장음표시 사용
131쪽
HO MEO. STATI GAE. x, , ac , x b. Constat aequales inter se sore bm, σἰ. Quare impetus subnascens in b versus centrum particulare m, ita erit ad impetum subnascentem in e versus centrum particulare I, ut mora infinite sima in , ad moram infinitesimam in c. Igitur impetus proiectionis secundum ab , aut he parallelam, di aequalem ipsi ab , patitur inibi detrimenta, aut incrementa acquirit sprout nempe Iocata suerint ipsa puncta is, & ι proportionata moris temporis in ipsis correspondentibus infinitesimis spatij . Verum autem id est, vimiis designatae fuerint infinite fimae corresponde res b, dc . Est etiam pro utraque hypothesi aequalis impetus ab initi. motus. Igitur graue a aequali semper respective impetu b Procedit per planum ab, siue hoc immotum inteItigatur in suo situ, seu concipiatur de endere sibi ipsi para Ilatum secundum ah, dein scribente puncto a rectam ab . Quare graue a, aequali ipso tempore sc descriptionis cirrnae at, periecisset ipsam ab, aequalem
nempe , & parallatam ipsi h e. Quod erat priore loco demo
- Rursem constat aequales inter se fore er, ε . Quare impetira subnascens in versus centrum particulare δε ita eris ad impe tum d subnascentem in is versus centrum particulare Φ, Vt mo ra temporis in c ad moram in h. Igitur impetus naturalis tacundum ah, aut b c parallelam ,& aequalem ipsi ah, acquiri
132쪽
II PER TERTIVS. τι inibi incrementa proportionata moris temporis in ipsis correspondentibus infinitesimis spatii. Verum autem id est, ubiuis designa, tae suerint infinitesi inae correspondentes e , & h. Est etiam pro utraque hypothesi aequalis impetus ab initio motus. Igitur grauea aequali semper respective impetu a descendit per planum ah, sue hoc intelligatur immotum in suo situ, seu concipiatur proc de re sibi ipsi parallelum secundum a b, describente puncto a ipsama , . Quare graue a, aequali ipso tempore descriptionis b curvae a c , perfecisset ipsam a B, aequalem nempe, & para Ilelam ipsi be, ex vi solius naturalis agglomerati impetus per planum in b, perpendiculare ipsi a b. Quod erat posteriore loco demonstrandum.
HI nc habes, qua ratione sconsule etiam figuram prop. I
prae c. determinari possiat omnia puncta curuae, a proiectis descriptae. Si enim constet, quod graue a proiectum secundum ab perueniret ex a in , dum planum ab eius descensui resilieret) aequali ipso tempore , quo descenderet ex quiete ab a in B, ex vi solius naturalis agglomerati impetus deorsit in s siue intelliis gatur descensiis fieri per a a, quae perpendicularis sit adab, seu statuatur fieri per quanda in a i perpendiculariter excitatam ad praedictam ob: si, inquam, alicunde id constet, compleatui que rectangulum habς; patet sanE punctum e pertinere ad miruam
ab ipso graui a descripta in . Atque ita similiter de alijs punctis.
133쪽
DEsignetur enim in a u, versus partes puncti ' portio ex duis pia ipsius eda Se bdi dupla ipsius bd. Rursum excessiis ordinate ι m supra ordinatam , n sit mr; de excessus ordinati s supra ordinatam e I sit he. Iam sic. madratum sn aequatur quadrato ari minus quadrato intermediae sectionis bae: similiter quadratum im squatur eidem quadrato ad, minus quadr to intermediae sectionis ιά. Igitur quadratum bn superatur a quadratos in excessu quadrati bis supra quadratum id. Hic autem excesissus aequatur quadrato bi, de duplo rectangulo brd: ni mirim aequatur uni rectangulo , ι . Parisormiterostendemus, quod exisce us quadrati se supra quadratum e I aequatur uni re, tangulo esse. At vero excessus quadrati t m supra quadratum , naequam tur etiam quadrato mr, de duplo rectangulo mrs ei nimirum, aequatur uni rectangulo m rh: de similiter excessus quadrati s supra quadratum ei aequatur rectangulo es . Quare ita se habet rectangultim mrb ad rectangulum hes vi rectangulum bt ad rectangulum esse , nimirum spropter aequales br, ef ut recta ty ad rectam I x. Igitur ratio ιν ad fix componitur ex rationibus mr ad ες, de ris ad c se Atque adeo ratio mr ad ε c componitur ex ratione sa directa tr ad I x, de ex reciproca O ad rh. Porro autem, si puncta b, de e proximiora semper sumantur ipsis ι,&Is rationes ιν ad se, & c s ad ris, semper magis sinet uno termino accedent ad aequalitatem cum rati
nibus id ad Ira, de se ad I m; quoniam se, ipsae r A, sd, de
ζε, ι is semper magis sine ullo termino accedunt, ut sint aequales medietatibus ipsarum v, o, & τι, rh. Igitur, si punctia, b, & e proximiora semper sumantur ipsis ι, des, ratio m r ad k e, nimirum excessus ordinatae r m supra ordinatam , n, ad excessum ordinatae io supra ordinatam a I semper magis sine vIlo termino accedit ad aequalitatem cum ratione praedicta r ad s,
composita nempe ex directa I A ad Io, de reciproca fh ad ι m.
134쪽
COROLLARIUM.Hine, ordinatis in quadrante circuli adg duabus quibusIibet
f ,rms ratio infinitesimae,per quam im excedit proxim Eordinatam remotiorem a centro, ad infinitesimam, per quam L excedis proximὶ uniformiter ordinatam remotiorem a centro , inponetur ex ratione directa id ad fra , de reciproca L adrm. Quoniam enim ratio excessus ordinatae r m supra ordinatam bra remotiorem a centro, ad excessiim ordinatae supra ordinatam ei remotiorem itidem a ceatro, semper magis sine ullo termino accedit ad aequalitatem cum predicta ratione composita, consequens plane est, ut incam aequalitatem veniatur,
in ipsi bra, e I fuerint omnino proxiins predictis ordinatisrm, fra . PROPOSITIO SECUNDA .RAtio impetuum rotatiram , quos graue acquiris in descensiulibero ex quiete versus centrum commune , aquatur rat O-πι duecta orisnatim anticararum aά circumferens/am quadrantis eirculi, euius semiaxisset recta iungens centrum ipsum communerum ilis punctos iij, unde ex quiete capit graue defendere .
culi da c , cuius centrum d. Concipiatur graue a descendcre ex quiete per a d versus ipsum centrum commune d : assiimptisque in a ae duabus quibusvis aequalibus instillesimis b, & b, ordinatim applicentur bn, hr. Dico impetum tot lem
135쪽
LIBER QUARTUS. I 29lem aggregatum in b, ita esse ad impetum totalem aggregatuin B, ut ordinati in applicata bn ad ordinatim applicatam Br. Intelligatur enim constituta ad alias partes talis curua, ad quam protractis in ε, &m, ipsis nb , rh, ratio b/ ad h m componatue ex ratione directa b d ad Bd, & ex reciproca br ad , n. Erit bis adhm, ut infinitesima, per quam , n excedit i a proximE ordinatam remotiorem a centro, ad infinitesimam, per quam br excedit proximε uniformiter ordinatam remotiorem a centro: Atq; ita de caeteris ordinatim applicatis ad praedictam curuam. Porro excitetur ad ad perpendicularis a x versus partes predicte curve, cui utique nunquam occurret, utcunq; illa protrahi intelligatur. Quoniam igitur b n ordinatim applicata in circulo aequalis est omnibus simul infinite simis, per quas ordinatae omnes applicatae in circulo inter puncta a , dc b, proximior quidem centro excidit alteram sibi proximam remotiorem a centro 3 quemadmodum figura x ab εx aggregata concipitur ex omnibus simul ad ipsam curuam x ε ordinatim applicatis inter puncta a, &b: quod quidem consimiliter valet de Br ordinatim applicata in circulo, ac de figura x a b mxe consequitur plantata esse figuram x ab lx ad figuram x ah mx, ut ordinatim applicata bn ad ordinatim applicatam uer . Quare, si graue a ita ex qniete descendere intelligatur per ad, ut in singulis aequalibus infinite simis partibus ip.
si iis ad acquirat impetus singulares proportionatos oldinati tu oapplicatis ad praedictam curuam xd, ratio impetus singularis acquisiti in qu 3dam parte spatii infinite sima b, ad impetum singularem acquisit tim in altera qualibet aequali parte 'iiij infinitesimah, componetur ex ratione directa distantiae bd ad distantiam hae,&ex reciproca figurae x ah mx ad figuram xab x; hoe est, impetus totalis aggregati in B ad impetum totalem aggregatum inbue squidem constat eas figuras proportionatas fore praedictis imis
petibus totalibus, eum ipsae ordinatim applicatae, ex quibus omniis bus eae figurae aggregatae concipiuntur, proportionatae ponantur
136쪽
I3o NEO. STATI GAE sitis. Atqui ratio ista concipiendi nouos & nouos Deeessiue impetus, eadem ipsa est, quam ostendimus a competere naturaliis ter grauibus. Igitur, si graue a naturaliter ex quiete descendere intelligatur per ad versus centrum commune di ratio impetus totalis aggregati in b, ad impetum aggregatum in qualibet altera aequali infinitesima B, aequabitur rationi directae figurarum x abfix, x ah mx, hoc est , ipsarum , n, Bν ordinatim applicatarum in circulo. Quod erat &c.
QVod si eodem centro d, ac semiaxe da, fiat quadrans el-lypseos dat, in qua ordinatim applicentur be, hu , constat utique ita adhuc sere impetum totalem aggregatum in b, ad impetum totalem aggregatum in B, ut ordinata se ad ordinatam hu, cum illae ordinatae in eadem sint ratione, in qua ipsae bn, Br ordinatae in circulo.
Rursum constat eandem rationem subsistere, etiam si quoddam alterum punctum g sit centrum commune grauium, ipsum vero punctum d sit centrum particulare. Nam graue G in descensu per ad acquiret nihilominus in singulis aequalibus infini-tesimis spatij partibus singulares impetus subnascentes, quorum ratiosa cor. I. post I3.noctri terri' .
137쪽
ratio cona ponetur ex ratione sa directa distantiarum a centro particulari d, & ex reciproca impetuum totalium in eisdem infinite- sinis partibus aggregatorum versus idem centrum particulare A . Quare ratio impetuum totalium in duobus quibusvis punctis b,& b aggregatorum, squabitur consimiliter rationi directae ipsarum , ni h r, aut B u, nimirum ordinatarum in quadrante circuli, aut ellypseos .
S C H o L I V M. SEd videri possimus commisisse fallaciam, apud Iogicos di
ctam Con uentis. Neque enim demonstrauimus conuertentem propositionis primae , quam tamen a nobis tacitE supponi consideranti patebit. Nihilominus sconsule figuram proposit. I. huius in hac re frustra immorandum non fuit . quandoquidem , sese ad perpendiculum intersecantibus duabus aequalibus rectisad, Q, satis ex se constat determinatam esse fi uram a din qua nimirum ordinatim uniform iter applicatae a semiaxe ad ad curua in a g ea tali ratione se inuicem excedant; ac propterea eam figuram necessario esse quadrantem circuli. Quemadmodum etiam spropius ad rem presentem perspectum omnibus esse potest, determinatam esse rationem impetuum totalium consule figuram prop. praec. ubiuis in decursu aggregandorum , si grauea ita ex quiete sprout nempe naturaliter fit descendere ponatur per ad , ut in duabus quibuslibet aequalibus infinitesimis spatij partibus b, de o concipiat impetus singulares, quorum rati Com ponatur ex ratione directa distantiae bd ad distantiam B d, & eκ reciproca impetus totalis aggregat i in Bad impetum totalem agingregatum in b. Quare; cum ratio ista demonstrata naturalis γconcipiendi nouos & nouos successiue impetiis, illi alteri conis sonet, quq impetus totales ubiuis in decursu aggregatos propor tionales statuit ordinatim applicatis in quadrante circuli , aut ellypseos, prout iam demonstrauimus; haec enim vero posterior ratio admittenda etiam ipsa Omnino venit.
138쪽
I etus ex quiete agglomeratus ex a in eentrum d ira se habet ad impeium ex quiete agglomeratum ex quovis altero puncto hin idem, aut aiserum centrum grauium, ut dictantia ad aά di
autem verum semper id est in ipso fluxu talis infinite simae temporis ἱ idcirco particulae infinitesimae spatii a , & hum ea quacunque aequali infinitesima temporis ex quiete percursae , ita erunt inter se, b J ut ipsi radi j ad, Bd, nimirum sex praedicta natura circuli, ut ordinatim applicatae in quadrantibus ab illis infinitesimisa, & θ. Porro; si infinite sima ordinata in quadrante dae ab ea infinite sima a repraesentare statuitur impetum ex quiete agglomeratum in motu per ipsam infinitesimam ari etiam ordinata de reis praesentabit per praecedente in impetum totalem aggregatum in descensu ex quiete ex a in d. Pari formiter ι si infinite sima ordinata in quadrante dBx ab illa infinitesima se repraesentare statui. tur impetum ex quiete agglomeratum in motu per ipsam infinite ins mam ha etiam ordinata dx repraesentabit sper praecedentem Entro enim .i describantur quadrantes circuli d a c,dhx. Constat ex natura circuli, quod due ordinals a duobus quibusvis punctis,similiter diuidentibus radios ad , hae vibn, ε m) proportionales sunt ipsis
quadrantes circuli petus singulares concepti in a& h, in squali parte infinites matemporis, proportionantur sa eisdem radijs a d, hae. Quoniam
139쪽
impetum totalem aggregatum in descensu ex quiete ex B in E. Igitur impetus ex quiete agglomeratus ex a in d ita se habet ad impetum ex quiete agglomeratum ex h in d , ut ordinata de ad ordinatam dx, nimirum ut distantia a d ad distantiam h d. Quod erat demonstrandum.
COROLLARIVM. QVare, designatis ipsarum a d, B d duabus quibuslibet poris
tionibus a b , ε ε; impetus ex quiete agglomeratus ex a in , ita erit ad impetum ex quiete agglomeratum ex bin q, ut ordinata bn ad ordinatam fim. Nam impetus ex quiete agglomeratus ex a in b ita est ad impetum ex quiete su agglomeratum ex a in ae, ut ordinata bn ad ordinatam de , seu radium ad: Est etiam impetus ex quiete agglomeratus ex a in d ad impetum ex quiete agglomeratum ex B in d, ut distantia ad ad distantiam hae: Tandem ita est impetus ex quiete agglomeratus ex B in d ad impetum ex quiete b agglomeratum ex b in E , ut ordinata dx, seu radius B d ad ordinatam ε m. Igitur, ex aequo, ita est impetus ex quiete agglomeratus exa in , ad impetum ex quiete agglomeratum ex o in Φ, ut ordinata bn ad ordinatam m.
LEMMA.QVandoquidem in motu per infinitesimam a , Lecessiuὸ uniis
formiter concipiuntur a graui impetus proportionati diis stantiis a centro ae, atque adeo semper aequales, cum habeatur tanquam nulla imminutio interueniens distantiae ab ipso centro ae, utpote infinite parua s quod idem valet in motu alterius grauis per infinitesimam h : consequens planE est, ut grauia, quae eodem ipso tempore moueri ex quiete intelliguntur per ipsas infinite simas a , deis, obtineant semper in motu impetus
proportionatos distant ijs ad , b d. Qitare perinde se habebunt
140쪽
inter se, ae si illorum utrunque aequabiliter semper ferretur. Igitur infinitesimae a, de B in qualibet eadem, aut aequali infinitesima temporis ex quiete percursae, ita erunt inter se, ut a ipsi ra-
rir ex quiete ab a in quod bet punctum ii ipsius ad , argiae inde retrudi intel2uatur tanto impetu vivo secundum ha,
rarus ex a in I, secuniam a di dico inu -- recursurum ipsam h a qualibus ubique respective impetibus , nimirum proporris aliis bus ordinatim anticatis in ipso quadrante circuli da c. c ι enim illud grane ita ascendere intelligatur ab is in a, ut sem- I per obtineat impetus vivos secundum o a Ploportionat Sordiis natim applicatis in eo quadrante circuli ι patet sane, quod in singulis aequalibus infinitesimis ipsius Ba deperdet impetus proportionatos infinite simis, per quas, ipse unitor miter ordinatae in circulo se inuicem eκcedunt, nimirum , sex demonstratis in secunda huius 3 proportionatos ordinatim applicatis ad eam curuam x ae, atque adeo designatis infinitesimis aequalibus , , & Ba dicentes inter se rationem compositam ex ratione directa distantiae bd ad distantiam hae, Se ex reciproca figurae x a B mx ad figuran a Xabst x, hoc est, impetus totalis vivi in B ad impetum totalem
vivum in b. Atqui ratio ista deperdendi impetum sursum eadem ipsa est , quae naturaliter competet praedicto graui proiecto sursum