장음표시 사용
141쪽
sum ab h versus a s quandoquidem in singulis aequalibus infinite-smis ipsius Ba concipiet impetus singulares oppositos versus ceu trum ae , dicentes utique saὶ inter se praedictam rationem compositam . Igitur verE graue illud recurret ipsam ha aequalibus ubique respectiuε impetibus , nimirum proportionalibus ordinatim applicatis in ipso quadrante circuli Ea c. Qu'derat&c.
S C Η Ο L I U M. HIc etiam locus esse potest simili obseruationi sitatae in scholio post secundam huius , ad quod lectorem remitto. COROLLARIUM I.
Constat autem idem valere, si loco puncti cuiusdam interm dij h assumatur ipsum centrum A. Rursum constat, quod inuertice a elisus intelligetur totus impetus sursum . .
COROLLARIUM II. Constat etiam , quod graue proiectum ab h secundum quandam directionem Ba, ad eam usque altitudinem ascendet, unde si ex quiete descenderet ad ipsum usque punctum B, aequalem ibi obtineret agglomeratum impetum seincundum oppositam directionem aB. Sic autem eam altitudinem determinabis. In recta a B protracta centrum aliquod grauium si d. Rursum impetus positus in B secundum ha ita sit ad impetum ex quiete acquirendum ab h in d, ut quaedam h r, perpendicularis ipsi hae, ad eam distan- 'o tiarethdι Iam, centro d & interuallo aer, quadrans circuli fiat da c. Dico graue illud peruenturum usque adca cor. I. post 33. nossibi ierast.
142쪽
336 NEO- STATICAE ad verticem a . Nam impetus ex quiete acquirendus ab a in bita est ad impetum ex quiete ta) aequirendum ab a in ae, ut bradaec: impetus autem ex quiete acquirendus ab a in d, ita est ad impetum ex quiete aequirendum b) ab hin d , ut a d, siue dc , ad hae. Igitur, ex aequo, impetus ex quiete acquirendus ab ain B, ita est ad impetum ex quiete acquirendum ab h in vi br ad B d. Itaque impetus ex quiete acquirendus ab a in βaequalis est illi, qui politus suit in h secundum dilectionem ha . Quare, Per praecedentem, perueniet graue ab husque ad verticem a. Quod si punctum bidem ipsum sit aliquod centrum grauium, satis utique patet intentum ex praedictis. Quare constat pr postum.
Pigina reciproca quadrantis circuli est dupla eiusdem. ESto quadranscircularis x ha, cuius centrum α. Intelligatur
etiam constituta talis curua απῖ ad quam si a duobus quibus uis punctis σ, dc n arcus circularis ab ordinatim applicet
tur c r, n I parallelae ipsi h x, & occurrentes radio ax In m Set, ita sit semper ordinata cr ad ordinatam n I, ut reciproch sinus πν r. huius. bὶ s. huius. ad
143쪽
ad sinum e m. Constat primo ita sere ordinatam σν ad ordinatam h x, ut reciproce sinus totus B E ad sinum cm . Constat secundo, quod ax, a puncto a ordinata, semper quidem accedet, sed nunquam tamen occurret praedictae curvae ax. Itaque figuram ipsa ah, arcu circulari ha , asymptoto a x, & ea curua zx comprehensam, quadrantis circularis reciprocam appellamus, duplamque dicimus ipsius quadrantis etha. Iungantur ac, et r. Quoniam igitur ita est er ad B a , ut is x ad c me, rectangulum rcm aequale erit quadrato h a , seu ca, hoc est quadratis cm , m z. Est autem rectanguluin rcm aequale quadrato cm, & rectangulo cmr: igitur empto communi quadratocm, rectangulum c mr aequale erit quadrato met. Quare angulus c zr est rectus; atque adeo tangens, a puncto ι excitata, Parali la erit ipsi et r. Porro, a quodam puncto k tangentis ch ad partes puncti a convergentis, ducatur Bu parallela ipsi cr,&occurrensar protracte in v. Erit parallelogrammum cΦur duplum triai guli cla, cum ea constituta sint super eadem bali et, & interea Ddem paralicias ct, zu. Manebit autem predicta ratio, etiamsi tangens ck, ipsique squalis ac parallela ru, infinitae paruitatis statuantur. Atque ita semper, si ab omnibus punctis arcus circularis a b excitari concipiantur tangentes infinitae paruitatis , superque earum singulis, & inter easdein parallelas, constitui praedicto modo sua parallelogramma , ac triangula. Porro Constat, quod figura zhax et aequabitur omnibus illis parallelogrammis , & quadrans circularis etha omnibus illis triangulis I tum irii spropter infinitam parilitatem excessuum ac defectivim . Igitur figura aBaxa ita erit ad quadrantem circularem aba, ut unum parallelogra in mum ad unum triangulum correspondens, nimi. rum erit eiusdem dupla . Quod erat demonstrandum.
ΡΑri ratione ostendetur , quod portio re a ur dupla est sectaris aca , ubilibet in arcu circulari a B sumptum fuerit ip-
144쪽
sum punctum e. mare ita erit integra figura x bax x ad portionem rcax r, ut quadrans circularis aba ad sectorem aca, suevi arcus ab ad arcum a c. Similiter, iuncta x n , ita erit portio inax I ad portionem ν ea xr, ut arcus an ad arcuma c. Simili sere rariotania demonBrarum id leges a P. D. Guidone Grando , geometra praestantissimo , in suis Hugenianis .
TEmpora rotalia descensus grauium ex quiete versus centr umproport=onalia sunt arcubus quadrantis circuli , cuius semiaxis sis recta iungens ipsum centrum cum puncto illa sparist, unde ex quiete cvis graue defendere. MAnente figura praeeedentis propositionis , sit x centrum aliquod grauium, ad quod per a a descendere ex quiete intelligatur quoddam graue a. Designentur in radio a n duo quἴ- libet puncta e , dem, unde ad arcum eircularem a b ordinatae sunt ipsae r n, m c. Dico ita esse inter se tempora tinalia ex quiete aba in a, ab a in t , ab a in m , ut areus circulares correspondentes σε, an, a c. Quoniam enim impetus totalis in t ita est ad im-Perum a totalem inis, ut sinus e n ad sinum me: si partes infinitesimae spatij ι, & m fuerint inter se aequales . ita erit mora singularis in t ad moram b singularem in is, ut reciproce sinus
145쪽
MBER OORTUS. 13sm c ad sinum ιns nimirum , ex natura curvae x x , ut directh ordinata ut ad ordinatam cr. Atque ita semper, ubiuis in radio a x sumpta fuerint ipsa puncta ι & m .. Igitur ordinatim applicatae ab arcu circulari ab ad eam curuam xx repraesentant moras singulares in singulis aequalibus infinitesimis partibus radii ax, in quas nempe occurrunt ipsae ordinatae . Quare integia figura aha- xx, & portiones in a x I, rca προ repraesentabunt tempora totainlia ex quiete ab a in x, ab a in 'tri ab a in m ι quae propterea ita erunt inter se , ut praedicta integra figura , eiusque portiones, nimirum ut arcus ca) circulares ah , an, a c. Quod erat M.
Constat autem eandem rationem subsistere, si graue aliquod
proijci intelligatur a centro a secundum aliquam directionem ga, tanto videlicet impetu, quantus est aequirendus ex quiete ab a in a secundum directionem ax. Ostensu in b enim iam est, quod recta xa aequalibus ubique respectiuE impetibus recurretur, nimirum proportionalibus ordinatim applicatis in ipso quadrante circuli tha. Igitur aequali itidem tempore se recurretur, seu tota x a, seu quaelibet eius designabilis portio, atque adeo tempora totalia ascensus sursum repraesentabuntur similiter ab arcubus circularibus correspondentibus.
PROPOSITIO SEPTIMA.Grauia . qualibet dictant id aquaia tempore perueniunt ex
quirae ad c Irum commune, ct ad quodvis centrum paristiculare .REsumpta figura propositionis tertiae; constat ex eius eorolis
Iario, quod impetus ex quiete aggregatus ex a in , ita is est ad impetum ex quiete aggregatum ex o in Φ, ut ordinata ,
146쪽
r o NEO- STATICAEbn ad ordinatam ε m. Quare, si b talis fuerit portio infinite sima ipsius a d, qualis est ipsius h de, atque adeo infinitesima bita suerit ad infinite limam ε , ut ad ad bd, hoc est existenis tibiis ad , hae similiter diuisis in b,de ut ordinata bn ad oris
dinatam m, siue , ut impetus totalis in , ad impetum tota istem in k: patet sane a)aequalessore moras infinite simas temporis in b , & in h. Atque ita de aliis infinitesimis similibus, & correspondentibus; quae quidem in utroque radio aequales multitudine sunt, ipsosque radios omnino adaequant. Igitur tempus totale descensus ex quiete ex a in d aequale est tempori totali descensus ex quiete exhind. At distantiae ad , bd designatae sunt pro quibuslibet distant ijs; atque item punctum d sumptum est pro quouis centro grauium, imo etiam venire potest tanquam duplex centrum distinctum . Itaque grauia aqualibet distantia aequali tempore ex quiete perueniunt ad centrum commune, & ad quod uis centrum particulare . Quod erat demonstrandum .
tς , existente a centro communi grauium, & an - gulo baa recto, si grauea pro ijciatur secundum a perueniet supra planum a b ad summam sitam altitudinem, ut a b, quali ipso tempore,quo eX quiete descenderet ex a in z. Nam tempus, in quo ascendit ad sum-
147쪽
mam altitudinem a b , aequale est illi, in quo descenderet υ ex quiete ab eadem altitudine usqtie ad centrum a ; atque adeo per praecedentem illi etiam aequale, in quo descenderet ex quiete sex a in centrum commune a.
ΡRaeterea summa ipsa altitudo a b ita erit ad a x, ut impetus proiectionis secundum ab ad impetum ex quiete agglomerandum ex a in n. Nam impetus ille proiectionis secundum a b aequalis erit tb impetui ex quiete acquirendo ex b in a. Hic auistem impetus ex quiete acquirendus ex b in ita se habet ad impetum eX quiete acquitendum ex a in a, ut c) ab ad at . Igitur constat intentum. l
HIne tandem ; descriptis , centro a , & interuallis a b, az , quadrantibus circuli ab c, a αώ, designaetisque arcubus similibus cn, ak, atque ordinatis ur, fim tempus ex a in raequale erit te inpori ex a in m. Nam tempus ex a in m ita est ad tempus ex a in α ἰ ut din arcus a fi ad arcum a b. Similiter tempus ex a in r ita est ad tempusiex a in se, ut eὶ arcus en ad arcum cis . Quare tempora ex a in m , de ex a in r erunt similes portiones temporum totalium ex a in x , & ex a in b. Sunt autem inter se aequalia tempora ista totalia fὸ ex a in a, & ex ala b. Igitur aequalia etiam inter se sunt tempora praedicta ex a ino, di ex a in r. Quod erat propositum . .
148쪽
Eaistente a centro communi grauium, ct angulo b a et recto ; si graue a obsinere ime gatur secundum a b imperiam aqualem ilia , qtiem aequirereι in descensu ex quiete per a Σ e ad imum centrum commune E et dico descriptum semper ab eo iri per in iras reuolurio.
nes circumferentiam circuli , cuius centrum Z , ratus autem a Z.
SVmpta enim ab aequali ipsi a x, fiat
centro a , & interuallo a b quadrans eirculi ab e . Sit etiam radius xh ad angulos rectos ipsi a x, & iungatur bh. D . - nique,assiimpto in ab quolibet puncto Gordinatim applicetur r n , quae protracta occurrat arcui ab in inde ad ax ordinatim applicetur Em. Iain sic . Constat primo, quod oraue a, aequali ipso tempore descensus ex quiete ab a in Rex vi solius naturalis agglomerati unperiis Versus centrum comis
mune a , perfecisset sa) ipsam ob eae vi praedicti Impetus secundum a b, dum scilicet planum a b eius descensui restitisset. Co sat secundo, aequales sere M similes arcus ς n, a . Quare, aequali ipso tempore descensus ab a in m , perfecisset b graue a ipsam a r. Igitur, aequali ipso tempore descensus ab a in m, peris uenisset graue a, ex vi motus compositi, in ipsum punctum k. ALsumptum est autem punctum r pro quolibet puncto ipsius a b . Igitur graue a, ex vi motus compositi, describet arcum ah. Peris ueniet autem in punctum B aequali ipso tempore descensus ab ain x, siue ascensus ab a in , . Atqui in puncto b elisus Q omnino fuisset impetus secundam a b , nimirum per agglomeratos sub-
149쪽
subnascentes impetus versiss centrum particulare a. Itaque in puncto B solus aderit vivus impetus secundum a x, seu b h ipsi parallelam, aequalis nempe illi, quem graue a acquisiuisset in descensu ex quiete ab a in x, siue illi, quem acquireret in descensu ex quiete ab o in ipsum sa) centrum eommune x . Quare, simili ratione, describet a puncto h alterum quadrantem eiusdem ci cumferentiae r atque ita successive, donec redeat ad ipsum punctum a s unde scilicet eiusdem circumferentiae descriptionem resumet. Itaque describetur semper a graui a per infinitas reuolu tiones circumserentia circuli, cuius centrum n, radius autem ax. Quod erat demonstrandum.
DDρ autem quali semper impetu processurum graue a Ad scriptione praedicta circunferentia, quantur nempe es impetαι ab initio positur secundum a b.
REsumpta enim eadem figura, protrahatur nk ad ah in x
& iungatur α Φ. Erit n r aequalis ipsi εκ . Si ergo impetus secundum a b ponatur ab initio, ut ea, erit impetus acquisitus in descensu ex quiete ab a in a , ut αδ. Porro in r impetus vivus secundum a b erit b) vi nr, hoc est Φx r impetus autem exqui te. aequisitus ab a in m erit D) ut m . Itaque graue a obtin
bit in ε impetum m k seeundum directionem k x parallelam ipsi a x, de impetum kx secundum stirectionem mk parallelam ipsi a b. Quare impetus compositus erit ae) ut'xk, hoe est xh, siue e a, aequalis nempe impetui, qui ab initio positus svit secundam ab . Atqui punctum k sumptum est pro quolibet puncto areus ab . Igitur arcus ah, atque adeo tota praedicti circuli circunferentia , deseribitur aequali semper impetu a graui a , quantus nempe est impetus ab initio positus secundum ab . Quod erat &e.
150쪽
Vm dicimus impetum composituiri esse ut ΣΦ, aduerte expriis mi dumtaxat eius quantitatem, non vero directionem, quae suspenda est secundum tangentem , ductam ex puncto k versus partes B, ut constat ex ipsa demonstratione.
SIn vero impetus ab initio hositus secuniam a b ita sit ad impetum ex quiete ri uirendum ab a in E , vr a b maior , aut minor quam a Z, ad ipsam a Z : diso descriptum semper iri a grauia per infinitas reuoluIiones perimetrum
eidi eos, cuius umis semiaxis sit et a , ct I alier sit et ii aequalis ipsi a b .
Ent ris enim AE, dc a , describantur qua is
drantes circuli ubc, zag. Altumis Pto autem in ab quolibet puncto r, ordinatim applicetur rn , quae protracta occurrat in i cuidam in altero quadrante ordinatae mi, quae utique abscindat arcum at sini- Iem arcui cn. Denique iung.itur bh, demittaturque ad c a perpendicularis n x. Iam
sic ..Constat prImo,quod graue a,aequali ipso tempore deseensus ex quiete ab a in n, perfecisset sa) ipsam a b. lare, aequali ipso tempore descensus eX quiete ab a in a, perum Miet graue a, ex vi motus composivi, in punetiim Constat securi' do , quod, aequali ipso temp9re descemus ex quiete ab a in m , pe secisset b) graue a ipsam a r. Quare,aequali ipse tempore desce sus