장음표시 사용
311쪽
DE LOGARITHMIs. MCrurum A B, B C ad quadr tum radii, ita est rectangulum sub snubus arcuum AC ε AM AC - Α Μ
C. 6 Et quia primus analogiae terminus est rectangum sub sinubus AB, n C, et secundus terminus est quadratum radii; summa Log. Sin. A B, BC 1ubducenda erit ex duplo Log. radii, et qui restat numerus adden-
rentur a LVarith. radii, vel si horum sinuum capiantur
menta illa et praedicti sinus in unam conjicerentur summam. Summa illa erit Logarithmus quadrati sinus dimidii anguli B. Logarithmi itaque dimidium, 9. 896386o, est Lm. Sinus angulit B α 51 gr. 58'. 3I : et hujus ansuli duplum erit Ioagr. 57'. oa' - angulo B, qui erat inveniendus.
De Proportionalium stuantitatum continuis Incrementis, et de mori inveniendS per Logarithmos, Terminum quemlibet inferte Proportionalium, sue crescente, sue decrescenta. vide Fig. 3. SI in Axe Logarithmicae ubivis capiantur partes quot volueris S V, v Y, Y Q, &c. aequaleS, et ad puncta S, V,
312쪽
Π gr. Hinc si x x sit pars quaelibet rectae S T, erit Z πeadem pars rectae V X, et II π quoque eadem pars rectae Y Z. Ex gr. si x x sit S T, erit Z z m V X, et Π π- ω, Y Z ; seu quod eodem redit, erit v x m s T in Q. ST; Y Z m V X Φ Ψου V x; item Q H in Y 2 Φ-Y g. Fiat ut s T ad V X, ita A B unitas ad N R ; erit A Nm S V I adeoque rectae s V, V Y, Y ci &Q. erunt singulae aequales Logarithmo ipsius R N, et A v Logarithmus termini V X crit aequalis A s Φ Logarithmo ipsius S T in Logarithmo ipsius N R. Item A Y Logarithmus termini Y E aequalis erit A S Φ a A N g. S T in a Log. N R, et A Q. garithmus termini ci II aequalis erit A S ε 3 A N g. S T ε 3 LAE. N R. Et universaliter, ii Logarithmus numeri N R multiplicetur per numerum, qui exprimit termini cujusvis distantiam a termino primo, et productus addatur Logarithmo teris
mini primi, dabitur Losarithmus istius termini. At si
series proportionalium lit decrescens; seu si termini in Continuίi ratione minuantur, et a II sit primus, habebitur Logarithmus alterius cujusvis termiui, multiplicando garithmum nuuteri N R per numerum, qui exponit eius termini distantiam a primo, et subducendo productum e Logarithmo primi. Quod si productus ille sit major Logarithmo primi termini, initio ab imitate ducto ; in eo casu ponendi sunt Logarithmi incipere ab unitate in aliquo fractionum Decimalium loco detrusa, verbi gratia ab o i , ita Logarithmus numeri ci H erit
Exponat jam L M quamvis pecuniam, seu pecuniae summam a creditore foenori elocatam, est lege ut singulis annis usura annua sorti annumeretur, Et finito Primo anno, sit usura, seu lucrum, K , o I K aggrega tum sortis et lucri pariat usuralia H b, quae sit ipsi i K Proportionalis, seu in ratione constanti. Haec usura linito anno secundo, sorti accedat, et sors ea sit G H. quae ad finem anni tertii pariat usuram Pri ipsi a uproportionalem. Ponamus sortcm singulis annis augeri L Parte
313쪽
parte sui vicesima, es, adeoque erit IK m L Μ Φ ATM; G H m I K - I K ; E P m G H - G H, et ita dein Ceps. Erunt proinde termini L M, I Κ, G H, E F LC. continue proportionales. Quaeritur quantum aucta fuerit pecunia aci finem quotlibet annorum. Sit L M semiobolus, Anglice a farthmg. Ob L M ad I K, ut I ad vel ut I ad I,Q, ut A B ad N R, erit N R m I,m, cujus Logarithmus A N est O. GaI1893, Vel magis accurate o. oz I 189299 I. Quaeritur quantum lucri accedat semiobolo, qui sexcentis annis foenori G-
positus est. Multiplicetur A N per 6oo, productus erit Ia. 7135794. Huic producto addatur Logarithmus --ctionis His nempe 97.oI77288. nam est semiobolus pars librae δου) summa Io9. 3I3o8a erit Logarithmus numeri quaesiti, cumque index Io9 superat indicem unitatis novenario, seu 9, erunt in numero respondente novem figurarum loca supra locum unitatum, et numerus ille in tabulis quaesitus invenietur major quam 538 o, et minor quam 53866omoo. Unus itaque semiobolus flanori datus, finitis sexcentis annis, pariet libras Anglicanas plures quam 53865ooooO; cui summae solvendae vix par erit omnis illa Auri Argentique copia, quae ab ipsa rerum origine ad hunc usque diem
ex terrarum visceribus eruta est.
Exponat a II quamvis pecuniae summam, quam post exactum integrum annum debitor creditori solvere tenetur, sed sine usura. Certum est 'si debitor nunc totam solveret, illum amissurum jus quod habet in usuram annuant quae ex pecunia illa prodiret; quin et minor summa, isnori exposita, potest post annum cum tua usura summam a II adsequare. Minor illa pecuniae dumma, quae cum sua usura pecuniam Q II adsequat, praesens pecuniae ci Π valor dicitur. Sit A N Logarithmus rationis, quam sors habet ad aggregatum sortis Et usurpe, hoc est, si sors sit usurae annuae vigecupla, sit A N Logarithmus numeri I in seu I, o5, et capiatur Q Y aequalis A N ; erit Λ Y Logarithmus praesentis valoris pecuniae ciII. Patet enim pecuniam Y Z, isnori expositam, finito anno parituram pecuniam QN ; adeoque ut habeatur Logarithmus praesentis valoris, seu Y E, ex Losarithmo A ci detrahi debet Logarithmus lAN, et restabit A v Logarithmus praesentis valoris, vel Y E. Si summa ci II non nisi post duos annos exactos
314쪽
debeatur, a Logarithmo A ci subtrahendus est numerusa A N, et manebit A V Logarithmus praesentis valoris, seu sumniae, quae pro pecunia ci A solvi statim debeat. Nam manifestuin est pecuniam V x, foenori expositam, spatio duorum annorum pecuniam a n procreaturam. Eadem ratione, si summa ci u non nisi post tres annos debetur, a Logarithmo Q Π subtrahendus erit numerus 3 A N, et qui restat A s erit Logarithmus numeri s T, seu erit S ae praesens valor summae Q Π post tres annos solvendae. Et universaliter, si Logarithmus A N multiplicetur per numerum annorum, quibus exactis debetur summa a II, et productus numerus ex Logarithmo A cisubducatur, hac ratione dabitur Logarithmus numeri,
qui erit praesens valor surnmae ci Π. Hinc patet, si 53865oomo librae Angl. societati alicui, finitis sexcentis annis, solvendae suerint, tantae pecuniae praesentem valorem vix unum semiobolum adaequaturum .
Subtiliter sane haec, et eleganter admodum, a vilia enarrata sunt. Sed in doctrina hac de Anatocismis declaranda sine necessitate, paene dixerim importune, Curva Logarithmica adhibetur. Calculi certe pecuniarum, ex usuris cum anatocismo datis temporibus provenientium, Logarithinorum compendio optime subducendi, cum aliter sint plane intractabiles. Neque alibi quam in hac materia magis elucescit Arithmetices Logarithmicae vis atque praestantia. Sed principia, in quibus calculi sundantur, ea quidem ex mera Geometria elementari petenda sunt, sine uli1 vel Logarithmicae vel LOgarithmorum etiam consideratione. Hoc autem in Tyronum gratiam plenius
Puta igitur certam aliquam pecuniae sortem scenori elocatam esse; ea conditione, ut si debitor, exasto anno, sortem accel'tam cum usura ejusdem sceneratori non reddat, usura sorti addita novam sortem conficiat alterius anni, simili conditione debitori omnino retinendam. Si igitur biennio exacto debitor cum laeneratore non decidat, audiae sortis usura eidem apponenda est, quae tertii anni sortem conficiat, conditione adhuc simili debitori retinendam. Quod si hoc pluribus annis fiat, incrementum sortis primariae utura est cum anatocismo. Cujusmodi sane usurae, quanquam apud nos legibus vetitae sunt, ne foenerat trum avaritiae praedae sint, qui vel suo, vel fortunae ωrte, vitio decoxerunt; multa tamen sunt in hominum commerciis, in qui, bus earum habenda est ratio. Unde variae enascuntur quaesti
315쪽
Fis. 4. Si in axe Logarithmicae ordinentur ad curvam rectae HG, E r, AB, CD, quae sint proportionales, et extrensi
nes homini Arithmetico enucleandae. Quarum tamen quinqu sunt ustis praecipui. Prima est, In quantam pecuniae summam compluribus annis per anatocismum sors primaria creverit λ Dato scilicet an innorum numero, dataque usurae ratione inplici. Secunda, Ouanta pecunia, statim numeranda, redimatur sutura quaelibet penso λ Dato scilicet annorum numero ad tempus usque futurae pensionis, dataque ut prius usurae ratione sim plici. . Tertia, Si certae pecuniae pensiones annuae per plures annos neglectae fuerint, dato annorum numero, et u1urae ratione simplici, quanta sun ima satisfaciendum sit ei, cui pensiones erant solvendae 3 Quarta, Quanta summa statim numeranda emantur pensiones annuae pecuniae certae, in plures annos solvendae, dato annorum numero cum usurae ratione simplici tauinta, Quanta summa statim numeranda emantur pensi nes annuae pecuniae certae in plures annos, quae dato tempore
futuro initium sumant 3 Ad harum quinque quaestionum explieationem sors primaria in quaestione prima, et pensio quaeque in quatuor reliquis, ponatur I. Usura annua centum librarum Anglicam in significetur litera g. Capiatur A, ad quam I rationem eam habeat, quam Ioci ad Ioo Φ R. Iam cum sors quaelibet pecuniae ad usuram annuam eandem rationem habeat, quam IOO ad R. sors quaelibet ad sortem, usura unius anni auctam, rationem habet, quani Ioo ad ioo - R. Sors igitur primaria r. exacto anno primo, in A creverit. Pari ratione A, anno exacto, in A creverit. Et A' exacto anno in A .
Expofita igitur serie geometrica
Sors primaria anno primo exacto in A creverit, anno secundo in A'. anno tertio in Ax &c. Denique tot annis quot sunt in numero n unitates, in ipsam A'. Et haec est resolutio quaestionis primae. Data igitur A, per Logarithmos invenienda est A'. multiplicando scilicet Logarithmum ipsus A cum numero π.Εx. Ponatur R α 5 l. Ut usura simplex annua sit uicesimae. Pod natur autem n m 6oo. Cum usura sit vicesimae, erit A m I,o5.
Hujus Logarissimus ex tabulis vulgaribus est o. o a II 893. Sed Dissilia oste
316쪽
cum axe conveniant in P et K, erunt rectae G P, A K semper aequales. Nam ob GH: EPr: AB: CD, eritSed ex Vt quianis .cia II 8929916oo Hie centum senariis multiplicatus fit Ia. 7I357946oo Qui Logarithmus est Α' sive Asi . Unde Aq in Tabulis invenietur 5i7Io584 ooo. Semiobolus igitur unus sexcentis a nis in hanc summam semio lorum creverit. Sive in Libras Anglicanas 33865 I9166. Nam summa semio lorum ad Libras revocatur dividendo per numerum 96o. Huic autem sum-naae solvendae vix sussiceret moles Auri cubica, cujus latus pedes Londitienses 46 longitudine aequaret. Rursum exponatur series Geometrica reciprocorum ejus, quae modo exposita est, viz.
Jam cum si ad I, ut I ad A, cum sors pecuniae I exacto an no in Α crescat, - exacto anno in I creverit. Et cum - sit ad
I, ut I ad AL cum sors pecuniae I biennio in P crescat, Z. biennio in I creverit. Simili ratione - triennio, - quadrien-A3 A nio, denique post tot annos quot sunt in numero n unitates, - in I creverit. Pensio igitur, post annos n futura, si unitatesgnificetur, ea pecunia statim numeranda redimatur, quam
sgnificat. Et haec est resolutio secundae quaestionis. Data scilicet A, dabitur . Per Logarithmos igitur inu
nienda est multiplicando scilicet Logarithmum fractionis
317쪽
Fig. 4. G H. PS:: AB: DR. Sed ob aequiangula triangula PGH, H S F, item K A B, B R D aequiangula, erit P ot Hst: GH: PS:: AB: DR::ὶκΑ: BR. Quarum Ex. Sit usura simplex annua vicesimae. Erit igitur -- mu . Cuius Logarithmus est I. 9788 Io
Logarithmus igitur - sive erit I. 7881o7o Unde in Tabulis invenietur o, 6139l33 Et hae sui parte statim numerata redimatur pensio sutura post decennium. Ut si pensio sutura mille Librarum esset Anglicarum roool pretium ejus redimendae sit ora, si 33 sive
26i3.. I 8..3, I9. Si pensiunes annuae certae pecuniae, unitate scilicet significatae, per tot annos neglectae fuerint quot sunt in numero n unitates, manifestum est ei, cui erant solvendae, haud aliter quam summa totius seriet x, A, A , A , A &c. AR satisfaciendum eise , sive summa antecedentium seriei I, A,
as. noni. An - I : s . Erit igitur s m . Hae igitur summa sa-Et haee est resolutio
tissa tendum pro pensionibus neglectis. tertiae quaestionis. Ex. Posita ut prius usuia vicesimae, erit A αα I, os et Logam rithmus eius O. OaII 893 Ponatur n numerus annorum αα Io I Erit igitur Logarithmus numeri AR O a II 893o Unde in Tabulis invenietur I, 6a8894. Quare A - I o, 628894.
Sed A - I m o, 5. Quare --- - Ia,57788. Hi ne si singulae pensiones annuae is Librarum fuerunt Isdpro decies neglectis, vel, ut accuratius loquamur, pro novem neglectis cum decima, anno decimo exacto, summa Librarum az, 57788 A a 3 m a 88I I3r 9, i d satissaeiendum erit. Si pensiones annuae pecuniae certae, unitate ut prius designatae, in tot annos solvendae quot sunt in numero n unitates, Minc anili statim numerandu emendae sint, manifestum est pretium summae Diuiti od by GOrale
318쪽
DE LOGARITHMIS. I51 proportionalium consequentes Hs, BR aequales sunt, antecedentes igitur PG, KA aequales erunt. Q. E. D. Vel br ius hoe modo. Propter parallelas, CD, AB, erit
tur pretio emendae sunt pensiones annuae in annos n solvendae, et haec est resolutio quartae quaestionis. Ex. Posita ut prius usura vicesimae, ut A sit αα I, 5, Α -- Im O, 5, Ponatur numerus n m IO. Veniet igitur pro Log rithmo ut supra, I. 788 Iopo. Unde invenietur in D, 6139I33. Quare I - m O, 386o867. Et I - Α' α
7, 7 I75. Et hoc pretio comparandae sunt pensiones annuae Per decennium, quarum singulae sint I. Quare si singulae sint centum Librarum Iool pretium erit Librarum 77a,I75 sive
Quod si pensiones annuae per tot annos solvendae quot sunt in numero n.unitates, sed quae post annos incipiant quot sunt in numero m unitates, pecunia parath sint emendae, manifestum est pretium summae hujus seriei aequandum esse I I I I I m m Φ a to a m sive summae consequentium in hac serie
Haec autem est series proportione convenientium pro ratione
319쪽
E F, G H, erit EP : PGetae EF: G H. Quare C T : K A positi igitur consequentium summa m 1, erit A - I
mirum cum A - Ι - - . me pretio emendae sunt pens nes annuae, quarum singulae sunt 1, per annos n post annos msolvendae. Et haec est resolutio quintae quaestionis. Eximius est autem hujus sermulae usus in pecuniarum aestimatione, quae Domino Fundi, in tempus praefinitum sub pensu neula locati, solvendae sunt, si, post annos aliquot elapsos, Conductor syngraphas locationis renovari petat, ut anni praeteriti sibi restituantur. Proventus enim annuus, qui ex Fundo conductori redit, ultra pensiunculam Domino reservatam, significetur litera P. Tempus totum locationis sit annorum numero T. Anni elapsi numero sint ne et sit m m T - n. Pecuniarum summa, mulctae nomine Domino solvenda pm syngraphia renovatis, erit
R A Am ' u lquam penso est annua, quam in annos n post annos m conductor Fundi pecunia parata sibi emit a Domino. Illud autem animadvertendum; in pactionibus huiusmodi conficiendis propter graves, uti aiunt, impensas conductori subeundas, in aedificiis lustinendis, censibus deserendis, aliisque, usurae grandiores usurpari solent quam pro ratione vicesimae. Ex. Simplices igitur usurae sint bis vicesimae quintae ut si R 8. Erit igitur Λ I,o8. Sit tempus totum locationis T annorum a I. Anni autem jam elapsi sint numem 7. Ut sitn 7. Erit igitur m m I , et n in m m a I. Jam cum A sit I,o8, ejus Logarithmus erit o. 334238 I marithmus igitur fractionis U- erit I. 53a 68 Et Logarithmus fractionis Ut de in tabulis invenietur-m
320쪽
M P r P G. Et dividendo C Ar AK in Aci: GP. AEquales cratem AC, G E. Quare inquales etiam Α Κ, G P. G. E. D. Si rectae C D, E P ad A B, G H aequaliter accedant, ut tandem punctum D coincidat cum B, et pranctum PCum H ; rectae D B Κ, F H P, quae prius secabant curvam, Vertentur in tangentes BT, H v ; et rectae A T, G v semper sibi invicem aequales erunt, hoc est, portio axis A Tvel o v intercepta inter ordinatam et tangentem qua
subtangens dicitur, erit ubique constantis et datae longitudinis ; quae est praecipua Logarithmicae proprietas. Nam in diversis Losarithmicis, subtangentes curvarum species seu formas determinabunt. In duabus diversae speciei Logarithmicis, ejusdem n meri Logarithmi, seu distantiae ab unitate, erunt sub-
tangentibus suarum curvarum proportionales. Sint enim Curvae H B D, S N Y, quarum sub tangentes sint A T,M X, sitque ΑΒ m MN m Unitati, item DC VI Fisci. ae,. erit A C Logarithmus numeri C D, in Logarithmici H D, ad M a Logarithmum numeri a Y, seu ejusdem C D in Logarithmi a s Y, ut subtangens A T ad sub tangentem M X. Concipiatur interseri inter A B, C Duel M N, α Y, infinitos terminos continue proportionales, in ratione A B ad a b vel M N ad m n ; et ob A B rara N erit ab in m n: item erit b c no. Et termini proportionales, cum in utraque figura sint numero aequales, divident lineas AC, M a in partes numero aequale quarum primae sint A a, M m. Partes itaque illae erunt totis proportionales, hoe cst, erit A a: Μ m:: A C : Μ Q. Quoniam autem triangula TAB, Beb sunt similia snanx pars curvae B b coincidet fere cum portione tangentis item triangula X M N, N on sunt similia. Erit A a vel B e : b e ; : T A : A B. Item est v ο vel b c : N o :: M N vel A B : M X.