장음표시 사용
332쪽
PROBLEMA nobilissimum, de Angulis Trianguli
Sphaerici ex datis lateribus inveniendis, aliter in Trigonometria nostra, quam plerique nostrae aetatis scriptores, resolutum dedimus; eo potissimum omnibus ingenii viribus, quales quales eae sint, connis, Copemici scilicet et Snellii exemplo, ut Problema e Sphaericis dissicillimum ad Trigonometriam planam revocaremus. Nequo irrito conamine rem tantam aggressi sumus, neque successu usque infelici. Essecimus enim quod auspicati sumus, longe alia constructione et, ni fallor, simplicior quam ea fuit, qua viri illi magni usi sunt. Sed cum resolutionem illam alteram, communi usu tritam, Cui locum in Elementis nostris Trigonometricis denegavimus, Millius hic loci in exemplum compuli Logarithmici attulerit; ne quid in hisce Libris, ad usum Juventutia Academicae destinatis, quod Tyronibus obscurum sit, relinquamus; illam ipsam resolutionem, praeteritam
dudum et neglectam, accurate enarrare et enucleum
nunc in nos suscipimus, et ex propriis principiis repetere ; luculentius ea spero quam a Millio tradita sunt, absit invidia dicto, exposituri. PROP. I. In omni triangulo sphinrico rectangulum sub statibus enurum es ad radii quadratum, ut d/ferentia sinum verin forum basis et disserentiae crurum ad sinum verom anguli ad verticem. Est 36. Trig. Splaser. Keillii.J Sit triangulum sphaericum A B C, cujus Crura B A, B C, basis A C, vertex B. Polo B, distantia a polo B C, Μ scriba-
333쪽
I 6 ascribatur circulus in superficie sphaerica. qui peripheriae
B A in puncto H occurrat. Arcus B H aequalis erit arcui B C ; quapropter arcus A H duorum B C, B A differentia erit. Dico re tangulum sub sinubus Crurum A B, B c ad quadratum ex radio eandem proportionem habere, quam sinuum veriorum arcuum AC, AN disserentia ad sinum versiim anguli sphaerici A B C, sive sinum verium arcus, qui angulum illum metitur.
Polo a scribatur circulus sphaerae maximus F EG, Cujus periphoria maximi A B peripheriae in punctis F, G, maximi autem n C in puncto R Occurrat. Centrum sphaerae sit D ; centrum autem circuli minoris M C K sit L. Iuncta P G circulorum maXimorum P B G, F E Gcommunis erit intersedito. Quare per centrum sphaeraea ε sph. D transibit'. Circuli autem minoris M C, maximique F B C communis intersectio sit recta II K. Cum maximus F B G per B polum minoris H C K tratis eat, maximi planum minoris plano ad perpendiculum erit, et planorum communis intersectio, M κ, circuli minoris diameter Is Sphaer. erit' a quapropter per centrum ejus L transibit. Et cum parallela sint circulorum F E G, H C Κ plana 'O-ς Cor. . pter polum utique B communem j juncta B D per L omspn x- transibit', et planis F E G, H C K ad perpendiculum erit'. ' . ph perpendiculum igitur rectis P D, H L, quae sunt in planis illis, et ipsi occurrunt. Recta igitur H r. sinus est arcus B M, sive illi aequalis B C. A punisho A in rectam B D ad perpendiculum deducatur A M. Erit A M sinus arcus B A. Jungatur D A, et in rectam DA a puncto Had perpendiculum deducatur H o. Erit A sinus versus arcus AN . A puncto C in planum circuli maximi F B G ad perpendiculum deducatur c N. Et cum plana H C NADiuitiaco by GOrale
334쪽
H C κ, F B G sibi mutuo ad perpendiculum sint, incidet
illa C N in communem planorum illorum intersectionem quae est recta H κ. Incidat in puncto N. A' 38-und Puncto N in rectam D A ad perpendioulum deducatur ' N P, et C P jungatur. Erit C P ad perpendiculum rectar
A D f. Recta igitur P A sinus versus est arcus A C. Sedi Cor. t. ostensa est A o sinus versus arcus AH. Est igitur P o M. uirum, sinuum versorum arcuum A C, AH differentia. A pun- ''cto autem E in rectam PG ad perpendiculum deducatur E Q. Erit F ci sinus versus arcus P R, qui mensura est anguli ABC. Dico igitur rectangulum H L κ A M ad
quadrRtum ex D A rationem habere eam, quam recta P o ad rectam F Q. Jungantur E D, CL. Rectae autem AD, ML sibi mutuo in puncto n occurrant. Jam propter angulos D R L, o R H inter se aequales ἔ, angulosque D L R, ROH sis. primi rectos, angulus O H R angulo R D L, sive A D L aequalis
erit. Anguli autem ad M et o recti. Triangula igiturA D M, RHo sequiangula inter se sunt, et similia. Est igitur A M ad A D, ut o R ad n H. Sed propter rectasH o, N P parallelas nimirum cum utraque ad perpendiculum sit rectae DAὶ erit o R ad R H, ut o p ad H N h.' a. sexti. Quare A M est ad A D, ut o P ad H N Jam vero rectae, Ii.quinti. H L, F D, Cum commuties sint plani F B G cum planis
parallelis es C κ, F E G intersectiones, inter se sunt parallelae . Pari ratione rectae L C, D E inter se parallelae; i6. und Communes utique plani B C E cum planis parallelis in-ς tersectiones. in triangulis igitur C L N, E D Q, anguli R D Q, C L N inter se aequales sunt . Anguli autem i io. und D a E, L N C recti. Triangula igitur aequiangula sunt, Vimi et inter se similia. Est igitur L C ad DE, ut L N ad D Q. Vel propter aequales L C, L H, necnon D E, D F ; est
L H ad D F, ut L N ad a D. Quare et H N ad F a, ut L N ad D P . Jam vero cum A M sit ad AD, ut o P in I9. qui
3I N id enim supra ostensum) et L H ad D P, ut H N ad NE ci ; idcirco quae ex rationibus A M ad A D et L H ad D P composita est ratio, eadem erit quae composita est ex rationibus o P ad H N et H N ad F Q. Sed ex rationibus A M ad A D et L H ad D F composita est ratio rectanguli A M κ H L ad rectangulum A D A D P, sive quadratum ex A D. Et ex rationibus o P ad H N et H Η ad F Q composita est ratio o P ad p Q. Rectanguli igiatur A N κ H L ad quadratum eX A D eadem est quae re-
335쪽
ctae o P ad rectam P ci ratio. In omni igitur triangulo sphaerico Ac. G. E. D.
Hinc autem sponte enascitur resolutio problematis de Angulis ex datis Lateribus inveniendis ope sinuum versorum i faciendo scilicet, ut sicut rectangulum sub sinu hus crurum ad quadratum radii, ita sinuum versorum ba-ss et differentiae crurum differentia sit ad quartum; qui sane Fartus sinus versus erit anguli ad verticem. m. In triangulo sphaerico A B ci ponamus cum Keillio crus alterum B C - 3o'; alterum B A M a ' pet bas m AC in a' 8 . Et inveniendus sit angulus adverticem A B C.
v Manifestum est hunc sinum versum radio majorem esse. Sinus autem versia radio majores in Tabulis frustra quaesiveris, quae nullos habent. Sed in casu huiuscemodi hac ratione te expedias. In Tabulis Logarithmorum quaeratur Numerus, cujus Logarithmus est sinus versus Logarithmicus, qui ex calculis prodierit; nemri hoc casu Io.o938o2o. Numerus in Tabula inventus sinus versus naturalis erit Logarith mico conveniens. Hunc igitur, Q. Ia Io863ooo diametro naturali 2oooooooocio detrahe. Relinquetur 7589Is 7 o sinus versus supplementi anguli seu arctis quae fili. Unde in Tabulis invenietur supplementum - 76' a 57V. Quare anguius, cujus est supplementum, erit Io39 5 ' 3 . Unde Disitired by Cooste
336쪽
Unde angulus ABC per Tabulas invenietur Im' 5 3'. Caeterum cum in Tabulis recentioribus, iisdemque optimis, utpote quae Peripheriam quadrantis in arcus denorum singulos, vel singulorum etiam, scrupulorum secundorum divisam exhibent; cum in hujusmodi inruam Tabulis, sinus tantum et tangentes Inveniantur, nubus versis et secantibus consulto scilicet omissis, ne Recessione eorum, quae minus necessaria sunt, moles librorum ultra modum cresceret; cumque alii libri, qui finus etiam versos habent, perrari sint hodie, nec facile comparandi; expedit, ut quaestiones omnes Trigonometriae ad sinuum et tangentium analogias redigantur. Hoc autem in problemate proposito ope sequentium Theorematum praestandum est.
Si duo snt areus circuli in uales, rectangulum Iub diametro et sinuum versorum diis entia AEquale es rectangulo sub duorum summis different que chordis. Circuli cujus centrum C, diameter recta A C B, snt arcus duo inaequales BD, B E. A punctis D, E in re etam A n ad perpendiculum deducantur D F, E G. Ε-Tunt F B, G B arcuum B D, B E sinus versi, eritque FG sinuum versorum differentia. Producta E G peripheriae iterum in II OC- currat. Arcus II B arcui D E aequalis erit. Unde arcus H B D duorum B D, B A summae aequalis erit, cum sit A D eorundem
H D, DE, dico rectan liuo A B X G F rectangulo D H A DE aequale esse. Juncta enim H C peripheriae iterum in K Occurrat. Iungatur K D, et E D producta productae C B in L occurrat. Anguli H K D, L E H aequales sunt; cum uterque ad circuli peripheriam arcui D B H insistat. Anguli autem H D Κ, LG E sunt recti. Triangula igitur κ H D, E L G sequiangula sunt, et inter se similia. Erit igitur K H ad H D, ut E L ad L G. Sed Propter parallela. D F, E G, ut E L d L G, ita est E D ad
337쪽
a. sexti. o P . Erit igitur K Π ad Η D, ut E D ad G F. Quapro pter rectangulum Κ Η κ G P, vel A B κ o F rectangulo DIIN DE aequale est. Q. E. D.
'cir. Rectangulum sub dimidio radio et differentilisnuum veriorum aequale est rectangulo sub snu semi- summae et sinu semidisserentiae duorum arcuum. Et enim in figura dimidius radius, seu fi CB, Pars quarta est diametri A B. Quare et rectangulum k CB A G Ppars quarta est rectanguli A B A G P. Sinus autem dimidii arcus D H seminas est chordae D H, et sinus dimidii arcus R D semissis chordae A D. Rectangulum igitur sub sinubus illis pars quarta est rectanguli sub chordis D H, D A. Est igitur rectangulum , C B κ G P ad rectangulum sub sinubus dimidiorum arcuum H D, D F,
I s. quinti. ut rectangulum A B κ G F ad rectangulum D H κ DR'. Rectangulum autem A B A G P rectangulo D H A D Eaequale est. Quare rectangulum C B κ G P rectara-νSehoI. 14. gulo sub sinubus dimidiorum arcuum aequale . D. E. D.
PROP. III. Rectangulum sub dimidio radio et sinu vers euhsibet ar-cirs inquale es quadrato ex Itati arcus dimidii. Nam rectangulum sub sinu verso et dimidio radio pars quarta est rectanguli sub eodem sinu verso et dia metro. Et quadratum ex sinu arcus dimidii pars quarta est quadrati ex chorda. Sed rectangulum sub sinu verso et diametro aequale est quadrato ex chorda. Quare rectanguluin sub sinu verso et dimidio radio aequale est quadrato ex sinu arcus dimidii. Q. E. D. Hisce autem ostensis, analogia propositionis primae ad sinuum analogiam facile revocatur. Trianguli Sphaerici B A C puta latera B A , B C data esse, et basin etiam a C datam ; et inveniendus sit angulus ad verticem A B C. Angulus ille sgnificetur litera V. Latera B A, B C literis I, L ; eorundem dimerentia litera D. Basis A Clitera H. Disserentia sinuum
significetur litera E. Radius denique liter 1 R. Jam sini κ
338쪽
: quadr. sin. ἔ V. Per hanc analogiam datur quadratum ex sinu dimidii anguli v. Et ex quadrato dato datur sinus cujus est quadratum. Et ex sinu anguli : V dato, per tabulas datur angulus ἔ v. Et ex dimidio dato totus datur. Et haec est resolutio Problematis vulgari usu trita. Ex. Ponatur B C, seu L in 3o'. A B, seu L m a ' 4. Et basis A C, seu B, α et' 8 . Erit arcus D m 5' 56 .
340쪽
Gr. Si prima secunda major sit, data, quam in ratione, secunda autem ad tertiam datam rationem haheat ; erit prima eadem tertia major, data, quam in ra
Cor. Reeta linea magnitudino data, duabus rectis, non parallelis sed positione datis, in datis angulis interposita, positione data est. Duabus rectis A B, A C, non parallelis sed positione datis, interpositam puta re tam D Ε, magnitudine datam,
in angulis A D R, A R D datis. Dico rectam D E positione datam. Rectae enim BA, C A sibi mutuo in puniacto A occurrant. Per A et D ducantur AF, DP rectis' DE, A E parallelae, quae sibi mutuo in Puncto F OCCurrant. Propter rectas A B, A c postione datas punctum A datum est . Angulus a as. dat. autem D A p datus, dato rii mirum A D E aequalis . Re- t aq. primi.cta igitur A P, a dato puncto A in recta A B positione data, in dato angulo D A P educta, positione data est . ς 29. dat. Sed magnitudine etiam data A P, utpote quae datae D Raequalis est ' ; punctumque A datum. Datum igitur a p, Imi. punctum P '. Recta igitur P D, per datum punctum F .m dii contra rectana AC, positione datam, ducta, positione data N est. Diqitiroci by Corale