장음표시 사용
141쪽
Is petus ex quiete agglomeratos ex a in centrum d ira se habet ad impetum ex quiere ausimeratum ex quovis altero puncto hin idem, aut alterum centrum grauium, ut dictantia ad aἀῶ-
stantiam h d. CEntro enim d describantur
quadrantes circuli d a c, d hx. Constat ex natura circuli,
quod due ordinat a duobus quibusliis punctis, similiter diuidentibus radios ad , hae vib π, ε m) proportiona Ies sunt ipsis radiis ad, Bd. Iam vero, Impetus singulares concepti in a& h n equali parte infinitesima temporis, proportionantur a eisdem radijs ad, bd. Quoniam autem verum semper id est in ipso fluxu talis infinitesimae temporis ἱ idcirco particulae infinite simae spatij a, de hin ea quacunque aequali infinitesim temporis ex quiete percursae , ita erunt inter se, i b J ut ipsi radij ad , hae, nimirum i ex praedicta natura circuli, ut ordinatim applicatae in quadrantibus ab illis infinitesimisa, Sch. Porro; si infinitesima ordinata in quadrante dae ab ea infinitesima a repraesentare statuitur impetum ex quiete agglom ratum in motu per ipsam infinitesimam ιν; etiam ordinata de repraesentabit per praecedentem impetum totalem aggregatum ita descensu ex quiete ex a in d. Parisormiter ι si infinitesima ordinata in quadrante dBx ab illa infinitesima se repraesentare statui. tur impetum ex quiete agglomeratum in motu per ipsam infinite- siniam hietia in ordina dx repraesentabit per praecedentem impe
142쪽
impet rin totalem aggregatum in descensu ex quiete ex B in E. Igitur impetus ex quiete agglomeratus ex a in d ita se habet ad impetum ex quiete agglomeratum ex is in . , ut ordinata d e ad ordinatam dx, nimirum ut distantia ad ad dillantiam h d. Quod erat demonstrandum.
COROLLARIUM.QVare, designatis ipsarum a d, b d duabus quibuslibet por
tionibus δε; impetus ex quiete agglomeratus exa in , ita erit ad impetum ex quiete agglomeratum ex hin k, ut ordinata bu ad ordinatam ε m. Nam impetus ex quiete agglomeratus ex a in , ita est ad impesum ex quiete sa) agglomeratum ex a in ae, ut ordinat bn ad ordinatam d e, seu radiuuet a d: Est etiam impetus ex qiliete agglomeratus ex a in d ad impetum ex quiete agglomeratum ex h in ae, ut distantia ad ad diis ita ni ia in B d: Tandem ita est impetus ex quiete agglomeratus ex h in d ad impetum ex quiete by agglomeratum ex h in Φ, ut ordinata dx, seu radius h d ad ordinatam fim. Igitur, ex aequo, ita est impetus ex quiete agglomeratus ex a in , ad impetum ex quiete agglomeratum ex Θ in L ut ordinata bn ad ordinatam Em.
LEMMA. andoquidem in motu per infinitesimam a , successites uni
sermiter concipiuntur a graui impetus proportionati diis' stantiis a centro vi atque adeo semper aeqtiales, C a habeatur tanquam nulla imminutio interueniens distantiae ab ipso centro ae, utpote infinite partia ; quod idem valet in motu alisterius grauis per infinitesimam h et consequens planE est, ut grauia, quae eodem ipso tempore moueri ex quiete intelliguntur per ipsas infinitesimas a , & b, obtineant semper in motu impetus
proportionatos distant ijs ad , 5 d. Quare perinde se habebunt
143쪽
inter se, ac si illorum utrunque aequabiliter semper ferretur. Ig-tur infinitesimae a, & B in qualibet eadem , aut aequali infinit est. ma temporis ex quiete percursae, ita erunt inter se, ut a ipsi ra
atque inde retrudi intea gatur Ianro impetu viva secrendum ha, quanἔπι erae agglome- rarus ex a in ii secun-
m a d: Hca H,dg ur recursurum ipsam h a aqua uias ubique respectiuἡ impetibus , nimirum proporrionaia. bus ordinatim applica in eisciati da C. Si enim illud graue ita ascendere intelligatur ab bina, ut semper obtineat impetus vivos secundum B a proportiona tos Ordiis natim applicatis in eo quadtante e ire uli ι patet sanε, quod in singulis aequat ibus infinites mis ipsius Ba deperdet impetus proportionatos infinite simis, per quas, ipsae unimemiser ordinatae in cir-Ceso se inuicem excedunt nimirum , t ex demonstratis in secunda huiust proportionato ordinatim applicatis ad eam curuam x ae , atque adeo idesignatis infinitesimis aequalibus , , & B dicentes inter te rationem compositam eκ ratione directa distantiae , d ad distantiam h d, & eκ reeiproca figurae xa B mx ad figuram x ab Φx, hoe est, impetus totalis viiii in B ad impetum totalem
vivum in b. Atqui ratio ista deperdendi impetum sursum eadem ipsa est , quae naturaliter competet Praedicto graui proiecto sut- sum
144쪽
sum ab h versus a a quandoquidem in singulis aequalibus infinitesimis ipsius Ba concipiet impetus singulares oppositos versus centrum d , dicentes utique a , inter se praedictam rationem compositam. Igitur vere graue illud recurret ipsam ha aequalibus ubique respectiuE impetibus, nimirum proportionalibi O i-tim applicatis in ipso quadrante circuli Eac. Quod etat &c. l
HIe etiam locus esse potest simili obseruationi o die in silio. Iio post secundam huius, ad quod Iectorem remitto, - l
c onstat autem idem valere, si loco puncti cuiusdam intermeata dij b assiimatur ipsum centrum d. Rursum constat, quod inuertice a elisus intelligetur toltus impetus sursum.
COROLLARIUM II. Constat etiam , quod graue proieetiim ab A secundum quanta
dam directionem ha, ad eam usque altitudinem ascendet, unde si ex quiete descenderet ad ipsum usque punctum B, aequalem ibi obtineret agglomeratum impetum seis eundum oppositam directionem ah. Sic autem eam altitudinem determinabis. In recta a B protracta centrum aliquod grauium sit d. Rursum impetus positus ita is secundum Ba it sit ad impetum ex quiete acquirendum ab , in ae, ut quaedam h r, perpendicularis ipsi ad eam distantiam, Iam, centro ae de internatio aer, quadrans circuli fiat ae a c. Dico graue illud peruenturum usquet adca cor. I. post 13. nossibi Ierast . . . . t Diqili od by Corale
145쪽
t 36 N EO. STATI GAE ad verticcm a . Nam impetus ex quiete acquirendus ab a in Bita est ad impetum ex quiete sa in acquirendum ab a in ae , ut 6 rad dc: impetus autem ex quiete acquirendus ab a in d, ita est ad impetum ex quiete aequirendum ib) ab oin d , ut a d, siue dc i ad bd. Igitur, ex aequo, impetus ex quiete acquirendus ab ain B, ita est ad impetum ex quiete acquirendum ab h in ιέ, ut bν ad B d. Itaque impetiis ex quiete acquirendus ab a in Baequalis est i Ili, qui positus tuit in B secundum directionem ba. Quare, per praecedentem, perueniet graue ab busque ad verticem a. Quod si punctum b idem ipsum sit aliquod centrum grauiuiu, satis utique patet intentum ex praedictis. Quare constat Pr
ngura mi Da ma aerantis circiali est dupla eiusdem. Esto quadranscire utaris αδιν, Cuius centrum a. Ilitelligat ire etiam coastituta talis curua xx ; ad quam si a duobus quia busnis pii is c, de n armis circularis a B ordinatim applice
tur cr, ni parallelae ipsi δα, & oeeurrentes radio a e In m & si ita sit semper ordinata σr ad ordinatam n I, ut reciproch sinus nν ad ta) a. huius . b) 3. huius. Diuitiaco by Cc oste
146쪽
ad sinum em . Constat primo ita scire ordinatam c r ad ordinatam is x, ut reciproce simis totus h a ad sinum em . Constat secundo, quod ax, a punino a ordinata, semper quidem accedet, sed nunquam tamen occurret praedictae curvae ax. Itaque figuram ipsa ah, arcu circulari ha , asymptoto ax, de ea curua ax comprehensain, quadrantis circularis reciprocam appellamus, duplamque dicimus ipsius quadrantis tha. Iungantur ac, gr. Quotatam igitur ita est er ad hae, ut βαad em; rectangulum rcm aequale erit quadrato ha , seu cx, hoc est quadratis cm , m a. Est amem rectangulum rcm aequale quadrato em, & rectangulo cmr: igitur,dempto communi quadratos m, rectangulum c mr aequale erit quadrato ma . Quare angulus ι xr est rectus; atque adeo tangens, a puncto c excitata, paralle
Ia erit ipsi x r. Porro, a quodam puncto k tangeatis σε ad partes puncti a convergentis, dueatur hu parallela ipsi cr, de occurrens xr protra' in v. Erit parallelogrammum c ur duplum tria guli cha, cum ea constituta sint super eadem ba si σε, de inter eas- dein parallelas eε, xu. Manebit autem predicta ratio, etiamsi tangens σε, ipsique squalis ac parallela ru , infinitae paruitatis statuantur. Atque ita temper, si ab omnibus pincti x arcus circuis laris a B excitari concipiantur tangentes infinitae paruitatis , Ω-- perque earum singulis, & inter easdem parallelas, constitui prindicto modo sua parallelogramma , ae triangula. Porro constat, quod figura xhax a aequabitur omnibus illis parallelogrammis, di quadrans circularis nh omnibus illis triangulis 3 nimisum propter infinitam paruitatem excessuum ac desectuum . Igitur figura Esea xx ita erit ad quadrantem circularem xha, ut mirmparallelogrammum ad unum triangulum e respondens, nimi. rum erit eiusdem dupla. Quod erat demonstrandum.
ΡAri ratione ostendetur, quod portio reari dupla est secto. ris x ς a , ubilibet in arcu circulari a h sumptum suerit ip-
147쪽
sum punctum e . Quia re ita erit integra figura zhax x ad portionem rcax r, ut quadrans circularis a B a ad sectorem aeca, sue ut arcus a δ ad arcum a c. Similiter, iuncta E n , ita erit portio I n a xl ad portionem Fraxr, Ut arcus a m ad arcum a c. SimilF fere rariori.o demonBratum id leges a P. D. Guidomu Grando, geomeIωρ sumio mo , in suis Hugenianis.
TEmpora rotalia dessensurgrauliam ex 'DIe vereus centrum proportionalia sunt arcubus quadrantis circuli , cuius semiaxis sis recta itingens ipsum centrωm csm puncto illa fretist, unde ex quiete carpit graue Asendere. ΜΑnente figura praecedentis propositionis , sit x centrum in aliquod grauium, ad quod per a x descendere ex quiete intelligatur quoddam graue a. Designentur in radicia a duo qiις libet puncta e , & m , unde ad areum circularem a b ordinatae sunt ipsae ι n , m c. Dieo ita esse inter se tempora totalia ex quiete aba in a, ab a in r, ab a in m , ut arcus circulares correspondentes ah, an, ac, Quoniam enim impetus totalis in t ita est ad impetum sa totalem in m , ut sinus in ad sinum meo si partes infinite simae spatij ι , & m fuerint inter se aequales , ita erit mora singularis in s ad moram ibὶ singularem in m , ut reciproce sinus
148쪽
me ad sinum tu; nimirum, ex natura curuae zx, ut directe oris dinata n I ad ordinatam cr. Atque ita semper , ubiuis in radio a a sit pia fuerint ipsa puncta r de m . igit ur ordiuatim applica istae ab arcu circulari a b ad eam cur am n x repraesentant moras singulares in singulis aequalibus infinitesimis partibus radii ax, in quas nempe occurrunt ipsae ordinatae. Quare integra figura xha-xα, de portiones rcaa ἡ repraesentabunt tempora aota. lia ex quiete ab a in z, ab a in r, ab a in m ι quae propterea ita erunt inter se, ut praedicta integra figura , eiusque portiones, nimirum ut arcus ca) circulares ab , an, a c. Quod erat M.
Constat autem eandem rationem subsistere, si graue aliquod
proiici intelligatur a centro a secundum aliquam di rectionem xa, tanto videlicet impetu, quantus est aequirendusex quiete ab a in x secundum dwectionem an . ostensum ' enim iam est, quod recta xa aequa i ibusvbique respective impetibus recuris retur, nimirum proportionalibus ordinatim applicatis in ipso quadrante circuli nisa. Igitur aequali itidem tempore c) recurretur, seu tota n a, seu quaelibet eius designabilis portio, atque adeo tempora totalia ascensus sursum reprae sentabuntur similiter ab arci bus circularibus correspondentibus.
GRuuia a qualibet dictantiae quali tempore perueniunt ex
quiete ad centrum commune, ct ad quo is centrum panticulare .REsumpta figura propositionis tertiae; constat ex eius corotilario, quod impetus ex quiete aggregatus ex a in , ita. est ad impetum ex quiete aggregatum ex b in ε, ut ordinata a
149쪽
i o N EO - ST Ar IC MEbn ad ordinatam ε m. Quare, si b talis suerit portio infinitesima ipsius a d, qualis est ε ipsius B d; atque adeo infinitesima bita fuerit ad infinite simam ρ , ut ad ad hae, hoc ei existen tibiis adi hae similiter diuisis
in b. ut ordinata adoriadinatam Φm, siue, ut impetus totalis in , ad impetum tota lem in k: patet sane a aequales re moras infinitesimas temporis in b, &in , . Atque ita de aliis infinitesimis similibus, &coris respondentibus; quae quidem in utroque radio aequales multitudine sunt, ipsosque radios omnino adaequant. Igitur tempus totale descensus ex quiete ex ain d aequale est tempori totali descensus ex quiete ex , in d. At distiuitiae ad , b d designatae sunt pro quibuslibet distantiis; atque item punctum d sumptum est pro quouis centro grauium, imo etiam venire potest tanquam duplex centrum distinctum . Itaque grauia a qualibet distantia aequali tempore ex quiete perueniunt ad centrum commune, de ad quodviseentrum particulare . Quod erat demonstrandum.
Vare , existente z centro communi grauium, & an
gulo bax recto, si grauea proijciatur secundum a b, perueniet supra planum ab ad summam suam altitudinem, ut a b, et quali ipso tempore,quo ex qui te descenderet ex a in z. Nam tempus, in quo ascendit ad sum
150쪽
LIBER QUARTUS. I Imam altitudinem a b , aequale est illi, in quo descenderet V ex quiete ab eadem altitudine u 'ite ad centrum a I atque adeo per praecedentem illi etiam aequale, in quo descenderet ex quiete a
ΡRaeterea silmina ipsa altitudo a b ita erit ad a x, ut impetus proiectionis secundum ab ad impetum ex quiete agglomerandum ex a in z. Nam impetus ille proiectionis secundum a b aequalis erit b) impetui ex quiete acquirendo ex b in a. Hic auistem impetus ex quiete acquirendus ex b in a ita se habet ad impetum ex quiete acquirendum ex a in a, ut ab M aa . Igitur constat intentum .
HInc tandem ι descriptis , centro a , & interuallis ab, ax, quadrantibus circuli abe, anh, designatisque arcubus similibus cn, ak, atque ordinatis rar, εms tempus eκ a in raequale erit tempori ex a in m. Nam tempus ex a in m ita est ad tempus ex a in x, ut id arcus a ε ad arcum a B. Similiter tempus ex a in rita est ad tempus ex a in b, ut ce) arcus cn ad arcum c , . Quare tempora ex a in m , de ex a in r erunt similes portiones temporum totalium ex a in z, & ex a in b. Sunt auistem inter se aequalia tempora ista totalia D ex a in g, & ex ain b. Igitur aequalia etiam inter se sunt tempora praedicta ex a inm, di ex a in r. Quod erat propositum .