장음표시 사용
301쪽
midia o. 349ψ85o; erit haec Logarissimus radicis quadratae numeri 5, seu Logarithmus numeri α 5, cu spondet numerus a,236o6 quam proXime .
Et cujuscunque numeri, sive integralis sit, sive mixtus. sive pura fractio, si radix - extrahenda sit, dividendo Loga
rithmum dati numero m habebitur Logarithmus radieis. Ut si numeri 7 s3, 37 I radix cubica per Logarithmos extrahenda esset ; dati numeri 753, 57I Logarithmum a. 877 Ia4a Divido Ternario Habeo o. 959 4 4 Logarithmum radicis euhicae. Quam in tabulis invenio numerum mixtum 9,I.
Sed cum omnis purae frathionis Logarithmus indice constat negativo cum figuris aliis positivis, et ad radicis - inventionem utraque pars Logarithmi, tam negativa quam Positiva, numero m dividenda sit; evenire potest talem effeindicem negativum, quem numerus m non metiatur. Quod
si acciderit, utraque para Logarithmi radicis, tana negativa quam positiva, pluribus constabit figuris. Et calculatori omnino labor illo subeundus erit, quem in capite insequente Millius tantopere deprecatur, partem alteram alteri subducendi. Ut si stactionis o,75357 I radix cubica extrahenda est, Logarithmus datae frustionis ternario dividendus. Sed datae fractionis Logarithmus est I. 877I 2 a, constans indice negativo I, et decimali positiv1 o, 877 Ia42. Utraque autem pars ternario dividenda. Ternarius autem indicem I non metitur. Ex diuisione igitur indicis negativi veniet - o. 3333333 quae para erit negativa Logarithmi radi- eis. Et ex divisione positivae decimaliso,877 Ia a veniet in o. 29z37 7 Negativam vero positivae auferendo habeo scilicet 1. 959o4I Logarithmum radicis cubicae quaesitae, quamque ideo in tabulis
Nactus sum igitur, Dis propitiis usus, Logarithmum radieis et ramem ipsam, sed non sine labore subtractionis Algebraicae. Hem l Aliam igitur tibi, lector, monstro viam, qui lab rem illum, si subire metuas, semper effugias, illa, quam Millivis tibi traditurus est, longe, ni salior, expeditiorem, sed paucis credo praeter nos ipsos tritam. Datae Disti by Corale
302쪽
De Arithmetica Logarimmorum, tibi numeri sunt
QUOTIESCUNQUE fractiones per Logarissimos tra-Vide Fig. 3ctandae fuerint, ad vitandum laborem addendi unam
Datae fractionis extrahenda sit per Logarithmos radix id est, inveniendus sit Logarithmus radicis - fractionis
Fractionis erit numerus reciprocus. Hujus numeri ex tabulis inveniatur Logarithmus L. Numero m dividatur L. Quotiens significatur litera. a. Erit a Logarithmus radicis
numeri -; sive Logarithmus numeri N. Auseratur igitur L garithmus a denario, vel potestati denarii, quae ipso a proximest major; quae sit Io . Residuus significetur litera a. Indici Logarithmi R subtrahatur Algebraice numerus Io . Veniet Logarithmus indice negativo, qui Logarithmus significetur literii A. Dico Λ Logarithmum esse radicis - fractionis -,m m B sive seactionis j.
Cum enim o ad I eandem rationem habeat, quam I ad B I i si Logarithmus stactionis N significetur litera x, cum Al
303쪽
garithmi partem, et subducendi alteram, expedit ut Logarithmi incipiant non ab unitate integrali, sed
Ex. Inveniendus sit Logarithmus radicis cubicae fractio
Datae fractionis reciprocus est numerus Σαψ.Hujus Logarithmum ex tabulis invenio 4. 44576o Divido ternario. Habeo I. 48 I92OIHunc denario aufero. Habeo 8. 518o799 Indici 8 denario Algebraice subtracto, habeo 2. 518o799 Togarithmum radicis cubicae fractionis 't Η 'V. Unde radicem ipsam in tabulis vulgaribus invenio o,o32967. Sed in tabulis Briggianis, quae Logarithmos exhibent decimum quartum uiaque decimalium locum, radicem quaesitam invenio , 32967'o3a967' 32967', quae vulgari sive ad minimos terminos reductione 1a taὶ vulgari A aequalis est. Ut simili modo tractentur fractiones, quae decimalium somma datae sunt, nil aliud opus est quam ut sistantur vulgarium
Εx. I. Inveniendus sit Logarithmus radicis quintae fracti iris decimalis O, I926867. Pono O, I926867 --. Reciprocus est Hujus Logarithmum ex tabulis invenio O. 7I5I 8a Divido quinario. Habeo o. I 43 296 Hunc denario aufero. Habeo 9. 85697o
Indici s denario Algebraice subtracto, habeo I. 85697o
Logarithmum radicis quintae fractionis datae. Unde radix ipsa in tabulis invenietur O, I9 . Ex. a. Inveniendus sit Logarithmus radicis cubicae fracti nis decimalis o,8 15'8I5'8I5'.
Data decimalis aequalis est vulgari ζ u. Cujus reciprocus
Hujus autem Logarithmus est o. o88 o 9 Divido ternario. Habeo o. o293693Hunc denario aufero. Habeo 9. 97o63o7.Indici o denario Algebraice subtracto, habeo I. 97o63o 7
Logarithmum radicis cubicae fractionis datae. Unde radicem ipsam in tabulis invenio O, 93 6 I. Mea certe contraria est opinio : expedire potius ut, manente Logarithmorum initio apud ipsam unitatem integralem, fractionum Logarithmi indices gerant negativos. Ita enim labor, me judice, levissimus, notatio certa, operandi ratio apertisisma. Illud autem praecipuum, quod notatio, ut dixi, certa sit et Diuiliam by Corale
304쪽
ab unitate, quae sit in decimo vel centesimo loco fractionum decimalium, v. gr. pone P O esse j et Logarithmos ab ejus loco incipere. Haec tractio decies magis distabit ab unitate versus sinistram, quam numerus Io ab eadem distat versus dextram ; sunt enim decem termini proportionales in ratione Io ad I ab unitate usque ad P o. Adeoque si A B sit unitas, ejus Logarithmus in hac suppositione non erit o, sed erit o AM IO. O ooo. Nam diliantia denarii ab unitate est
Logarissimus a Po incipiens, erit Ia. -O OOOO; et numeri Iocio Logarithmus, seu distantia a Po, erit I3. Ooo CC; atque hac ratione Logarithmorum omnium indices augentur numero Io: et seactiones quarum indices fuerunt I, aut a, aut - 3 &c. sunt
9, 8, aut 7 tio. At si Logarithmi incipiunt a Ioco fractionis, cujus
numerator est unitas; denominator unitas centum Cyphris adjectis squod faciendum est quoties fractiones occurrunt minores quam P οὶ illa fractio centies plus distabit ab unitate quam Io ab ea distat, adeoque unitatis Logarithmus habebit indicem Ioor numeri denarii Losarithmus indicem habebit Io I r et numeri centenarii Logarithmo congruet index Ioa. Et ita deinceps indices Omnes augentur num TO IO .
Fractionum omnium quae sunt majores P o sa quo initium ducituri Logarissimi erunt positivi. Et cum
numeri, IO, I, A, τέου, et o ου, &Q. sunt in continua progressione Geometri , aequaliter a se invicem distabunt, et eorum proinde Logarithmi erunt aequi differentes; adeoque cum Logarithmus denarii sit II. oo ooo, et et distincta. Puta enim calculis methodo, quam Missus tradit, subductis, Logarithmum prodire 8. 73 9678. Rogo, cujusnam
numeri sit ille Logarithmus 3 num numeri 432IO OO, anfractionis o,o5432I At in nostra indicum negativorum methodo plane omnis istiusmodi ambiguitas. Cum mimerorum et fractionis Logarithmi, reliquis figuris convenientes, indieibus distinguuntur. Nobis certe Logarithmus numeris 3 a Iocoo est 8. 7349678, fractionis autem o, o54321 est Logarithmus a. 73 9678. unitatis Diuili eo by Corali
305쪽
ianitatis Logarithmus si Io. OCooo; erit Im arithmus fractionis m 9. CooCoo; et fractionis 1 garith mus erit 8.oo mo ; et similiter index Logarithmi numeri erit 7. Quinetiam cadem ratione si index Logarithmicus unitatis sit a , et denarii Ior; erit index
Logarithmi fractionis , , 99 ; et fractionis j j indeXLogarithmi erit 98; et fractionis jUM, index Logarith micus erit 97 Le. Hi indices ostendunt in quo loco
ab unitate prima fractionis figura, quae cyphra non sit, ponenda fuerit: v. gr. si index sit 4, eius disterentia ab indice unitatis quae est Io, scit. 6, ostendit primam deci- malis figuram significativam esse in 6 ' ab unitate loco ;ergo quinque cyphrae versus sinistram ei praeponendae sunt. Ita si unitatis index sit Ioci et fractionis index fit 8o, erit prima ejus figura in vicesimo ab unitatis loco
seu I9 cyphrae praeponendae erunt.
Sit jam fractio G M per fractionem DC multiplicanda. Quia unitas est ad multiplicatorem ut multiplicandus ad produhium ; erit distantia inter unitatem et multiplicatorem aequalis distantiae inter multiplicandum et productum. Quare si capiatur G I m A C, ad I erit productus I R. Et proinde si ab o G, Logarithmo multiplicandi, auferatur G I vel A C, restabit O I Logarithanus producti. Est vero AC m ΟΑ - o C; qua ablata ab O G, relinquetur OG in o C - Ο Α - o I : hoc est, fisimul addantur Logarithmi multiplicatoris et multiplicandi, et e summa auferatur Logarithmus unitatis qui semper scribitur per Io aut ICO cum cyphris) habebitur Logarithmus producti. Ex. gr. sit fractio decimalis O,oo734 per fractionem O, O 876 multiplicanda: pono unitatis indicem Logarithmicum esse 1ω, et fractionum Losarithmi erunt ut in margine;
qui additi, et rejecto Logarithmo unita- 97. 865696rtis, dant L.ogarithmum producti, cujus 96. 9425 1
index ς ostendit primam producti fiεu- ---iram esse in sexto ab unitatum loco: quin- 94. 8o8ao aque itaque cyphrae praeponendae sunt, et productus erit, CCCOO642984. In Divisione, divisor est ad unitatem, ut dividendus ad quotum ; et proinde distantia inter divisorem et unitatem, aequalis erit distantiae inter dividendum et quotum. Itaque si fractio I K dividenda esset per D C, capienda erit I G C A, et locus quoti erit G. Est vero
306쪽
CA m O A - o C quae, ad o I addita, fit GA - ΟΙ - o C m o G : hoc est, si addatur Morithinus unitatis ad Logarithmum dividendi, et e summa auferatur LOgarithmus divisoris, restabit Logarithnius quotientis. Sicis numerus C D per I K esset dividendus, capienda erit distantia C s m I A, et erit S T quotiens ; Cujus Logarithmus est o Α - o C-o I. Sit C D m O, 3 7; I Κ mo, o 78. Ad Logarithmum ipsius C D addatur Logarithmus unitatis, hoc est, ejus 19. 54m 5 indici praeponatur I aut Io, et eX eo 7. 679 279 subducatur Logarithmus divisoris, resta-bit Logarithmus quotientis, cujus index II. 86MOI 6
II monstrat quotientem esse inter numeros, qui sunt a Io ad Ioo. Quaero itaque numerum Lo-farithmo respondentem, quem invenio esse 72, 594.i fractionis vulgaris, verbi gr. ἶ- LOgarithmus desideretur, ad Logarithmum Io. 845 8o numeri 7 addatur Logarithmus unitatis, O. 9O3 vel quod idem est, ejus indici praeponu- ---tur I aut Io, et subducatur ab eo Loga- 9. 9 2OC8orithmus denominatoris 8, restabit Logarithmus fractionis i vel fractionis decimalis, 875. Ut fractionis cujuslibet D C potestates habeantur, Capiendae sunt E C, E G, G I, I L singulae aequaleS A C, et E F erit quadratus, o FI cubus, I K bi quadratus numeri D C, sunt enim ab unitate continue proportionales. Est
drati est duplus Logarithmi radicis minus Logarithmo unitatis. Similiter ob AG m 3 AC m 3 OA - 3 OC, erit OG - OA AG-3 DC - et o A in Logarissimo cubi in triplo Logarithmi lateris minus duplo Logarithmi unitatis. Eadem ratione, quia A I m 4 AC m4 Ο Α - 4 o C, erit OI o C-3 o A; qui est Logarithnaus hiquadrati. Et universaliter si fractionis potestas sit n, Logarithmus L, erit Logarithmus potestatis N 'I L - n ΟΛ - ΟΑ; hoc est, multiplicando Logarithmum fractionis per n, et e producto abjiciendo Logarithmum unitatis multiplicatum per u - 1, habebitur Logarithmus potestatis n ejusdem fractionis. . gr. sit fractio m , Q, cujus quaeratur potestas
6 μ; hujus fractionis Logarithmus est 3. 69897oO, qui
307쪽
multiplicatus per 6 dat numerum 5a. I938am; et ex Sa ablato numero so, qui est index Logarithmi unitatis in 5 ductus, restabit Logarithmus potestatis 6 μ', scit. 2. I9382Oo, cui respondet numerus o oo oooo I 5625; nam index a ostendit septem cyphras primae figurae
Si fractionis ,o5 potestas octava desideretur, multiplicando Logarithmum per 8, prodit 69. 59176OO: at Cum ex numero 69 auferri non potest 7o, qui est septies index Logarithmi unitatis, quin in numeros negati vos deveniatur, pono indicem Mnarithmi unitatis este Ioci; et index Logarithmicus fractionis erit 98; hic Logarithmus in 8 duetus dat 789. 59I76OO: et ex numero 789 rejecto numero 7oo, qui utpote cum CyphriS annexis est septies Logarithmus unitatis, restabit 89.59176oo Logarithmus potestatis 8' ' fractionis cui congruens numerus est Coo o Coo 39o6a; nam cum index sit 89 et eius disserentia ab Ioo est II; figura prima fractionis sisniscativa erit in undecimo ab unitatis loco, adeoque aecem Cyphrae praeponendae erunt.
Si in fractionibus radices potestatum desiderentur; V. M. fractionis E P quaeratur radix quadrata. Quoniam radix est media proportionalis inter fractionem et unitatem; bisecta A E in C, erit C D radix quadratafractionis E P. Est vero A C A E - ---. Ada
eoque OC Logarissimus radicis A AC m -- a Si fractionis o H radix cubica quaeratur; radix illa erit prima duarum mediarum proportionalium inter unitatem et o M. Secetur itaque AS in tres partes aequales, quarum prima sit A C, erit C D radix quaesita. Et quoniam est A C - , A G --- V -; si haec subducatur ab o A, restabit - ' V in o C scit. Logarithiamo radicis cubicae Dactionis G H. Sic etiam fractionis I x radix bi quadratica habetur, secando A I in quatuor partes aequales. Nam radix est prima trium mediarum proportionalium inter unitatem et fractionem. Sit itaque A C A I, et erit C D radix bi quadratica fractionis
308쪽
Unive aliter si fractionis L M desideretur radix potestatis re, ejus radicis Logarithmus erit '' in '.' 8 L, hoc est, si indici Logarithmico fractionis praepotiatur
numerus n - I, et Logarithmus se audius dividatur pern, quotus dabit Losarithmum radicis quaesitae. Sic si quaeratur radix cubica fractionis θ si vo ,3: hujus Logarithmo praeponatur a m n - I, quia radix cubica desideratur, et fiet a9.69897 ciuus numeri triens est 9. 8996566 aequalis Logarithmo radicis cubicae fractionis et congruens Logarithmo numerus est 7937 qui erit radix quaesita.
De Regula Proportionis feti Aureu Logarithmicia. DATIS tribus numeris, quei ratione quartus proportionalis inveniendus sit, nos docet proportionis regula; scit. termini secundus et tertius in se invicem ducendi sunt, et productus dividendus est per primum. Qui πο-dit quotus, exhibebit quartum terminum proportionalem quaesitum. At per Logarissimos minore labore habebitur ille quartus; nam si e summa Logarithmorum secundi et tertii auferatur Logarithmus primi, qui restat numerus est Logarithmus quarti proportionalis. Quin etiam et hic labor minui aliquantulum potest, si loco Logarithmi primi capiatur ejus complementum Arithmeticum, seu differentia Logarithmi a numero Io oommo; et obtinetur si pro singulis Logarithmi fi- uris scribantur earum differentiae a 9; complementum oe arithmeticum cum reliquis duobus Logarithmis in
Accuratius autem, si pro singulis Logarithmi figuris antet ultimam scribantur earum differentiae a 9; pro ultima differen
309쪽
unam summam conjiciatur, et e summa unitatis nota, in primo versus sinistram loco sita, abjiciatur; restabit Logarithmus quarti termini quaesiti ; atque hoc modo per unicam numerorum trium additionem invenitor Logarissimus termini quaesti. Hujus rei causa hinc patebit. Sint tres numeri A, B, C, et e summa secundi et tertii subducendus est primus, non tantum operatio communi modo perficitur, sed etiam si assumatur numerus quivis E, et ab ea auferatur Α, restabit A - Λ ; si numeri B, C et E - Α in unam summam addantur, et e summa trium rejiciatur A, restabit B Φ C - Α. Sic si subducendus est numerus 15 ex 23, Capio nu-
85 meri 15 complementum ad Ioo quod est 85,
23 hunc numerum addo ad M, et summa fit Io8, ex Ic8 quo sublato Io restabit numerus 8. Sequuntur Exempla Trigonomotrica regulae Proportionis per Logarissimos soluta .
Hic autem, in Tyronum gratiam, pauca quaedam haud abs re erit adnotalle de Tabulis Trigonometricis. In Tabulis quas, a Briggio compositas, post ejus mortem Henricus GHEbrand Londita edidit, necnon in illis quas postea in compendium redactas, et meliori forma dispositas Memα-mu, quasque nuperrime Hultomu, Logarithmis Sinuum, et Tangentium adjuncti sunt Sinus ipsi et Tangentes. Logarithmi autem Sinuurn et Tangentium dicuntur Sinus et Tangentea Artificiales, ipsi vero Sinus et Tangentes Naturales vocantur; sicut Millitis ipse in praefatione su1 monuit. Radium autetri
Naturalem Tabularum Artifices partium IocioooO-oo minsuerunt, quarum partium unaquaeque Unitati aequanda est. Unde in systemate Briniano enascitur artificialis Io.ooooo P. Illud autem hoc consilio sadium; ut Sinus omnes naturale&, et Tangentes arcuum dimidio quadrante minorum, quanquam radio necessario minores, essent tamen omnes vel Integrales Numeri, vel Mixti. Si enim pro radio unitas usurpata esset quod certe simplicius suisset, et rever1 in aequationibus concinnandis semper fieri soletin tam sinus omnes, quam tangentes arcuum dimidio quadrante minorum, purae fractiones fuissent: majorum autem arcuum Tangentes numeri vel Integrales vel Mixti. Hinc autem evenit Iet numerorum Artificialium alios negativis indicibus gaudere, alios positivis. Et ex hac Indicum diversitate metuendum erat, ne crebri errores Tabulas corrumperent. Radium igitur tot partium esse voluerunt, ut omnes
310쪽
Sit triangulum Eti lineum, in quo angulus A 36 gr. 40; angulus B 98 gr. 32'; et latus B C, 3478; et quaeritur latus A C. Fiat per casTrigon. Planor) Sinus B C ad A C. Et quia Log. sinus anguli Aest primus analogiae
terminus, ejus vice substituo complementum Arithmeticum ejusdem, et addo Log
Arith. com P. S. A. Log. Sin. B. Log. B C. Log. A C. . 22289 o
B C, LAE. Sin. B, et praedictum complementum in unam summam, et e sui arma rejecta unitate, quae est in primo versus finistram loco, dabitur Logarithmus lateris A C, Cui congruens numerus est 57 6, 3O9 aequalis A C lateri quaesiis. Sit triangulum Sphaericum ADC, in quo dantur omnia latera scit. B C in 3o grad. A B M 24 gr. 4'. et A C m 42 gr. 8': quaeritur angulus B. Producatur B A. ad 31, ut sit B M m BC. Erit A M disserentia laterum BC, B A aequalis 5 gr. 56 . Ut rectangulum sub sinubus
Naturales numeri vel Integrales vel Mixti emergerent, omnes autem Artificiales Indices positivos haberent. Caeteriim Sinus et Tangentes pro radio, qui unitati aequalis sit, nullo negotio ex Tabularibus obtinentur facili divisione per
Memini autem Tabulae, ut id obiter moneam, neonon μι- tonia is, Praeter sinus et tangentes, secantes etiam et sinus versos habent artificiales naturalibus appositos. In illis autem quas medio fere sisculo praeterito Gaianertis edidit pro detiis cujusque gradiis scrupulis secundis, et in aliis. exeunte saeculo a Tvloro compohtis, pro singulis etiam scrupulis secundis : ad molem librorum minuendam omitsi sunt, praeter sinus versos et secantes, numeri omnes Trigonometrici naturales, solique inveniuntur snus et tangentes artificiales. Ex quibus tamen omissi, tam naturales quam artificiales, facile, si opussi, derivantur.