratio g ad ι ι semper magis sine ullo termino accedet ad aequalitatem cum ratione ipsius n , ad der quandoquidem ipsae n b, de semper magis sine ullo termino accedent, ut sint aequales medietatibus praedictarum v g, rs, atque adeo in eadem cum ipsis rationcias . Igitur, si puncta x, & r proximiora semper sumantur ipsis d , de na ratio sc ad gb , nimirum excessus ordinatae di supra ordinata in x ι, ad excessiim ordinatae n b supra ordinatam r m, semper magis sine ullo termino accedit ad aequalitatem cum ratione reciproca ipsius ordinatae n, ad ordinatam dc. Quod erat de monitiandum .
HIne, ordinatis in parabola duabus quibusvis de, nb; ratio
infinitesimae, per quam dc excedit proximὶ ordinatam viciniorem vertici, ad infinitesimam, perquam us excedit proxi-mE uniformiter Ordinatam viciniorem vertici, aequatur rationi reeiprocae ipsius ordinatae nb ad ordinatam de . Quoniam enim ratio excessus ordinatae aec supra ordinatam x I viciniorem verti- ei, ad excessum ordinatae nώ supra ordinatam ν m viciniorem itidem vertici, semper magis sine ullo termino accedit ad aequalitatem cum pr dicta ratione 3 consequens plane est , ut in ea ni aequalitatem veniatur , dum ipsae x I, rm fuerint omnino proximae praedictis ordinatis δέ, n b.
SI quoddam graue θῶ ratione descendere indelΓΡIur venias aliquod centrum, υι in Angulis aqualibus te oribus aqua Ies velocisatis gradus aequirat et ratio imprauum totalium, quos graue Diuitigod by Gooste
159쪽
ue defendere. ESto parabola , cuius diameter a d. Concipiatur grave a hac
ratione descendere ex quiete per ad versus centrum H siue illud sit centrum commune grauium , siue particulare , ut in singulis aequalibus infinite is partibus temporis aequa Ies velocitatiS gradus acquirat versus ipsum centrum aer assumptisque in a ae duobus qtribu hiis punctis is, de v, ordinatim applicentur Ac, n, Dico impetum totalem aggregatum in c, ita lore ad impetum totalem aggregatum in re, ut ordinatim applieata de ad ordin vim applieatam n b. Intelligatur enim ad alias partes eonstituta talis curua, ad quam protractis in E, &t, ipsis ea, bis, ratio dkad ni aequetur rationi reeiproeae ipsius nb ad aer. Erit . . ad n t , ut infinite sima , per quam aer excedit η proximε ordinatam viciniorem vertici, ad infinite simam, perquam n b excedit proxim huniformiter ordinatam viciniorem veniet. Atq; ita de caeteris ordina tim applicat is ad praedictam cuma m. Porro autem parallela ipsid dueatur ax versus paries praedictae uritae; cui utique nunquam occurret, utcunque illa protrahi intelligatur. Quoniam igitur nώordinatim applicata in parabola aequalis est omnibus simul infini- esim is,per quas ordinatς omnes applicatς in parabola inter punctas, di n, remotior quidem a vertice excedit alteram sibi proκimam vicinio φὶ ceri prae Diuitiaco by COOste
160쪽
viciniorem vertici,quemadmodum figura x an Maggregata Concipitur ex omnibus simul ad ipsam cura am xt Ordinatim applicatis inter puncta a, & n: quod quidem consimiliter valet de dc ordinatim applicati in parabola, ac de figura x ad kx: consequitur plane ita esse figuram x ad/x ad figuram xant x, ut ordinatim applicata Ec ad ordinatim applicatam a b. Quare,si graue a ita ex quiete descendere intelligatur per ad , ut in singulis aequalibus in is finitesimis partibus ipsius aci acquirat impetus singulares proportionatos ordinatim applicatis ad praedictam curuam aphi ratio imis
petus acquisit i in quadam parte spatij infinite sim a d. ad impetum aequisitum in altera qualibet aequali parte spatij infinite sima n.
aequabitur rationi reciprocae ipsius figurae xant A ad figuram x ad kxι hoe est, rationi reciproce impetus totalis aggregati in nad impetum totalem aggregatum in d: siquidem constat eas figuras proportionatas fore praedictis impetibus totalibus, cam ipsae ordinatim applicatae , ex quibus omnibus eae figurae aggregatae concipiuntur, proportionatae ponantur impetibus singularibus sue- cessue a graui a in suo descensu aequisit is . Ut autem impetus totalis in n ad impetum totalem in d; ita reciproce mora ca) infinitesima temporis in E ad moram infinitesimam temporis in n.
Igitur impetus acquisitus in parte spatij infinitesimi d ita erit ad impetum aequisitum in altera aequali parte spatii infinitesima n, ut directE mora infinitesima temporis in d ad moram infinitesimam
temporis in n. Atqui ratio ista copcipiendi nouos de nouos suo celsue impetus proportionatos temporibus, eadem ipsa est, quam
pro hypothesi statuimus in titulo huius propositionis , quod ib=nempe in singulis aequalibus temporibus squales velocitatis gradus a graui acquirantur . Igitur citante hac hypothesi. ratio impetus totalis aggregati in quolibet puncto A, ad impetum aggregatum in quolibet altero puncto n, aequabitur rationi directae figurarum x adhx, xa nix, hoc est iplarum d , n, Ordinatarum in parabola . Quod erat &α