장음표시 사용
41쪽
Epistolae Kepleri aliorumque mutuae In fine literarum ponis tres parietes una fidelia dealbandi. Laudabilis et philosophieus plano conatus ex paueis principiis multa probandi Platonique maxime probatus. Sed deficit is in tertio. Verum quidem est,upogaeitatem et anomaliam illam Lunae ab eodem pendere principio: sed elevatio poli non hue quadrat. Ibi enim non disputatur, quam prope Terra
accedat ad septentrionem ut tu vis perpendi, in O quanto sit propior polo
quam in sed quantum inclinetur medius Terrae circulus ad Eodiacum Summa: quaestio est geographi ea, non astronomica, quantum hactenus astronomia quaestionum est amplexa. Nullum enim inseri apparentiis ipsis in eoelo varietatem mutatio coeli, sed Terrae potius secundum diversas partes, quae nomen habent historicum, ut Asia, Graecia, Rhodiis. Alias utcunque mutetur polus, semper eadem numero manent climata, quamvis non per easdem
urbes transeuntia. Vale vir Magnisce et doctissime, et hoc quidquid est, boni consule. 14. Septi anno 99. Mun. Tuae deditissimus o M. I. Kepler, Styriae ordinum Mathematicus.
Kepleri epistolam silentio transeunt, pavea reserentes de Trebonis Lunae theoria toteli ve . hin in xuriem dero egre einen gedruexten Treetat tu bevommen, so teli dem Iseon Isdannaueh eommuniesron .ill et da Tyelionis mota in Bohemia sisA D. Hehous Bralis nihil ampliuΑ literarum Meret, ratio est,' quia ob inolescentem pestem discedendum ei suit a Venetiis it nati J illis heruleis, ita enim voeatur Ioeus, quem Imperator et pro residentia deputaverat). Kepleres vero redit ad ollar montani suam in literis d. d. 14. Dee. 1b G i, praemissis paucis da libria ab Hemario ipsi loeo Tychonis epistolarum transmissis
eis. II. 8lb): Ego etsi hoe perieulosissimo statu valde perturbor, adornavi tamendam methodum et prima lineamenta libelli, eui titulum saeiam . de Harmonice mundi η dissertatio cosmographica. Libelli, seu eapita erunt quinque: lὶ de Muris demonstrabilibus, geometricus. 2 De rationibus solidis arithmeticus.
3) De causis harmoniarum - musicus. 4 De causis pectuum - astrologicus. 5ὶ De eausis motuum periodicorum - astronomicus. Itaque etiamnum
moneo de Ptolemaei Musicis, an iis juvari possim. Mitto hic et Prognosticum, cujus praelationem Ieges et censebis. Vale Vir Magnisee meque tibi eommendatum habe. Ma . et Nobilitatis tuae deditissimus M. Mann. Keplamis.
Ad Ptolemaei semusteam , o qua plurimum auxilli petenduin sibi esse exspectabat ad perstetendam suam ipsius Barmoniam, redit Keploma in litaris ad Hormarium datis Graetild. 12. Juli1 1600, quaa exhibuimus vol. III. p. 23 M., ubi itidem refert qtiaodam de har monil uis, quas tum temporis magis animo versabat quam theoriam Martis. Librum diu frustra quaesitum mutuum aecepit, o bibliothaea Monaehiensi desumtum ab Demario tela. III. in .mno per aliquot annos Meupatus studiis mero xstronomleis omisit Replerus harmoniam, ad quam anno demum 1607 rediit, motus his Heruarii verbis: sidia Harmonica Ptolem et, solatein seti aus gangen asyn sollea, hab leti nil hehommen udnnen. Wolt pie gern heu, M.ta auct Commentarium Porphyri l. Am Ilebsten aber hal leti gem Wissonsehast voti eluem authoro, der es famulariter et methodlea atque perspieus tracti rei, da Uderet deriteleben ussgangen. Keplerus ad marginem hvius ep tolae ld. 16. Jan. 1607ὶ haeo adseripsit:
Tu ipso mihi latina Ptolemaei Harmonica ex hibliothem Bavario transmisisti. Multus est in distinetione generum chromatici, diatonici, enharmonii inque differentiis tonorum, ut puto Is. Seripserunt de Harmoniis Jae. Faber Stapulentis et Jomandus et Boethus aliquα Nostra aetate S. Calvisius, eantor Lipsiensis, Italus xliquis in dialogis.
In respouslono Kepleri, eQufi partem Proposuimus voI. m. p. 454, haeo leguntur:
De Harmonicis valde miror literas Mam. Tuae et nescio quid mihi videatur corviciendum, quod ais, Cl. Ptolemaei Hannonica nunquam te nancisci
42쪽
potuisse, ut nec Porphyrii. Mee Tu ipse mihi librum ante multos annos transmisisti, sunt autem Aristoxenis Harmonicorum elementorum libri tres, Ptolemaei Harmonieorum Ithri 3, Aristotelis de audibilibus et Porphyrii dede eem Praedi ea mentis, Antonio Gogavino Graviensi interprete. De Posephyrio non memini Harmonicum quid exstare. Sunt et Euclidis et Ptolemaei Harmonica manuscripta Graece in bibliotheca Conradi Dasypodii, ani e tres annos mortui, serunturque venales iisse illius libri in forum scrutarium. Dedi negotium amicis Argentinum prosectis, ut de iis me certiorem reddant, verum responsi nihil aecipio. Equidem sine Graeeo exemplari despero Aristoxenia et Ptolemaei mentem ex Gogavini interpretamento pereipere undiquaque. Si M. T. mihi prospexerit de Graecis trium dictorum auctorum exemplaribus, praesertim Ptolemaei, qui editus esse perhibetur in Italia, puto Urbini aut Vincentiae aut Florentiae, et e rius Gogavinus aliquot exemplaria habuit ex bibliotheca Vatieanar polliceoru Deo permittente, commentaria in eum
Scripserunt de Harmonicis Boethius et dornandus exque iis Jaeobus Faber Stapuleusis, quem habeo. Vidi et musicam, ut puto, Sethi Calvisii
cantoris Lipsiemis, qui veterum rationem tangit. Habeo et Ariusii Itali discursus.Italicos de imperiectione hodiernae musteae: sed nihil dum legi. Ha in ira mea quo loco Eint, scripsi ante aliquot annos. Cuperem, si Deo visum fuerit, prius absolvere astronomica. Mirabile, disposui ipsos, priusquam vidi Ptolemaeum, sere ad eundem modum, quo Ptolemaeus sua. Feci libros quinque, primum de figuris geometricis, unde harmonicae rationes oriuntur, secundum de rationibus seu numeris harmonicis, tertium de harmonia in Vocibus, quartum de harmonia in aspectibus, quintum de harmonia in motibus coelestibus. Ecce nunc Ptolemaeum. Primum is constituit concordantias, deinde genera res hodie pene ignota, et ni salior naturae non con-80na, ut tria Ei ut genera: diatonicum, chromaticum et enhannonium , tertio
tonos. Inde eomparat harmonica cum coelestibus, ordinem vocum eum motu stellarum in longum, genera eum motu earum recentrico in altum et Pr sui dum, t0nos cum motu earum in latum, tetrachorda cum aspectibus ad Solem: ut ego concordantias eum aspectibus planetarum mutuis. Accipe hic compeudium harmoni eorum meorum, quatenus harmonia consideratur in vocibus. Quatuor sunt partes. Prima ostendit originem, causas, quantitatem et numerum harmoniarum. Seeunda Originem, causas, . quantitatem et numerum intervallorum omnium, etiam non harmonicorum ineantu naturali, ut toni, semitonii et e. Tertia habet definitionem e ius naturalis ejusque varios modos seu disserentias, quos hodie 8'tonos dicimus. Quarta Ostendit eausas legum in compositione συι ιφωνιων Seu contra Punetorum. Haec pars jam incipit esse praeti ea, itaque a me persecte tradi non potest. Pars prima. Cum sonus sit a motu, motus vero fidit per lineam,
duorum ergo Sonorum ἀρμυττοντο ν seu congruentium, seu consonantium, seu concordantium, lineas a nobis considerari oportet, ut causas harmoniae inte mediae inter binos sonos inveniamus. Linea autem aut circularis est aut
recta. Recta partes habet innuitas, quarum aptitudo ad se mutuo intelligi nequit, nisi plana et eubos ad eas adsciscamus, quae gunt a motu alienaequantitates. circularis est una habetque partes a partibus plurimum disserentes. Nihil autem interest inter longitudinem circularem et rectam, quod tinnitum seu ε0num attinet, dummodo aequales Eint et utrinque tensae aequaliter.
43쪽
Epistolae Keplari 1 et qua mutiris etesimi Gram Eretivum durities tritumaei reetam vero Gordam, etiarat his ita dura siti Red flexibilis quaquaversum, tendit tapitum violenta diductio in
plagas oppositas. Sit ergo circulus aliquis aequabilissimus ex solido metalloitinniens, qui non tantum in uno signo firmatus thiniat, sed etiam si duobus
sui' figatur, divisus in portiones duas, tinniat pulsus ab utraque parte. Axio mala. I. Pars circuli brevior Glerius movetur a pulsa, qusa tensio aeriorem habet proportionem ad partem breviorem, quam ad longiorem.
Celerior autem motus sonum habet acutiorem. Brevis itaque pars acutum, longa gravem dat sonum, et partes aequales aequalem dant sonum. IL Pars eirculi aliquota, quae a dato circuli puncto incepta geometrimi veniri, demonstrari et constitui potest, consonat eum isto. Et partes vel hordae, quae sunt ad invicem ut totus circulus et qjus aliquota pars, stegeometrita demonstrabilis, similiter inter se consonant. m. vicissim pars eirculi aliquota, quae sit αγεωμετρητής, demonstratione earens suapte natum, dissonat a toto circulo. Et sic etiam qua unque Iongitudines sonorae m tali proportione ad se mutuo eonfltitutae. . Hare duo axiomata insinuant nobis admirabilem eausam harmoniarum rut quiequid in geometria congruit sita ete, congruat etiam in conereto, si materietur. Ita fiet, ut geometria sit archetypus mundi, quod etiam per figuras solidas, quinque corpora dictas, in conlamatione proportionis melorum demonstratiim est a me in meo Prodromo seu Mysterio Cosmographleo. Meum geometrica entia in mento subsistant, sunt igitur duo eoaetema. Arct typus igitur mundi aetemus et quae alia mirabiliai partim et paradoxa, inde exstrui possunt. Cumque infinitae sint partes ei uti demonstrabiles, tribus ordinibus surgentes: blaretione, tri Metione, quiuisectione, singulis per eontinuam hiseetionem in iusnitum ' abeuntibus, infinitae etiam sent eoneordantiae per octavas seu δι--σων propagatas; ut ratio hare sit tertissima. Una gola instantia assertur por qui derangulum seu parthm. cireuli decimam quintam quae litet geometrilae eonstituatur, non eonsonat tamen cum eirculo. Ad solvendam igitur hane objectionem eo ideretur modus demonstrationis et qillndecangitii eth telorum omnium. Apparebit quinimetionis, trigeellonis, bisectionis legos asse proprias, oujuslibet in suo ordine in infinitum, sin ut praeter hisectionem, omnibus trisus ordinibus communem, nihil exutaneum ingrediatur. Nam elaeulus in duo meatur ducta diametro A I per centrum. Et exindo omnis areus in duo secatur, ducta extentro revia in gubtensam perpendi lari. In sex Fero Reeatur circuluη applicata semidiametro AL ad eireumferentiam in A et B. Unde Et pars tertia et duodecima et 24' ete. propagatur. Sio elaevius in 10 secatur sie: quadretur semidi
meter AL, ut ejus quadratum sit AI, quod Meetur parallela MN sie, ut planum AN fiat aequale quadrato majoris partis ML vel NI, af si, quod sit IO. Id autem geometrice fieri potest, ut doctiar libro U. Euelim. Tune est AL tota ad in majus segmentum, ut LM ad MA residuum. Igitur in applieata ad circvinserentiam re indit partem deeimam ΑΚ. Et hae deme iras in quinta pare, ut et vicesima et reterae mitineae Ebinmunieanti Habemus inta parvum seu areaum horum subtensae mina ad Sametrum Mimulonex ,
44쪽
Quindemii ii vero demonstratio lonio est alia. Nam haec non per se illi obvenit, sed quasi per accidens. Scribitur enim Iatus trianguli AE partium 120, et subtensa duabus quintis AF, partium 144, ab eodem principio A. Disserentia EP est partium 24, quae est quindecima pars circuli. Vides misceri tri sectioilem et qui nisectionent. Itaque latus qii indecanguli habet aequationem cum diametro longiinime petitii M. Oportet euim trianguli aequi lateri sumere perpendicularem AR, si e trianguli quinquangularis A FP perpendicularem AS, eorumque disserentiam HS vel TU; rursum semilatus trianguli ERet semilatus quiliquanguli FS eoruuique differentiam ΕΤ. Ex potentia igitur
In marg. Cum ceterae parti S a primum dato puncto A inei te describi possint, quindecanguli latuου vel Meus minime potest. Scripto enim triangulo et illiinquangulo,areus quindecanguli per accidens ultro residiat et in partes circuli longe alias evadit Item Gisrarum partium reetae prius habentur quam arcus. Arcus enim ex recta. At quindecanguli recta subtensa habetur ex arcu et post eum. In summa: arcus tb fit 3 . b. Itaque quindecangulum non est sui. ipsius, sed partim trianguli, partim quinquanguli. Scitur, non quatenus ip=um est aliqua figura, sed quatenus est differentia duarum figurarum.
Ex hac unica objectione ejusque solutione patet, duo superiqra axiomuta paulo limitatius informanda, adjecta particula proprie, quae inter initia confusionem erat paritura, itaque omittere illam volui, praesertim cum unica haec sit objectio. In reteris omnibus valent oppositae voeus geometricum et Notandum vero est, geometricum esse hic lion tantum το θητον νιηκει Vel δυναμει, sed etiam ro αλογον ejusque ins nitas speetes ex libro X.
Euclidis propagandas. Contra, etsi quae sulit ea sunt etiam ι λογα, inmeu ἀλογα nisi in lato signifieatu diei non debuerunt. Nam plane nulla est 63ν αγεωμετρητων sui lateris septanguli, nonanguli, undecanguli, tre- decanguli) scientia, non tantum defeetu nostrae notitiae , sed etiam desectulpsius naturae rerum geometriearum. Et notandum, quod haec αγεωμετθhetia in solidum respuanor ab auribus, quindecima vero pars eireuli non in solidum, quia neque urMDuετεντος est,
sed geometri eam lieet impropriam et longissime petitam) deseriptionem habet.
Hoc autem probabo ex anticipato. Infra enim ostendetur, partem sedecimam cum toto constituere quatuor octavas, sive τετρακις δια πασων. Sed probabitur esse semitonium legitimum, et tu sunt quatuor oetavae. Ergo subtraetione idivulone)- facta, est intervallum τετρακις δια πασων minus uno semitonio. Porro tantum abest, ut discordantiam unius semitonii fugiant componlatae, ut potius, si harie ipsis diseordantiam eripias, omnem cantus gratiam, praesertim pathetici, erepturus sis. Ecce quam ae rate depicta sit haec res in quindecanguli demonstrationeaeeidentaria atque extraordinaria. Et haec ad explieationem II. et III. axiomatis.1 v. Axioma videtur a communi notitia aceersendum. Nondum enim videre potui, qui demonstrari possit: si totus eirculus in duo abeat segmenta invicem coneordantia, quorum unum eoncordat cum toto, reliquum etiam cum toto eo onabit: et si ergo totius segmenta eum toto singula coneordant, ipsa inter se concordent. Parce loquor, ut appareat: non dieo, quaeeunque duo eum tertio eoneo dant, inter se concordant: sed addo cautionem, ut ex tribus duo aequent te tium, nee tantum aequent, sed ut tertium ipsum constet ex duobus. Nam
aeque in aliis scientiis valet, ut in jure: Henrieus stater meus est, Sebaldus
45쪽
34 Epistolae Kepleri aliorumque mutture meus frater est, ergo Henrieus et Sebaldus inter se sunt fratres. pater enim Henrici Emestus ex uxore Waltruda genuit Henricum, quo mortuo uxor Wal- truda meo patri Friederico nupsit meque peperit. Qua mortua pater meust Κunigundam duxit, exque ea Sebaldum suscepit. Henricus igitur mihi fraterest, sed uterinus, Sebaldus frater, Red alia mater. Et sie Henrieus et Sebaldus inter se fratres non sunt. At si uterque germanus mihi frater sit, ex utroque parente, erunt et ipsi inter se fratres. Sie in musica G cum d consonat per quintam, et a cum d consonat per quintam, et tamen G ab a di sonat. Addita vero determinatione, ut longitudo chordae d et chordae ct eompositae aequent chordam G, tune necesse esset, et G eum a concordare. . . V. Ex hoe axiomate demonstratur et hoc alterum: si totus circulus in duo abeat segmenta, et ex tribus his duo discordent inter se, alterutrum eum a tertio discordare. Patet: Nam sit totum 8, partes 7 et 1, discordet 1 a T. Si ergo utrumque, et I et 7 concordaret cum 8, tunc per IV. praemissam ipsa etiam 1 et 7 inter se concordarent: quod est contrarium supposito. Ergo quemadmodum axiomate IV. duae 'eonsonantiae praesupponunt tertiam, si e hoe axiomate quinto una dissonantia praegupponit et alteram: ut una sola dissonantia stare non poMit. Ex his quinque axiomatibus propagantur propositiones de quibuscunque partibus circuli in infinitum, si placeret. Quarum hic exhibeo tabellam.
Portioni Braviori Longiori Partes
est ut 1 ad 33 b eousonabunt 4 4
1 8 eonsonabunt 2 7 dissonabunt 3 6
est ut 1 ad 24 b consonabunt 1 9 dissonabunt. 2.
est ut 1 ad 43 7 dissonabunt 4 6
46쪽
Portioni Portioni Braviori Longiori Braviori Longiori Partes Parras 1. 15. dissonabunt b. 11. dissonabunt 2. 14. lest ut 1 ad T 6. 10. est ut 3 ad b3. 13. dissonabunt T. 9. dissonabunt 4. 12. est ut 1 ad 3 8. 8. est ut 1 ad 1
Quae hactenus sunt dicta, ea praesens tabella compendio proponit. Unius enim ad unum proportio est harmonica. Exndem hie Κεplarus exhibet numerorum combinationem, quam supra p. 23. Compositi termini I et 1 emetunt 2, qui terminus in secundo complexu bis ponitur et jam iis comparatur, a quibus co
ponitur, se. eum I et I. Sic termini secundi complexus 1 et 2 compositi hi tertio eomplexu dant 3, bis positum, ut cum eo et 1 et 2 partes componentes eomparentur. Sic ex 2 et 3 inserius fit 5, eum quo 2 et 3 comparantur in quarto complexu. Ex 3 et 5 sit 8, quocum 3 et b eomparantur in quinto eomplexu. Atque hse quiescitur. Nam b et 8 dant 13, sie 3 et 8 idant II. Sie 2 et 5 dant 7, et 3 eum 4 dant etiam T, sie 4 cum b dant 9, et boum 6 faciunt II, et I cum 6 faciunt T. Omnes vero hi numeri I, 9, 11,
13 designant partes cireuli non demonstrabiles et plane armi πρ rori. Hi ne definitio eressior harmoniarum talis: tot sunt specie .concordantiarum intra octavam, quot sunt rationes harmonicae solidae. Est autem ratio hammonica triplex seu solida inter 2 numeros figurarum regularium in circulo demonstrabilium, quarum et disserentia disserentiarumque disserentiae usque in unitatem sunt numeri consimiles. Ut . ratio est harmonio solida inter 8 et 5. Nam 8 est numerus octogoni . et latus octogonicum est demonstrabile, ale etiam 5 et disserentia 3 et disserentia inter 3 et 5, se. 2, et difforentia inter 2 et 3, se. I. At inter 1 et Is non est ratio harmonica solida. Etsi Inotat ipsum circulum et I 6 sedecangulum demonstrabile est, etsi etiam di serentia Ib eone atur esse figurae demonstrabilis; nam Ib - I m I 4, in- demonstrabile. Itaque haec figura quindeeangulum refertur inter b satuas vi gines. Venit enim gero, postquam jam januae omnes per numeros b, 7, 9, II, 13 occlusae sunt. Deest nimirum illi proportioni continuatio eum Pr portione aequalitatis. Est quidem inter I et 16 ratio harmoni ea, sed si plex, quae nullam ideo novam speciem harmoniae eonstituit, sed resolvitur in antepositas. Cum ergo summa rationum harmonicarum solidarum septena- .rio concludatur, nee possit ultra extendi, obstantibus ageometricis numeris: igitur non plures quam 4 sunt eoncordantiarum species intra diapason. Hactenus de harmoniis, quae oriuntur ante intervalla minora. At vel res ex tonis et semitoniis harmonias nisi sunt comparare, ut geometrae ex triangulis figuras reliquas: perperam. Pars secunda. Da intorvavis Dor quin canimus. Ex intervallis concordantiarum nascuntur intervalla, per quae canimus, toni et semitonia dicta. Posito enim uno sono maximo, comparentur ad eum voees seu termini in rationibus harmonteis jam inventis. Hi termini ad se mutuo comparati conati tuent intervalla usit is, per quae naturaliter imus, redimus canendo. Nee enim, infinita licet esse possint, infinita ideo in usu sunt, aut ab auribus probantur aut observantur. Igitur si compares t et disserentia est i non basemonica, sed tamen gradus vocis usitatus, tonus maior dictus; si e I et disserentia-, tonus minor dieius; si e ἶ et 4, disserentia H, semitonium vulgo dicium. Sic de ceteris. Sin autem et, tertiam duram, et tertiam mollem,
comparaveris, disserentia erit, quod ego di ea in appello, item si l et a
47쪽
Epistolae Kepleri tutoriimque mutuae comparaveris: sextant duram et sextant mollem. Conjuncta diesis et semitonium, et efficient tonum minorem. Sed inter tonum minorem et majorem, b, litterest liuod comma appello. Ablatum semitonium a iono majore et relinquit diesin et comma, quae juncta sunt lemma seu major die sis. Constituuntur igitur intervalla haec praeterharmonica: tonus major, initior, semitonium, lemma, diesis, comma. Ex his natura repudiat ultima duo inter cuneudum, sic ut non erremus per haec intervalla ex una voce in aliam immediate. Sunt enim disserentiae non harmoniarum, sed impersectorum intervallorum minorum. Ita fit, ut prius constitutae harmoniae
subdividantur in haee jam eonstituta intervalla. Nam tertia mollis com
ponitur ex tono majore stὶ et semitonio si t); tertia dura si) ex minore si in
et majore st). uine illis nomen βια τριων, latine: tertia; duo enim intervalla tres requirunt terminos. Sic quarta vel diu τε ι θων componitur ex tono majore, minore et semitonio; multiplica enim et in se mutuo, prodit l; atque ab his 3 intervallis haec concordantia dicitur διιι τε ubων, quatuor enim sonis ordine tria intervalla constituuntur. Sic δια πεντε constat 2 tonis majoribus, uno minori et semitonio, quae sunt 4 intervalla, b v ces. Sic δἰ vel sexta, 5 intervallis, ι vocibus, et denique δια πα/-ν vel octava, 7 intera allis, 8 vocibus constat. Notandum autem, a sexta iti octavam superesse tertiam; et quia reliqua intervalla per comparationem harmoniarum subdividuntur, ad eorum igitur similitudinem et lioe intervallum naturaliter subdividitur. Quo laeto necesse est, duos tonos majores immediate se mutuo consequi, ab F in st et a z I in a. Itaque concordantiae a singulis ordine vocibus inceptae non manent penitus nequales, sed disserunt uno commate. Atque haec imperseetio postmodum dat occasionein disserentiae tonorum, quorum alii laeti, alii queruli. 1 ars tertia. Do ctisorimino innorum. Tres sunt eausae discriminantes tonos. Prima, cum octava constet ex quinta et quarta, in alio tono quinia est inferiore loco, alio quarta. Quod sic intelligendum: cantus per intervalla aemulatur concordantias. Nam una vox non potest causari concordantiam, oportet duas eoncurrere. Quod igitur unus homo eodem momento non potest, temporis tractu studet exprimere, saltando ab una voce per consueta intervalla ad vocem concordantem, inque ea oberrat notabiliter saepius-
. que ab ea eeu scopo tacto redit in priora. Alius igitur tonus est eum ad tuariam, alius cum ad quintam collimatu : Victimae paschuli laudes immolent Christiani, agnus redemit oves. Hie quinta vel, quod idem, duae ter- tiae sunt inferiore loco, liuod notatur syllabis: h να, ω ., imm ., lent. Gu,
Altera causa est, cum durus cantus pro molli sumitur. Tertia, cum parva intervalla εunt inseriori . vel superiori loco. Quarta accedere potest: eum ad concordantias persectas vel imperfectas collimatur canendo. Quidquid autem hodie ex natura depromi potest ad explicationem generum diatonici, enarmonii, chromatici, in qua materia veteres multi sunt: id puto ex causa s eunda de cantu duro et molli) etiamque quarta petendum. De quarta parte, ut jam praemissum est, parum didere possum; ideo in praesens nihil dicam. Epistola enim sat prolixa est. I ..2. . an. 1607. Viae Nob. . et Mag. Viri meque porro quoque eommendatum habe.
His addit hepter oquentia, nesciuius utrum sint postscripta ad Praemi Aam pisto ilam. an in sulam usum conscripta.
Haec tune respondi, haec interea inciderunt. . .
48쪽
l in Ponatur, omnem partem circuli aliquotam, geometrice resectam a suscepto initio, eonsonare eum toto. Aures judicanti 2ὶ Et omnem partem circuli aliquotam, geometrice non resectam, non consonare cum toto. Aures judieant. 3ὶ Aequalium chordarum ejusdem tensionis, sonos aequales. imro. 3 -5
insta appellat: seommunes notitias. 4ὶ Aequalium sonorum ad eundem idem intervallum. In marg. annot. Κ. nullius momenti.
5) Chordarum ejusdem proportionis soni eadem specie intervalla musica
6) Quod toti consonat, duplae et dimidiae eonsonat in continua dupla
ratione: nititur. iundamento 4 et 5. uine demonstrabimus et lemmatum ci euti concordantias vel dissonantias. Propositiones. I. Dimidium toti eonsonat i l . . II. Dimidii reliquum dimidio eonsonat 2. . III Dimidii reliquum et toti eonsonat id. . IV. Tertia nars toti consonat l.). R Tertia pars lemmati eonsonat s 4. et I. . VI Hoe lemma s2.3 toti 3 consonat 6. et I v. V.). VII. Quarta toti eonsonat 4 vel 3.). VIII. Quarta lemmati eonsonat b. et IV. .
IX. Hoc lemma 3. toti 4. eonsonat i 6. et VII VIII. . X Quinta l. toti b. eonsonat s l. . XI. Quinta l. lemmati 4. consonat i . et VIII. .iXII. Hoc lemma 4. toti beonsonat 6. et X. XI. . XIII. Quinta 2. lemmati 3. consouat ib et VI. . XIV. Duao quintae toti b. consonant 6. et I. XII i. XV Hoe lemma ae toti 5. consonat, apposito Sm. 6. Nam 3. et s. consonant ib. et L , sed 1 cum 6. consonat ex Prop. sequente. Ergo b. eum 3. consonat. XVI. Sexta l. toti eonsonat s3. vel IV .ret silia XVII. Sexta l. lemmati 5. consonat s b. et IX. . XVIII. Hoc lemma b. toti 6. consonat.
Deficit ratio dupli in demonstrando i, nisi per i et i per a. Ergo non universalitereolligitur hoe. Nam ii per se, a per , , li, i , per illud prius.
Corollarium. Cum totum iis 2 partes seeatur consonantque 2 et 2, omnia tria consonant. Demonstratio hi jus per impossibile tentetur: non potest. Ergo Sic ex l postulato obtinentur haec:
Ita nisi suisset i, demonstrari ex his manifestis principiis non potuiSSet Communes notitiae. Aequalium chordarum tensione. longitudine et crassi tudine: soni aequales. 2, Aequalium sonorum ad eundem idem intervallum. 3ychordarum riusdem proportionis soni eadem speciae intervalla mustea complectuntur. Axiomata musica. 1ὶ Omnis apotome circuli aliquota. geometrice resecta a suScepto initio, consonat eum toto; intelligitur autem minor gemicireulo, nam majore3t lemma. 2, Omnis apotome circuli non aliquota aut non geometrice reSea a st sus eepto initio, non consonat eum isto. Axioma geometri eum. Amtomae circuli geomctrice resectae a suscepto initio sunt hae: -
Denique omnes harum dimidiao in infinitum, ut . et , dimidiarum multipisces, quae non superant semicirculum, ut da, dri di , It I'rop. I. Consonans alicui chordae consonat et ejus dimidiae et duplae in continua dupla Rectione et progressione. Et dissonans ab aliqua. dissonabit et ab rius dimidia et dupla. Nam geometrica est apotome non tantum ipsa, sed etiam ejus dimidia in continua bisections fax. goom. . Ergo, si qua apotome toti editsouat, rius etiam dimidia eidem toti eonsonat fax. l. music.). Et quia dimidiae ad totam eadem est proportio, quae totius ad duplam comm. noti , si ergo qua cons at alicui, c sonat igitur et ejus duplae.
49쪽
Epistolas Tepleri aliormn qne mutuas Prop. Π. Dimidia apotome eonsonat toti et Immati, et lemma toti. Nam dimidia est geometrio tax. geom. , ergo eonsonat toti sax. l. mus. . Est autem nequalis lemmati des comm.), consonat igitur sdes. . Sed et lemma toti I. . Prop. III. Tertia ill cum lemmate suo s2ὶ eonsonat et utraque eum tota Di.
Nam tertiae 1 lemma est 2, ergo consonum per priorem. Et tertia est geometrica, ergo consona toti . Quare et lemma, ejus duplum, est toti conSonum. Prop. IV. Quarta cum lemmate consonat et utraque eum tota. Quarta enim l habet lemma a, eum eo igitur consonat III. et geometrica est, ergo eum tota Gn- sonat. Quum ergo a cum i consonat, etiam cum dux quadruplo tonsonabit. Prop. V. Quinta eum lemmate tonsonat et utraque eum tota. Quinta enim lhabet lemma 4, eum eo igitur eonsonat 43 et geometrica est, ergo enm tota 5 consonat. Quia ergo b consonat eum l, consonabit etiam cum eius quadruplo 4. Prop. VI. Sexta eum lemmate eonsonat et utraque eum tota. Sexta 1 habet lemma b, eum eo igitur consonat sIv. et geometrica ost, ergo eum tota 6 consonati
Vel interponatur 3 inter 1 et 6 et probetur hoc per I., III. Denique sunt geometricae, consonat igitur 3 eum l0, quare et 6 eum 10 I. , quare et si cum b. Prop. VII. Duae quintae eonsonant eum lemmate et cum tota. Nam duae quintas 2 habent lemma 3, orgo consonant iIII. ; et geometricae sunt, ergo ipsae 2 cum tota b consonant. Denique 5 eum si consonat VI. , quare et 5 eum 4 I.
Prop. VIII. Tres octavae consonant eum lemmate et eum tota. Nam tres o
lavae a lemma habent b, ergo eonsonant FH. ; et sunt geometrime, ergo ipsae 3 eum tota 8 consonanti Denique 5 eum l V. , ergo et cum ejus oetuplo 8 su. . His igitur 8 propositionibus per partes demonstratur hoc eo rollarium: eum tota in 2 partes secta 3 suerint eo tituti termini intorque illos 2 fuerint eonsona intervalla, tertium etiam erit consonum. Ex hoe universaliter accepto demonstratur hoc alterum: cum tota in duas partes secta a suerint eo tituti termini interque illos unum fuerit intervallum dissonum, et alterum dissonum erit. Consequens est prioris. Nam si unum solum dissonum, duo essent consona. Si duo consona, tria igitur, per praecedens corollarium. At hoe contra suppositum. Ponebamus enim unum dissonum initio. Prop. IX. Septima una vel 2 vel 3 eum lemmatibus consonant, utraque a tota
dissonat. Nam uni septima l habet lemma 6, eonsonini igitur im. et habent lemma consonant igitur F. , et i habent lemma , consonant igitur IV. . Sed ageometreta sunt sax. 2 geom. , dissonant igitur sax. 2 mus in a toto T. Et quia a dissonat a toto 7, ergo et 6 dissonat a toto T i I. . Sic quia 2 dissonat a toto T, etiam 4 dissonat a toto T.
Pros. X Oetava eum tota consonat, lemma ab utraque dissonati Nam octavat geometrica est, consonat igitur eum 8. Vel per I. est eontinua dupla: continus, igitur consona. N qta. Falsum est δε esse harmonicum, etsi xii demonstrabile. Sic etiamll. Mee: reiectum, ergo et Quod autem dissonat a voee, dissonat etiam a voce octava. Sic etiam i , , ii dissonant, ergo et i l. Igitur mu-u0. Omne circuli segmentum quotum, geometrieo resectum, eonsonat toti, qu0d n0n est cum dissonante in proportione eontinua dupla. Nam dissonat, id est ἔa et
aequatio Subtensae cum diametro asseere aures. En hue etiam quadrat quindemn-gulum. Nam est geometricum, sed quia Q. geometricum et it marmoston, ergo et ri marmosiou.
Hermarius respondit: mrenvester ela.. Thue nilo der Communication de seu, fio det Herr do harmonteis disentire, b aucten und bivi. Er molis uni eo verbo Udeuten, Was sureinen authorem einer an glio lason indeblo, .ann ein harmoniarum ignarus, geometrias
50쪽
vit, malo Graeeum xutorem graece, quam perperam tu latinum semonem eonvereum litine legere. Hi emit liberaehieve teli dis II moniam Ptolomaol moeo und dis Narmoniam Po phyrii graece et latine, eum tertiis Harmoni is anonymi. Will gem des Herm Judietum d ber vernehmeu, vi et teletit hab leh es selbst volieri oder vortieren lassen. Ita hin stimuliri Worden. diesofi tufammen druehen tu lasson, laruber leh sein Gutaeliten anhsiren
Literas tuas, Magnifice et Nobilissimo vir, eum librorum laseieulo his
diebus magna laetitia aeeepi. Igitur statim ad respondendum conversus, quod magnitudine officiorum non possum, promtitudine et obsequio testari volui meam gratitudinem Exordiar a meo discursu harmonico, quaestione usus ambigua, quibus ex auctoribus elementa hujus doctrinae hauriri possint. Dubitabam, meam istam innueres, an illam veterum. Si veterum: edidit Dasypodius Euelidis Elem. Harm. Graeca citra demonstrationes. Inde definitiones terminorum peti possunt. Ad demonstrationum intellectum requiritur cognitio proportionum, quam
Boethius, Jomandus, dae. Faber in suis Arithmetieis, alius ex alio mutuati, tradidere; Glareanum diu est ex quo non vidi, hune erebro allegat Arthusius Italus, de quo nuper, puto hunc epitomatorem hujus doctrinae haberi posse. Vidi aliqua et in Cyclopaedia JO. Thomae Fretii. Sin de meo di
cursu quaeris: puto me in literis omnia tetigisse, quae praeter lib. X. Εlementorum Euclidis sunt neeessaria. Omnium vero optimum puto magistrum experientiam, fit super cavitate aliqua, quae saeit resonantiam, extendatur chorda aenea, et supposito magadio, seu, ut appellamus, ephippio mobili suNscit stylus vel ligneus, ad chordam applicatus levissime, sic ut mucrone Subjectum planum attingere possit ad faciendum signum in eo loco, ubi cum ephippio consistimus) oberremus ad dextras et sinistras chordae partes, subinde utramque partem chordae, ab ephippio quasi divisae, pulsantes, eaque missa libera, totam quoque pulsu tentantes. Iteliqua permittuntur aurium judicio. Nam si judicaverint aures, consonare partem utramque eum tota, fiat signum in loco divisionis super plano, et mensuretur utraque longitudo extensae desuper partis chordae: tune apparebit, quales constituantur proportiones. Interdum partes inter se consonabunt et neutra eum tota; interdum pari una consonabit cum tota, reliqua et ab hae et a tota dissonante. Fiat deinde ex chordae longitudine circulus, eoeuntibus capitibus extensionis chordae in unum, et manentibus signis divisionum, et judicetur, an verum dixerim, omnes hujusmodi partes circuli esse demonstrabiles: quae vero non concordaVerant, in-d emonstrabiles. Cum nuper Seripsissem, carebant adhue supellerilli libraria. Itaque do Ptolemaei Harmonicis latitiis, quae olim ad me in Styriam misisti, ex bibl. Bavariea desumta, expressius scribere non potui. Salva sunt et, si uti iis voluerit M. Tua, postliminio revertentur. Sin autem aliquid a me in libris mss. praestari eupis, ad quod libris latinis impressis mihi opus fuerit, de eo me proximis literis edoeebis. Gogavinum ineptas versionis non arguo, at i linum textum obscuritatis in materia minus trita. En tibi exemplum: sic vertit Gogavinus inscriptionem capitis ultimi: , ut errantium stellarum familiaritates
comparentur in quas habent soni. - Quis haec intelligit, etsi verbum verbo