장음표시 사용
151쪽
sus ex quiete ab a in nr, peruet,iet graue a, ex vi motus compoliti, in punctum ιε. Constat tertio ita fore spropter similitudinem arcuum i a g ad m t, ut a b ad n x, seu Σ h ad m r atque ita semper, ubiuis sumptum suerit punctiim in linea, ex vi motus compositi, descripta. Igitur, cum semiaxis κε ita sit semper ad ordinatam m Φ, ut, in quadrante circuli a ag, radius ag ad ordinatam mi; erit linea a B,ex vi motus compositi descripta, quadrans curuae ellypticae, cuius unus semiaxis est ipsa za, & alter semiaxis est Σ h. Atqui in puncto , elisus sa) omnino suisset impetus secundum a b , nimirum per agglomeratos subnascentes impetits versus centrum particulare a. Itaque in puncto h solus aderit vivus impetus secundu in a a, aut , B ipsi parallelam, aequalis nempe illi, qtiem graue a acquisiuisset in descensu ex quiete ab a in x ; qui propterea ita se habebit ad impetum ab initio postum secundum a , , siue ad impetum ex quiete acquirendum a ab B in x, ut a x, M ad ab , seu bbadhα. Quare, simili ratione , describet graue a alterum quadrantem curuae ellypticae, cuius nempe unus semiaxis sit ipsa z B, & alter sit nae aequalis ipsi, B. Porro autem satis constat, quod quadrante et lyptici a ba, xhd pertinent ad eandem ellypsin. Rursum a puncto A prosequetur graue a, ob eandem rationem, descriptionein eiusdem cumae et lypticae, donee redeat ad ipsum punctum a; unde scilicet eiusdem perimetri descriptionein resemet . Itaque describetur semper a graui a per infinitas reuolutiones perimeter et lypseos , cuius unus semiaxis sit zα, & alter sie ab aequalis ipsi a b. Qisoderat demonstrandum .
HIne habes primo, quod tempus integrae descriptionis per .
152쪽
t s NEO- STATI GAEcundo, quod in singulis reuolationibus , quibus ellypsis describitur, aequalem semper impetum compositum obtinet graue in punctis aeque distantibus a centror maximum quidem in vertice axis minoris; misimum vero in vertice axis maioris: caeteros autem impetus in pimctis intermediis; minores quidem de minores avertice axis tu inoris usque ad verticem axis maioris, maiores au tem & maiores a vertice axis maioris usque ad verticem axis
minoris . Quae omnia facili ratiocinio colligi possunt ex praedictis a
EXUσnte autem Z centra communi grauium, ct amulo I a E cuto, vel obtuso ; sigraue a obtinere inteli aιur impe- um secundum a i , qui ita μ ad impetum ex quiete acquirendum ab a in E , ut qualiber a I ad ipsam a Z r dico defriptum semper ab eo
iri per infinitas reuolutiones perime atrum etdipseos infra exponenda.
ESto enim ellypsis αε b, ad cuius seis
miaκem α ρ perpendicularis sit ε , aequalis alteri semiaxi et B. Sint etiam, centris Φ, &a , quadrantes circuli fibsia Φg. Rursum per a ordinetur m ι in quadrante a k g, & rn in quadrante o b c . Denique in ma , & n a protractis sumantur ad dea x aequales ipsis r 'm t. Si ergo posita a I tangat et lypsin ina, sitqtie diameter rectanguli ipsis a A, a x contenti: dico αε B quadrantem esse
illius ellypseos, cuius perimeter describetur semper per infinitas reuolutiones ab ipso grauia. Si enim praedictum graue constituis tum ab initio intelligatur in k cum impetu secundum Φ b, qui i
153쪽
ita sit ad impetum ex quiete acquirendum a fi in ae, ut fib ad k α, seu c k ad agr constat utique descriptu in ta semper ab eo iri per
infinitas reuolutiones perimetrum et lypseos, cuius unus semiaxis sit ah, & alter sit αε aequalis ipsi h b . Dum autem graue peruenisset a k in a , obtineret ibi b secundum ma impetum vi rn, siue a da de secundum n a impetum cc ut mi, siue ax. Quare impetus compositus erit ut at secundum ipsam contingentem a LItaque obtinebit ibi secundum eandem directionem a aequalem ipsum impetum, qui positus suit pro hypothesi huius propositionis. Nam impetus secundum a , quem obtinet graue in a post deseriptionem curuae et lypticae ε a, rea est ad impetum ex quiete acquirendum a fi in n, ut a Iad εα , ut satis constat ex dictis rimpetus autem ex quiete acquirendus a in x , ita est ad impetum ex quiete aequirendum ab a in a, ut εα ad an . Igitur, ex aequo, impetus ille secundiam a I ita est ad impetum ex quiete acquirendum ab a in x , ut aiad a α : quod utique pro hypothesi huius propositionis positum suerat. Porro manifestum est, quod graue acum eo impetu secundam a Ieandem curuam describet, siue punctum a statuatur initium motus, sue nan. Igitur praedicta curua ellyptica deseribetur semper per infinitas reuolutiones ab ipso graui a. Quod erat demonstrandum.
SVpponere hic uniuersiin vis emur, quod in descriptione curuarum motus compositus sit semper secundum contingentes . Hoc autem opportunius de mons ratuin inuenies in proposit. ι7.
huius libri.sCHOLIUM II. . QVod autem innuit P. Thomas Ceua in sus Philosophia nou
antiqua carmine exarata, dissert. q. motum videlicet proi ctorum ariernum quidem esse, sed per circuitum ex qua T a tuor
154쪽
tag M E O- STAT IC AEtuor segmentis parabolicis constitutum ι id plane sequitur ex systemate Galilei de motu uniformiter accelerato, cui tune, ob tanti viri auctoritatem , mordicus adhaerebat. Illud autem superuacaneum est admonere ; in ea distantii , in qua sumus a centro communi , systema Galilei a systemate nolito discerat sensu vix polle .
PROPOSITIO DUODECIMA.EMO semiparabola, cuius diameter a d , ct latus rectum a li .
Ordinatim applicentur dc maior, ct n b minor. Dico sumi puse in diametro a d aeuo puncta x, ct r, tum aquc
adeo ur, ordinarim applicatis xl ,rm, rario excessu orisnata de se pria ordina ram X l , ad excessum oris nata n b supra orianasam r m , semper magis sine usio termino accedat ad aquais atem exis ratione reciproca sessus ordinata n bad ordy Iam d C.
EXcessus ipsius aec supra xl sit sc ; ipsius autem n b supra rmsit g b. Rursum ipsarum dr, n b duplae sint ις, kb. Iam
sic. Quoniam quadratum d e aequatur rectangulo Eah. di qua dratum αι rectangulo xah; excessus quadrati ἐς supra quadratum x I aequabitur rectangulo ex dx in ab . Similiter excessus quadrati n, supra quadratum rm aequabitur rectangulo ex urina B. Sunt autem aequales ipsae dx, nr, de ab eit communis. Igitur eXcessus quadrati de supra quadratum x I aequalis est excessii quadrati ob supra quadratum rm. At rursum excessus quadrati .c supra quadratum x I aequatur duplo rectangulo ς sd, & vni quadrato ιm, siue, aequatur uni rectangulo ς sto atque item, simi-Disiti eo by Cooste
155쪽
li ratione,excessus quadrati nb supra quadratum rAu aequatur reis ctangulo bgk. Igitur aequalia inter se sunt rectangula est, b g h. Quare ita erit se ad g b. ut reciprocὰ Φg ad ι ι . Porro autein , si puncta x, & r proximiora semper sumantur ipsis E, & n ; ratio g ad ιι semper magis sne ullo termino accedet ad aequalitatem cum ratione iplius nb ad Ee: quandoquidem ipsae n b, Ec semper magis sine ullo termino accedent, ut sint aequales medietatibus praedictaeum k g, is, atque adeo in eadem cum ipsis ratione s . Igitur, ii puncta x, de r proximiora semper sumantur ipsis ae , dc n s ratio sc ad gb , nimirum excessus ordinatae dc supra ordinatam x I, ad excessuim ordinatae n , supra ordinatam r m, semper magis sine ullo termino accedit ad aequalitatem cum ratione reciproca ipsius ordinatae ub ad ordinatam dς. Quod erat
HIae, ordinatis in parabola duabus quibusvis dς, n,; ratio
infinitesinae, per quam dc excedit proximE Ordinatam viciniorem vertici, ad infinitesimam, perquam n , excedit proxime uniformiter ordinatam viciniorem vertici, aequatur rationi reciprocae ipsius ordinatae nb ad ordinatam aec. Quoniam enim ratio excessus ordinatae dc supra ordinatam x I viciniorem vertiaci , ad excessum ordinatae nb supra ordinatam Um vicinicirem is itidem vertici, semper magis sine ullo termino accedit ad aequalitatem cum pridicta ratione 3 consequens planὸ est , ut in eam aequalitatem veniatur , dum ipsae xI,ν m fuerint omnino proximae praedictis ordinatis dς, ns .
S uoddam graue θῶ ratione descendere inreta Iur vera νaliquod centrum, ut in singulis a alibur /emporibus aqua- ira velocitatis gradar acquirat: ratio impetuum ιος Ilum, quos
156쪽
gratie in descensu obtinebit, aequabiIuν rasiani disectae reiunati, inplicararum in parabola, cuius diameter sit recta iungens praedictum centrum cum puncto tuo spas, unde ex quiere carpit gra- Me defendere. F Sto parabola, cuius diameter a d. Concipiatur grave a haca ratione descendere ex quiete per ad versus centrum M siue istud sit centrum commune grauium, siue particulare ut in sit gulis aequalibus inta ite sim is partibus temporis aequales velocitatiS adus acquirat versuς ipsum emerum dr assumptisque in ad duo-us qiribum is punctis A, & n , ordinatim applicentur aec, n b . Dico impetum totalem aggregatum in ae, ita fore ad impetum At talem aggregatum in re, ut ordinatim applicata ac ad ordin lina applicatam n b. I inuatur enim ad altas partes constisuta talis curua, ad quam protractis in P, &t, ipsis cae, bn, ramaod ad n t aequetur rationi recipe ae ipsius nώ ad de Erie d k ad n i, ut infinitesima , per miam de excedit M proximε ordinatam vici morem vettici, ad infinitesimam, perquam n , excedie proximε uniformiter ordinatam vicitatorem vertiet. Atq, ita de caeteris ordi na tim applicatis ad praedictam curuam. Porro autem parallela ipsidh ducatur ax versus paries praedicis curuae, cui utique nunquam occurret, utcunque illa protrahi intelligatur. Quoniam igitur ordinatim applicata in parabola aequalis est omnibus simul infini- esimis,per quas ordinate omnes applicate in parabola inter punctam & π, remotior quidem 1 vertice excedit alteram sibi proximam vicini con prati
157쪽
vieiniorem vertici,quemadmodum figura xa nixaggregata concI-pitur ex omnibus simul ad ipsam curuam xt ordinatim applicatis inter puncta a, dc n: quod quidem consimiliter valet de de ordinatim applicata in parabola, ac de figura x ad kxe consequitur pia isne ita esse figuram x adfx ad figuram xant x, ut ordinatim a applicata dc ad ordinatim applicatam a b. Quare,si graue a ita ex quiete descendere intelligatur per ad , ut in singulis aequalibus infinites mis partibus ipsius ad acquirat impetus singulares proportionatos ordinatim applicatis ad praedictam curuam x k i ratio impetus acquisiti in quadam parte spatij infinite sima d, ad impetu in acquisitum in altera qualibet aequali parte spatij infinite sima n,
aequabitur rationi reciprocae ipsius figurae x an ex ad figura m axad kxs hoc est, rationi reciprocet impetus totalis aggregati in nad impetum totalem aggregatum in d: si qui dein constat eas figuras proportionatas sere praedictis impetibus totalibus, cum ipse ordinatim applicatae, ex quibus omnibus eae figurae aggregatae concipiuntur, proportionatae ponantur impetibus singularibus successite a graui a in suo descensu acquisitis. Ut autem impetus totalis in n ad impetum totalem in E ; ita reciproce mora a infinite sima temporis in d ad moram infinite simam temporis in n.
Igitur impetus acquisitus in parte spatij infinite sim a d ita erit ad impetum acquisitum in altera aequali parte spatij infinite sima n, ut directe mora infinitesima temporis in ae ad thoram infinite simam temporis in n. Atqui ratio ista concipiendi nouos & nouos successiit E impetus proportionatos temporibus, eadem ipsa est, quam
pro hypothesi itatuimus in titulo huius propositionis , quod Unempe in singulis aequalibus temporibus squales velocitatis gradus a graui acquirantur. Igitur silanto hac hypothes J ratio impetus totalis aggregati in quolibet puncto ae, ad impetum aggregatum in quolibet altero puncto n, aequabitur rationi directae figurarumaea d. x, xant x, hoc est ipsarum d c, n, ordinatarum in pa- tabola 4 Quod erat aci
158쪽
Tque hu rursum Iocum habet obsertiatio similis illi, quam potes, si placet, recolere in scholio post secundam huius.
Ationem praedictam augendi impetus deorsum appeti ibi imis in posteriuri hypothesin Galilaeanam.
duplum quadratum tui do. Dico lineam parato Ii- eam a k cadere totum Ira quadrantem circuit, sed non etiam ianeam parabolicam
ipsius ae a, seu d c, quadratum ordinatae d saequale erit duplo quadrato
in i dcciive uni rectangulo da ho l 2: atque adeo a , eris latus re- . . . . . ctum parabolae da Φ. Iain
a quolibet puncto b ipsius ad ordinetur in elreulo ipsa bis ; Sebe in parabola da v. Constat bν. maiorem fore quam bns siquidem quadratum br aequale
159쪽
LIBER A VARTVS. 333erit rectangulo b a cum quadratum , n aequale sit minori rectangulo a b h. Atque ita de quibusvis alijs ordinatim applicatis ab eodem puncto axis a d. Igitur linea parabolica a ε cadit tota extra quadrantem circuli. Quod crat priore loco demonstran
dum a Iam vero, lineam alteram parabolicam a r non cadere totam o
extra quadrantem circuli, si punctum r incidat in punctum c , aut inter puncta c dc d, res est ex se satis perspicua. Itaque pulictum r situm sit inter puncta c , & ε. Latus autem rectum parabolae da r sit quaedam a g, quae minor quidem erit ipsa a b, sed maior ipsa a d. Porro autem sumatur in a d quodam am aequalis ipsi g h ; & ordinentur, in circulo quidem mx; de m I in parabola . Constat eandem ipsam rectam fore m x , de m I. Nam quadratum ipsius m x ordinatae in circulo aequatur rectanguloam hi quadratum autem ipsius m I ordinatae in parabola aequatur rectangulo mag, siue a m h , propter aequalitatem ipsarua is a m , g h. Igitur aequales inter se sunt ipsae m I. Sunt etiam ad angulos rectos ipsi a ae ab eodem puncto m exeitatae . Quare eadem ipsa est recta mx, atque m I; ac propterea linea parabolica Aa r non cadit tota extra quadrantem circuli. Quod erat posteriore loco demonstrandum .
HIne ; stante communi axe a d, si fiat quaedam parabola d a u, cuius Iatus rectum maius sit quam dupla ipsius a ripoterit alia quaedam linea parabolica, nimirum ipsa a k, secare angulum contentum sub ea curna paraboItea a ti, & circuli cir- cunferentia a c. Quemadmodum, data parabola dar, cuius latus rectum iminus est quam dupla ipsus ad, duci potest quaedam alia curua parabolica secans circunserentiam circuli inter puncta a, &x, atque adeo secans etiam anguIum contentum sub curua parabolica a r, & circuli circunserentia a c. Quare
solius parabolae da k , cuius latus rectum aequatur duplae ipsius in V. radij
160쪽
rs NEO - STATIC AEradii ad , proprium id est, ut stante eo communi axe ad, nulla alia linea parabolica secare possit angulum contentum sub ipsa linea parabolica ali , & circuli circunferentia a c.
HIne rursum fit, quod infinitesima ordinatim applicata in seirculo ab ipso vertice .s, eadem ipsa ordinatim applicata intelligatur in parabola da L. Cuius rei ulterior adhue, ae facilior ratio reddi potest; quia nempe rectangulum, cui aequatur qua dratum infinitesimae ordinatae in circulo ab ipso vertice a, deficit a rectangulo, cui aequatur quadratum infinitesimae ordinatae in parabola da k ab eodem vertice a , per quadratum communis sagit-tulae inter verticem a , &eas ordinatas interiectae. Hic autem a defectus tanquam nullus habetur apud geometras . Itaque illae ordinatae haberi debent tanquam aequales , imo tanquam Vnica eademque ipsa ordinata. Quod quidem non valere, si assumaturalia parabola, cuius latus, rectum maius sit, aut minus quam dupla ipsius radij ad , satis patebit consideranti.
SI graue a descendere inte statur ex quiete per a d inque ad ipsum centrum d ; prima quidem vice iuxta nostram hypothesin s rum etiam alter vice iuxta Dpothe Galilaeanam gratis impetuum rotalium , quo graue a obtinebit in qua libet ea.
aquabitur rationi ordinata in quadrante circuli d a e , cuius centrum d , ad ordinaram in
semiparabolae d a k , cuius latus rectum a uetur via ἡ ω rad j a d, qui idem axis ρι eiusdem parabola da . Assumpto