장음표시 사용
31쪽
Epistolae Eepleri aliorumque mutuae
Iam postquam, quae Κεplenis libris insequentibus stippeditat, eo m lmai nem ex- . Primere tentavimus, reliquum est, ut reseramus, quao Kepleri epistolae ad lamiliares dxtae memorant de studiis, quibus Harmoniam suam praeparavit. ν Primordia limus disputationis snbtilis et abstrusaea exhibuimus Vol. I. p. lM M. in literis Repleri ad Maest linum anno 1 199. d,tis, deinde ibidem p. 203 et 269 M. proposuimus literas Kepleri ad Principem Mibaltinum, Anglum IJaydon uu et Joaebimum Tane lum, si e vol. II. p. bm s A. ad Bleu
gerum, in quibus aliquot annis post i 160b, 1607, 1608ὶ de studiis suis resert ad Ilarmoti lain
pertinentibus. Eodem tempore. quo illa de Harmonia ad Maest linum seripsit, simula Her arto nuneuxit, qui ad lueras Replerio deperditas haee respoudit: S. Vir clarissime. Simul atquo ex itinere domum redeo ot litoras tuas 6. Aug. datas reperio, breviter respondeo: Tyelio Brahe perlustrat eastra impora toris in Bohemia, quaerens Ioeum eoni modum, ubi sedem 1lgat' et observationibus eo elestibiis ineet, salario 3000 n. stnnuorum si modo vera ost smain ab imperatore in semitium, receptus. Valem ego tibi conditionem optarem, et quis novit, quid sit in satis ' Quae de Harmonia mundi, seu eoneentu T Planetarum, quio distantula eorum colli utur vel eoarguitur, seripsisti, ea omnia libentissimo legi. Tametsi enim tota haee speculatio in duobus mihi desse re videatur, inprimis quidem in eo, quod numeri non exaete eoniment, deinde quod haec a priori o suspicione Potius arripiantur, quam demonstrent ut vel etiam demonstrari possint. Attamen, uti erum sator, animi praesagire videtur, sub tam mirabili et eonestina congrueutia AIi quid veruatis latere. Quae vero sub uno de septem Iorosi mustealibus, optarem sane tale quipptam vel geometrice
demonstrari, vel saltem sensu et auribus, ut se ibis, praeeiso animadverti posse. Dubium Pud me est, Feptem omnino noe plures nee pauciores osse homi et inusi lus, quod tu d monstrara ulteris. Si enim reeensus octavam, h. e. duplam, cur non et quadruplam 2 Cur non uuisonum .ete. Tota hise res mihi videtur plina lubrio et interia, atque haee In eum Gem Leribere volui, anus sorte certius. quippiam a te accipem Possim. Verissimum enim id est, quod ostendis, non uullos consonantiarum numeros eum angulorum numeris Murarum in circulo pulcherrime cu ruere.
Nee dubito, ex speciali et praeeipua quadam ratione Id evenisse, ut inter tot fixas nonnisi septem errante reperiantur. Tametsi vero nondum adline ullum firmum indamentum viderim, ex quo vis illa et effectus, qui aspretibns stellatum tribui solet, eomprobari possit; uti quoque tota astrologia ex meris opinionibus et suspieionibus mihi quidem dependere videtur. Interea tamen miror, nondum quenquam unquam uspiam locorum vel gentium ex stitisse, qui haec duo, . quae vel Praecipua inter res coelestes e so opinor, satis discusserit vel Plenius Posteritati tradiderit. Quorum primum est, quanam de eausa Deiri O. M. in nrmamento toti tantas, tales et taliter inter se disi xntes stellas fixas ero re voti erit' Alter est, cur nonnisi septem et nec pauciores errantes stellas erearit, easque tantita, quantae sunt, et tales talibusque eursibus utentes γDices sorte, haec seiri non posse, nedum demonstrari, et facile eone sero, nee selis quidem haec exacto Posse; qttamen sortis probabiliter eoargui poterit eum ob id ipsum hamsensibus humatiis exposita esse videantur, ut homines hi sorte praesertim Christiani exinde praecipuum aliquid eoarguant, quod vel in honorem Dei vel salutem animarum udi bonum publicum redundet. Sed haec seribo, ne nihil seribam. Mitto eptitolas Tyehonios astronomicas, quas viaim remitti. Ratione anomaliao eclipticto huius aetatis cogitavi, anno suppositione mici motus Terrae tres apparetitiae salvari possent. vi. lieet decremonium Meeutricitatis Solaris, . anomalineelii Hum L lus seeuli et augmetitum hi ovatioui, Polli I xpuea sententiam suam schemate, . in quo Lunae et Solis orbes iidem sunt ad duo viversa Terrae loea; Terram assumit a tempore Dolemaei ad suam aetatem Ioeo motam, Lunae vero et Solis. orbes immutatos mansisse .l Sed haec, addit, raptim, nee etiam releeta: Valet optime.
ab Hohonburg. Kepleriis respoudit initium dicendi sumens a Tyelione, quem in Bohemtam veuisso HerWartus nunclaverat tela. vol. I. p. 71 . Deinde pergit:
Ad rem. Demonstras, numerum proportionum tibi curae esse. Abiisset nuncius proximo vel unica die gerius, demonstrationem habuisses. Nunc me
laboris, quem legendo cepisti, poenitet frustra. Ingrediamur autem rem philosophice. Proetus super Eucl. I. pulcherrimam sententiam ponit, puto ex Platonis philosophia, τα μαθηματικα amrεννα,
32쪽
ποικιλιαν. Nam etsi non crescit ex quinquan to uos, ut ex radice, tamen concurrit id ad causam formalem, quam spectavit creator. Itaque tantum
abest, ut re φιλοσοφον sit hoc dictum squod quidem Aristoteles nititur probare , ut potius ex hoe ipso persectissimi reddamur philosoplii, quod videmus mathematica inesse in rebus, nec tamen in eas venire via naturali. Ex hoe enim colligitnus, causam esse principem ἀρχιτεκτονικ it et intelligentem, quae connectat figuras ordinatas etc.
Jam in geometria saepe eogitavi duas partes sacere, ut in prima considerentur quantitates, ut sunt in quarta specie qualitatis, in secunda, ut sunt in relatione. Primae partis titulus esset de seuris, secundae de rationibus. Id consilium video et Ι. C. Soligero probari. Haec ideo dico, quia manifesta est distetentia inter figuras ipsas eartimque speciem et pulchritudinem, et intereollationes fgurarum, quod est accidens. Haec αναλογον habent ad ipsam rerum naturam. Etenim figurae sunt quasi substantiae, or σεις mutuae figurarum, sunt quasi motus. Quemadmodum itaque in intellectu prius est fetura, quam earum collatio causa mensurandi, ita in rebus prius est substantia, quam qualitas. Et quemadmodum λογοι sunt relationes, ita motus relatio est consistens inter agens et patiens, ut illud inter exsuperans et exsuperatum. Rursum, quemadmodum in intellectu manifestum discrimen est inter sguras planas et solidas, eum solida finita planas tertas ex infinito numero sustentent: ita in rebus aliud est substantia aliud ejus qualitas. His landamentis positis concludo, quemadmodum figurae solidae faciunt ad substantias materiales exornandas, ita fgurae planae ad qualitates faciunt. Collatio vero figurarum, se. ratio, λογος, ad motus facit ordinandos. In mundo itaque coeli sunt exstructi ex feturis solidis . tanquam substantia. Qualitates eoloresque planetarum sunt deducendi ex fgnris planis: cujus speculationis jam aliqua sunt penes me vestigia, sed nihil adhuc certi. Denique motus coelorum, et omnium rerum adeoque et fixarum) sunt ex eo latione quantitatum, εe. ex proportionibus
At unde sunt capiendae proportiones, ex sguris stadis an planis 2 Ex planis utique. Nam supra dixi, plana esse ii λογον qualitatibus, solida gubstantiis. At motuέ non ex substantiis proxime, sed ex qualitatibus existiti
Itaque demonstratio λογον κοσμοποι τι κων omnino petenda est ex sguris planis.
Nam illud per he intelligi volo, in arithmetica nihil nos prostero, quod ad
rem Sit, cum aptitudo numerorum omnis ex figuris pendeat sitque arithmetica
nihil aliud qausa genuini et proprii subjecti , . quam pars geumetriae
Jam λοπι infiniti sunt, ut numerorum, ut fgurarum regularium. Nam inter quoslibet duos numeros inter se primos est alius. Cum autem pulchritudo fluat ex aequalitate et mundum Deus ereaverit optimum et pulcherrimum, aequalitatem in omnibus rebus quaesivit. Aequalitas autem in paucis e sistit, inaequalitas infinita est. Itaque etiam in motibus λογον pauci erunt, non tam ipso creandi opere, quam interna eorum demonstratione. Habeamus Itaque Ἀγων delectum. Is non aliter institui potest, qnain si addamus ipsa plana, quae gignunt λογον . Planorum regularium delectus hie est, quod quaedam ge0metrica sunt, quaedam Geometrita. Illorum latera demonstrari possunt h. e. comparari ad diametrum , horum minime, ut sepianguli,
undecanguli, tred anguli). Quae demonstrari possunt, haec sunt: 3, 4, 5, 6, A, I 0-angula per se; tune 12, ex eomparatione 3 et 4 anguli in
33쪽
Epistolae Eepleri aliorumqua mutuae
eundem elaeulum; si e 15 ex 3 et 5, 20 ex 4 et 5, 24 ex 3 et 8, 30 ex bet 6, 40 ex b et 8, 60 ex 5 et 12, 90 ex 6 et 15, 120 ex 8 et 15.
Denique in infinitum demonstrari possunt omnia regularia, quae habent duplam denominationem ad priora, quomodo etiam octangulum demonstratur ex quadrangulo, itaque etiam 16, 32 ete. -angulum. Jamque rursum possunt
comparari haec dupla cum iis, quibuscum primi sunt, ut 15 cum 16, hine
enim demonstratur 240-angulum. Haec igitur generalissima est ἐκλοrt των δεικτων, adhuc existens infinita; estque demonstratio tanto imperfectior, quanto longius ab unitate receditur. Itaque alia fiat.εκλος earum, quae per se demonstrantur, non ad tompara
tionem duarum simplicium. Retinebimusque 3, 4, 5, 6, 8, 10 et omnes
earum duplas in infinitum. Rursum alia sat λor 17 earum, quae non tantum non indigent duarum aliarum figurarum comparatione ad sui demonstrationem, sed ne una quidem. Hic primum ad finitatem pervenitur, sed restant valde paucae. Nam cadunt omnes duplae una cum octangulo, quod modo duplarum demonstratur. Quinquangulum vero et de angulum adhue manent, quia dec- angulum etsi non quadratura demonstratur, at demonstratur Reetione proportionali. Nam si semidiameter feeetur proportionaliter, pars major est latus decanguli. Ad etsi quinquangulum praesupponit deeangulum, saeit id tamen longo ullo modo, quam in modo rejectis, et demonstratio est persectior. Nam geometra, dicens latus quinquanguli posse latus sexanguli et latus decanguli, loquitur sic per accidens. Non eonsiderantur enim hae duae lineae, quatenus constituunt figuras sex angulum et decangulum. Rectissime sic diceremus: latus quinquanguli potest semidiametrum et ejus proportionaliter sectae Partem majorem. Rursum ex his perlaetiores, quarum latera sunt λογικα. h. e. δυνaμει manentque 3, 4, 6. Nam decangulum et omnia reiecta latera eum subtendentibus ungulorum sunt inoret, eum eorum quadrata non sint ρητα. Latus tamen quinquanguli tum subtendente angulum fit quodammodo δυναι Mρητον et εie λογιμον, at non seorsim. Nam si eorum quadrata jungantur,
fiunt ad quadraium diametri ut 5 ad 4.
Denique ex λη- ις persectiores sunt actu estque unum sexangulum. Nam triangulum, quadrangulum non sunt ρ τα aetu. Diameter vero ipsa
sibi aequali K est, perinde et θητη et λογικη et ἀποδεικτμη etc., utpote Peridentitatem est sensilis sine demonstratione. Habemus omnes planorum regularium, quae omnia etiam de subtendentibus angulis sunt intelligenda. Nam in triangulo latus ipsum gub- tendit angulum, In quadrangulo diameter, in quinqliangulo latus stellae quinquungularis, in sexangulo latus trigoni, in octangulo latus quadrati, in derangulo latus stellae decangularis: quae recipiunt easdem demonstrationes eum lateribus. Nam subtendens aequat longitudine semidiametrum ejusque partem majorem proportionaliter sectae r sic igitur minore parte proportionali aequat suum latus, sicut εtella quinquangularis majore parte proportionali aequat suum latus; doeeteris per se Patet. Jam et hoc probabile est, quemadmodum 5 eorpora non dant ipsa formam coelis, sed ex magnitudine.orbis inseripti ad circumscriptum orta esteoelorum quantitas: sic ne plana quidem ipsa per se considerata largiri motibus quaesitos λοπυς, εed comparati aὸ circulum, sicut solida ad sphaericum, ut h0e sit λογος, si pars aliqua circuli per latus resecta ad circulum totum comparetur. Hoc si faciamus. in sguris et subtensis modo inventis, post rejeetam
insultatem, talia seni nomina proportionum: I, sin circulo enim non diviso
34쪽
punctum est Ioeo lineae, et quamvis omnis relatio consistat inter duo, et revius vero non divisus sit unum aliquid, tamen divina quaedam relatio statui potest ejusdem ad se ipsum, unde fluit omnis relatio . A, 'A',, 34 4,ri V. 'A, Viis Itis, Vi. V.. Et si addas Oetangulum . Meedent ru ' , I. v. Porro nondum sumeti ad κοσimmιητικους λοrovo venire eos ex figuris demonstrabilibus, si eae eum ei reulo comparentur, sed neccesse est etiam, ut sint quodammodo ad similitudinem 5 corporum solidi, aut si eut illie tres ad minimum plani constituunt solidum, sic tres hic quoque λογοι demonstrabiles per unam divisionem circuli tonstituantur. Ut in circulo, cui quinquangulum est hascriptum, si is per subtensam angulo dividatur, eadet in partes 2, 3. Hie sunt όροι tres 2, 3, 5. Quare sunt et λοπι tres 2 ad 3, 2 ad 5, 3 ad 5. Hi λογοι tres si sint γε ιετρικοι αποδεικτικοι, tune ex omnibus tribus tonstituitur Vme solidus. Sin autem non aeque in aliqua figura non esset demonstrabilis habitudo mutua partium 2 et 3, tunc λογος eMet αναρμοπιος et dissolutus, non solidus. Ut in 'ii. Iii, ei reuius I 0 per subtensam angulo deeanguli in 3 et 7 dividitur. Hic quia subtensa demonstrabilis est, ideo et 1orne simplex 3 ad 10 est inter electos. At quia 3 ad 7 non est λnme demonstrabilis in alia aliqua figura septangulum enim est αγεωμετρητον), ideo alter torne hic est inter rejectos, adeoque et inteὲ rejectos, et totus in suis tribus terminis est strusi frene et dissolutus. Hoc modo instituta divisio circuli si quodammodo similis divinae illi sectioni lineae Fecundum extremam et mediam rationem, ut eum tota AC sic Meatur in B,
ut sie sit AC ad AB partem,' ut est ΑΒ pars ad BC minorem partem. Di mimine totus Simile quid, inquam, hie est, quia circulus jubetur sie diuidi
ut qualis est λors inter totum et pariem majorem' demonstrabilis nempe ,. talis sitidem demonstrabilis, non idem sit inter parthm majorem et minorem. Ex hae optima ratione vide, qualis λnmν solidorum existat propagatio ex λomaequalitatis. Nam quia eirculus I ad I ad se ipsum comparatur demonstrabiliter vel γ si,uετρικωρ nam principium est omnis demonstrationis sumendum, non demonstrandum , ideo etiam duae eirculi medietates similiter ad se invicem comparantur, quae quia diametro subtenduntur, quae sibi ipsi aequalis est et sie linea γεωμετρis , ideo possunt hae partes I, I etiam ad totum eomparari. Et quia in hoe irim I pars ad 2 totum comparatur, poterit igitur et pars ei reuli I ad pariem 2 comparari. ut idem sit λoroe cireulusque habeat partes 3. Cumque duae terilao circuli subtendantur latere triangulari demonstrabili, poterit i itur et pars 2 eum toto 3 eomparari. Si 2 pars ad 3 totum, quare etiam si circulus habeat partes 5, poterit idem λoroe esse inter 2 partem minorem et 3 majorem. Cumque duae quintae cireuli subtendantur linea γε Dii τρικι demonstrabili, erit itaque et hic bonus λογος, . si 2 pars minor ad 5 totum comparetur. Cur ergo in V, subsistitur 2 Primum quia 2 pars ad 5 totum esset quidem eadem ratio 2 partis ad 5 partem, et tune totus circulus haberet partes T. Vetum quia subtendens ' non est demonstrabilis, ideo jam non potest comparari 2 pars aut 5 pars ad 7 totum. Itaque 'l, , oroe est αναρμωτος. Sic sunt . N, M, M. V., ri, Λ λογοι steriles, quia non gignuni nisi ἄναρ ιοΘmu
ii, ni, vii. Haec igitur illa est causa, tur non plures octo λ ιπις sint in musica aut in ulla ratione motuum perfecte eoneordantium. Sed tentemus et brevem definitionem; λοροι στερεοι rei ν οἰ
35쪽
Epistolas Replari alior quo mutnae
Jam adeamus musi eam et vide mihi rem mirabilem, geometria dignam: quod in goometria est demonstrare, id est in voeibus tin motu scilicet; eo
sonare; sanρ quia demoustrare est aequare, mensum reperta, aequa autem αριιοττει invicem. Et singuli quidem λογοι mirabile sere quid habent. Aoroe aequalitatis in geometria petitur, non demonstratur. In mustea quoque non plus petiero, quam ut auris discentis duudicet consonantiam voeum et uolaonum, tetera aurem ego docebo. At non pio veteres. Plura enim ab auribu3 petiere, atque utinam ea recte. Λογος 'tu est quodammodo identicus, duas p neseirculi aequantur, eonsistit in numeris integris. Et din quoque est vox identica quodammodo, quod probe ineuleat Aristoteles. Et in mustea quoque ad octavam omnes consonantiae collineant, minusque varietatis est in bae quam in ceteris. Primam etiam veteres Gnsiqerarunt, primam invenerunt eum sua dimensiona. Est vero et l. in paribus ei totis numeris, ideoque huie sunt duae octavae. Post est λυ A, hine est octava eum quinta, iterum
suavis, quia proportio est in integris numeris. Hujus duplus, 'lis, in quinta supra duas Oetavas. Multum jucunditatis babet dit onus supra duas octavas, quia jam ejus proportio 'si integris quidem tenuis est, sed impari et
quinario. Aeeedamus ad superparticulares, Nam ex est quintagano quam jueunda, quia triangulum est p.rfecte demonstrabita. Ex μετέ-ν l. est quarta rvrsim perlaeta, quia quadrangulum perieetd est demonstrabile, sed minus tamen jucunda, quia hie λnmo est sterilis. Sequitur proportio sterilis sesquiquinta V., unde tertia mollis nomine et re su vis est et struabilis, et fracta et simplex, et prima aut minima consonantiarum, sicut et demonstratio sexanguli simplex peilectaque est, ipsumque latus ad diametrum. Ultima superparticularium est aesquiquarta cujus demonstratio cum ex principio alio fluat quam Glerae sitque latus quiliquantali αλογον, reetissime tertiam duram dixere, quia inde venit consonantia. sequuntur postremo Ioeo multiplices superparticulares et superpartientes quatuor. Nam saeli ditonum supra octavam, quae minus et habet jueunditatis quam supra 'L, ditonus supra duas Oetavas. At V, superpartiens iacit saxtam duram, quia eademesi subten ae angulo demonstratio, quae lateris in quinquangulo. Omnium vilissimas sunt duae ultimae, nempe multiplex superbipartiens tertias L, quae quartam facit supra octavam, et suportripartiena quintas 'ia, quae sextam mollem dat, sono pene evaneseente. Propterea Meleetae fere suerunt a veteribus. Nam imperseeta est demonstratio subtensae tribus Oetavis Oireuli. Sed non tam ad simplices respieiendum est harmonias, quam ad triplicem trium indivisione terminorum concentum. Nam quarta cum octava quod auavitatis
aliquid habet, id est propter cognationem eum quarta simplici, e clua l. dimidium ML At si consonent 3, 5, 8, absurda fit et vix tolerabilis consonantia,
quia sequuntur invicem duae sextae. Et tamen eat eo onantia.
Hie respondebo ad tuas objeetiones, jubes I ut ex sensu probem has, non plures consonantias, 2ὶ ut diem, cur omittam ri sues octavas , i. tu tuor octavas) ete. 3 cur jam non tantum 8, sed 14 ponam consonantias
Mirari possis, nam octo solas vel septem potius prius dixeram. Omnium eadem est reaponsio. Scio sensum Plures sacere octavas, plures concordantias
inter duas solas ctordas. Ego vhro illas commendo praecipuφ, quaa sunt
36쪽
plenae ut antea solidi et triplices, eum una chorda sic dividitur, ut
non tantum partes inter se, sed etiam eum tota consonenti Harum divisionum
o non reperiri ab auribus plures T. Nam sex illae additae sunt in geometria nihil aliud, quam para minor totius. Propterea sic illos scribo U, intelligat aliquis v. ,. -Quod autem inter chordas I et Is nihilominus est
consonantia, etsi i. non est inter meos , omis, id nihil me turbat. Nam I et I 6 eonsonat estque eonsonantia innplex, quemadmodum et 16-anguli latus est demonstrabile; demonstratio facit, ut eonsoneti Sed ego in mustea quaero eonsonantias plenas ex λοπις solidis, non quaero quaseu que. Hic vero Lime non egi solidus, eonsonantia non plena. Nam etsi 1 eum Is sonat 8 octavas, item I eum residuis 15 quia 15-angulus demonstraturὶ sonat ditonum supra sex octavas, tamen in tertio defieit, quia 15 eum Iss non eonsonat. Causa, eur non sit solidus χορος, habetur ex superioribus Si enim 'li. talis esset λογω, qui concurrere posset ad solidum λο-ν. oporteret
et talem raso li, , ex quo hie flueretis At demonstratur quidem, sed non est dissonus in solidum 1orori Fluit enim ex 'lia, et hie ex G, penitus
indemonstrabili. Sie series littemimpitur priusquam veniatur ad λοπον aequalitatis. Omnes vero solidi resolvuntur retroe do sine interruptione demonstrabilium in 1oros aequalitatis. Propterea etiam natura voeibus humanis terminos constituit. remotissimos, quintam Rupra octavas duas, intra quas voces motetae commodissime manere possunt: quia nempe ex hae solidorum ληων investigatione non oritur vox inlota Pergamus ulterius. Ex constitutione I harmoniarum in ima chorda earumque harmoniarum comparatione mus reddi potest intervallorum, quae natura docuit homines observare inter emendum, eum itur immediate a tono in tonum. Sunt autem eorum elementorum causa quantitatis quinque: tonus major, tonus minor, gemitonium squod in tono majore etiam apotome dicitur, lemma et diesis. Nam ex comparatione perlaetorum eoneentuum oriuntur toniet gemitonium. per quorum terminos in canendo immediate transcurritur ex imperfectorum comparatione, sicut elementa minora, diesis et λεψηtir, per quorum terminos eanendu immediate non turritur, ut non solemus a b per hascendere. Ecce tabellam:
Natura tonum minorem divisit in semitonium et διεσιν; eum itaque tonus major multo magis indigeret semitontia, ars naturam imitata, immo natura ipea docuit etiam a tono patiore justum semitonium ἀποτιννειν. id quod λειπεται majus sit diesi, minus semitonio. Est igitur ἀποτομη aequalis
Ex hoo impleri possunt spatia omnia etiamnum vacuR: possunt enumerari elementa harmoniarum. Nam tertia mollis constat tono majore et semitonio; tertia dura eonstat tono mclore et minore, superat igitur mollem δασει; quarta habet tonum intiorem, minorem et gemitonium; quinta habet duos in ores,
minorem et semitonium; erata miliis duod muores, duo Femitonio et minorem,
Numeri sie intelligantur. Quando chorda ad ehordam est ut 25 ad δ4, tune inter eas est διεσις in
sono. Nam hae voces non ehordarum nomina fiunt, sed relationum inter ehortarum sonos, quae intervalla dieuntur.
37쪽
ΕplatoIM Kepleri aliorumque mutuae .st a Uuos majores, totidem mInores et semitonium; oetava tres muse hi duos minores et duo semitonia, quae magis ita die tur quam sunt, non datur enim dimidia toni pars. Sunt autem quaedam salsae concordantiae, quae in Mormas cantionum, quas hodie tonos appellant, varietatem inser L Ut intera, f et a, e minus est quam tertia mollis. sunt enim tonus minor et geml-tonium. Inter s a plus est quam tertia dura, interemit enim duo toni majores. Sie ab A me, a b in f est minus quinta, sunt enim toni minores duo, major unus et gemitonium. Et vieissim ab e in a. ab f in b est plus qnam justa quarta, sunt enim 2 toni inclores et gemitonium. Disserentiam antiqua voce κομμα dicere possum estque id, quo tonus major . superat minorem, aut λειμμα διεφλ Quantitas illi Voces antiquas adhibui negotio, ut puto, novo. Itaque ne saltaris, saepe aliud illis est διεω, κομιια. Ego quantum adhue possum prospieere, videor universam antiquitatem erroris arguere posse et causas etiam errorum ad oeulum demonstrare. Solus quidem cardanus desnit quantitat sed omittit Ri, nee sibi constati Itaque nescio an vere Ptolemaeus, ut ille serti auctor sit harum certissimarum dimensionum. Mihi ejus Musicon videre nondum contigit certissimum est. suavitatem veteris mugieae ex aurium judicio pependisse, nam veterum speculationes salsae sunt ex magna parte, solum Ptolemaeum in dubio habeo. Ex hae vero mea ratione tendi omnes chordae possunt exactissime per ἐταμ ν aurium ad uni sonum. Nam spatium super quo chorda directoria tenditur, dividatur in 2160, adseriptis numeris, et sonet tota G. Indicabo igitur. ubi numerorum supponendum sit homi spli aerium s Salles) pro eli-elendis Eonis 12 chordarum usque ad octavam.
Tabella sie est intellistenda: si s dividitur in 2160 aequalia, tunc harum . partieularum 1152 sonant D sfis . At brevius: si G dividitur in Ib. tune 8 harum portionum sonant D. Sic itaque
omnes Voces ad imam comparatae. Proximae vero
Vides, ex quibus landamentis ad quam persecti'nem demonstrationum veniatur. Jam vide et rationes veterum ex Platonis Tisaeo, quem omnes imitati sunt, ut de solo .Ptolemaeo mihi non constet. Rerum pilaespla, inquit Plato, tria sunt: IJ Οὐσια, composita exauερψτου et μεDinne φ-i , 2ὶ Idem, 3 Alterum. Cum ergo ternarius principia complectatur rerum, erit et fundamentitan musices, et alias divinus est, cum in omnibus tria sint: principium, medium, sinis. Jam res non sunt superficies aut lineae, sed corpora. Oportet ergo elementa lamini corporari, sive golidari, h. e. euhice multiplieari ut Io IΠine existit series numerorum I, 2, 3, 4, 8, 9, 27, quos inter 3 4 somnes ordine Ioel perlaeti sunt, eongruenter rebus musteis, ut ὲ, i s Ui h l, eed ὁ est h. bine ἴ et sive ἀ, quibus intervalla musica haec competi sensus judieat: octava, quinta, quarta. iterum octava, tonus, quinta supra oetavam. Ceterum cum duo λογοι integrorum numerorum intersint,se. ὲ et oportet eos impleri medietatibus. Debent autem duae medietates interponi, non una; ratio haee, quia in geometria solidorum alias quoque duae . mediae proportioniaes statuendae sunt inter duas extremas, fleui in geometria2160 sbrevius
38쪽
planorim Inter duas extremas una saltem. Nam sie climi geometrae: cum fuerint tres lineae in proportione, ut est prima ad tertiam, sic quadratum primae ad quadratum secundae. Contra: eum fuerint primae ad eubum se eundae. Interponantur igitur inter terminos 1 et 2, item inter terminos 1 et a binae medietates, sed numeris essabiles non proportionales. Una fiet arithmetiea, dividens spatium inter I, 2 in duo aequalia, altera geometriea, dividens spatium inter 1, 2 in duo similia terminis suis.
Ut si , vel a sumantur in majoribus numeris .e,r Inter si et 12 spatium est 6, dimidium ejus 3 addatur ad 6 vel dematur a 12, siet 9 medietas arithmetiea. Idem spatium 6 ita dividatur, ut sie habeat minor pars ad 6 terminum minorem, ut narior habet ad I 2 terminum majorem; ergo in 4 et 2. Nam 4 est in I 2 ter, et 2 est in si ter et ut 6 ad 12, sie 2 ad 4. Adde 2 ad sex, vel deme 4 a I 2, utrinque prodibit 8: medietas geometrio. Sie inter 9 et 27 eadunt 13l et 18, hae serie: 9, 13ή. 18, 27, vel 18, 27, 36 b4, ubi ψῆ et let vel I est quinta et ilὶ vel l quarta. Sic igitur sunt in ordine numeri 6,
8, 9, 12. vel l est quarta. ut et sed i et vel I. est quinta.
At ὁ est tonus. Uueusque nihil errarunt in numeris, de demonstrationis vinon disputo. Jam eum duae medietates in dupla proportione secum invicem eo itintuerent ἴ essetque inter illarum harmonias tonus, quod aures judicabant,
putarunt, omnes tonos esse aequales et harmonias ceteras Imperfectas componi
ex his tonis. Desuit ipsis hoc, quod ex suis principiis non potuerunt similiter
investigare quatuor reliquas harmonias imperfectas. cumque non putarent, consulendam esse super his geometriam, ignorarunt itaque quantitates intem
vallorum in harmoniis ceteris, ideoque voluerunt illas ex tonis persectis ejusque partibus componere. Atque hoc est, quod musicam secerunt subalternam arithmeticae, non geometriae. Sie igitur cum eonstruerent ex G in A et hine in h. duos tonos majores t minorem enim neseierunt), restabat ipsis ad eintervallum h, e minus adhue, quam est b, h. scilicet λειμμα quod ipsi dixerunt semitonium. At eum insuavis sit transitus immediatus per b, h et abhorreat a natura, multo igitur insuavior fuit transitus per ipsorum e. Et omnino mihi persuadeo, genus chromatieum totum pependisse ab hae exilitate salso dieii semitonii. Cum enim ex e In h et A talis sere suerit eorum descensus, qualis esset penes nos ex h per b in sabsurdus nempe,
quia nimis praeruptus, ubi intervalla parrea et magna sine mediocri eohaerent). ideo ut moderentur his incommodis, omnes Haves impleverunt diesibus, adeo ut avium potius quam hominum tantus imitati sint. Hine etiam est, ut puto, quod genus diatonteum rustieitatis accusarunt et insuavius putarunt. Etenim si chordas secundum suas speeulationes et non ad judicium aurium examinarunt, fieri non potest, quin transcursus per tonos aequales tres ordine ab f ih g, a. M absurdus et insuavis sit. At harmonicum genus ex omnibus probarunt. qualiter hodie bucet natores canun . equites ad iter voeantes: nempe harmoniae perseetae ipsis erant cognitae. Quao eum ita sint, vehementer miror Ursum et antea quoque mirabar, quam haec sciremὶ, qui veterum musicam putat Ionge nobiliorem fuisse nostra. Credo gratiam habuisse suam votis humanae unius accommodationem ad lΠam, quae hodie voluptatis eausa passim ro eatur : sed unius simplieis vocis modulationem suaviorem esse quatuor vocibus in varietate identitatem tuentibus, nunquam eredidero 'At nuspiam legimus, ectinissa illos diversis vocibus in unum. Imo aperte testatur Aristoteles, quatuor proportionales, ut est prima ad quartam. si e eubus
39쪽
Epistolae Kepleri aliorumqua mutnae nihil hujus in usu fuisse praeterquam oetavam, ut eum pueri et viri eandem melodiam eanum, illi acuta hi gravi voce. Dum haec scribo, incidit mihi ἀκες αλον τι ακροαμα, reprehengos esse Pythagoraeos a nescio quo. quod neglecto aurium judicio solis numeris iii-dulserint. An id sorte Ptolemaeus dieit An est hoc judicium praetici alterius ex antiquitate musici. quaerentis de salsis ipsorum speculationibus 2 Certe idem ego sentio. Hactenus quidem instar torrentis omnia omnibus miscui, cum omnia simul Oeeurrerent. Dabis hane inelegantiam atque inde manantem obseuritatem genio meo et properationi. Epistolas enim transeribere ideo mihi difficile est, quia id hucusquo imperaro mihi non potui. Ita vero quilibet vivere optat, uti assuefactus est. Jam prineipali negotio expedito brevites ad aliquot epistolao tuae capita respondeo. Harmonico planetarum motui objicis discrepantiam niunerorum a Copernicanis. Causam eam jam pridem egi capitibus aliquot libelli mel Prodromi), puto l8, Is, ad quae brevitatis causa provoco. Jam et auctoritate me defendam. Etenim eum ii numeri, qui sunt in libello meo cap. 20, 21
ex motibus extructi, longius adhuc recederent a copemico, noluerunt tamen artisees theorema meum rejicere, sperantes, fore ut concilietur. Jam eum habeam numeros multo propiores, multo etiam majorem spem conet pio de concordia cum astronomicis observationibus sancienda. Deinde suspeetum habes quidquid a priori ex suspicione potius accipitur, quam demonstratur. Primum opinor, εupra propositionibus aliquot si non adamantinam, at tamen certo proponi demonstrationem, quae cum eareat adversario argumento, per se stati Deinde non omnis suspieio salsa est. Nam
homo est inlaeto conditoris fierique potest, ut in quibusdam rebus ud ornatum mundi laetentibus homini idem videatur, quod Deo. Nam mundus participat quantitate, et mens hominis res supramundana in mundo nihil rectius intelligii, quam ipsas quantitates, quibus percipiendis satius videri potest. Sed et bie mihi suppetit auctoritatem ex Timaeo, ubi aestimatur, motus e lorumeertis λογοις administrari. Logos musicales septem sensu deprendi jani probavi, sive potius monui; et si addas verborum geometricam dilucidationem, probavi rationibus eertissimis. Hie quoque provoco ad eaput 10. libelli mei. In margine videris gentire, edueere me septem harmonias ex septem intervallis unius din 'ti σων. unde illa octava dicitur. ut, G. A, b, e, d, e, f, st; minime; sed intervalla educo ex harmoniis idque naturaliter. Et sunt quaedam intervalla. non plura septem, si quis ab ima ad summam incedat emendo per omnia media: sed propter variationem eantus duri et mollis intervalla fiunt duodestim. termini tredecim. totidem quot in elavichordio claves nigrae et albae, sed per quos non omnes una vim iri eanendo potest ex ordine. Sed utut habeat, nihil inde sane
Quaeris, si recenseam octavam, cur non et quadruplam 3 omnino et quadriplam adhibeo propter ejus sociam sesquitertiam. ut supra dixL Sie et triplam admigi semper, propter sociam sesquialteram quae duae sociae semper junctim constituunt tres ὁθ-: λογου solidi . tuos harmunias harmoniae plenae.,At octuplam et sedecuplam ideo non admitto, quia non habent sotius insta octavam. ut in barmonia plena. Uni sonum vero admitt6: sed interdum non recenseo, quia mihi de dei nonstrandis sermo est. Hic vero aequalitatis logos non demonstratur, sed sumitur et sensui patet. Cur autem in δια πασα νdestuat numerus harino uiarum, causa haee est, quia desumuntur ex sectione
40쪽
ehordae unius. Cum itaque sectio illa est in altero extremo R, C shoe est, eum fides integra est , tunc est ejusdem ad se ipsum logos aequalitatis,
reserens unis um. At cum est sectio in B medietate, portiones sunt aequales. Ab hoe puncto B in utram velis partem feetio ambulet, semper altera portio minor erit medietate, ultera major. Sie itaque semper ex tribus in plena simplicibus harmoniis una est infra octavam, una extra et supra.
Quod Philo et Ptolemaeus quartam dicunt promam, Boethius minimam, id vel ideo fit, quia de persectis loquuntur, vel quia errarunt In adstractione tonorum. Verum enim est, duos magnos tonos i non sacere tertiam, sed plus.'Sed video, tibi Ptolemaeae musices esse eopiam. Quodsi liber non est
magnus et onerosus nuntio, eum videre cupio.
Aurium judietum duplex est, generale de qualibuscunque harmoniis et speciale cum voluptate de suavibus harmoniis. At plus distat usurima impersecta et insuavis ab rex μκαω eoncinnatione vocum, quam ut orat imperfecta a perlaeta et suavi. Voces enim non coeuntes laedunt aures. Et memineris,
me loqui non de praeticis harmoniiI quae varie disputanturὶ sed de theoreticis. Porro sextas nil dulatus sonare quam septimam, id contra sensum et demonstrationem est, ut si di eas, inter aegrum et mortuum nihil interesse. Aspeetuum efficaciae fidem prima eoneiliat experientia, quae adeo clara ess, ut eam non possit negare, nisi qui αυront e non fuit. Sed distinguo inter agere, sortiter agere et aliter agere. In qualitate actionis magna varietas
est, pro habitudine subjeeti, in quantitate et veritate magna certitudo. Quaeso, fortuitumne est, quod Aprili toto insolita suit Eleetias, Sol rubeus, calor Oeculta pollentior virtute omnia corrumpente, quam externa speeie γ Nonne quadratura fuit Saturni et Jovis diuturna 2 Et quid est, quod circa sestum Jaeobi tota sere Styria dysenteriam sensit ereberrimam 2 Quia nempe materias jam dispositae supervenerunt, primo quintilis Saturni et Jovis, inde triangulus Saturni et Martis. Cum autem aspectus sit schesis, schesis vero relatio ei relationum landamentum quantitatum excessus, jure igitur etiam in aspectibus Id natura habebit pro seximio, quod in λογος geometricis. Hactenus pugnandum mihi fuit, jam erunt etiam Gielenda, quae affers, auxilia. Jam tibi λογοι geometrici sederunt opinionem de oeculia praestantia
septenarii suspiearisque de eodem planetarum numero. Ego vero ex mystica numerorum nihil probare volo, nee puto posse. Εx geometricarum rerum aptitudino de corporibus disputo. Et si quaeris numerum planetarum, quare hie sit, non alius, eum ego videor in libello meo persectissime demon-Strasse, ut nemo ambigat, qui non ambigit Solem stare, Terram moveri. Defixis vero aliud dicere non possum, quam dixeram eap. 3. libelli mei. Forsan enim tanta nobis adhuc copia superest Archimedeorum et secundariorum cor porum, ut numeri rationem inire inde possint, si prius numeratae actu iuerinti At quamdiu το υτι, latet, το διυτι ridicule quaerimus.
Quae, malum, Fors adversa premit, ut promtitudina tua in juvandis meis studiis uti nequeam. Scribis, te mittere exemplar Tychonis Epistolarum. At Ioeo libri reserato tegumento aeripio Clavii Theodosium es triangula, Cra Lacedaemonem, mores pentium Damasceni et Heraclidem Ponti eum; diu deliberavi, an statim remitterem, videbaris hoe libello sinuum, tangentium, secantium incommode orere. At contra, eur stiastra paterer oneratum esse tabellarium, quin potius evolverem librum non antea visum 7 occasiones
remittendi crebrae. Itaque Hest sententia, ut reiInerem librum interea, dum redit nuntius. Id si molestum tibi est, ignoseo ignaro.