장음표시 사용
321쪽
DE LO ARITHMIS. Unde erit ex aequo, Be: Noer TA MX: et Aar
Hinc si detur Logarithmus numeri, qui sit unitati niximus, vel illam minimo excessu superat, dabitur sarithmicae subtangens, est enim excessus h e ad L
garithmum B c ut AB unitas ad subtangentem A T.
Vel etiam si sint duo quilibet numeri quam proxime aequales, erit differentia numerorum ad differentiam Logarithmorum, ut alteruter numerorum ad subtangentem : v. gr. si incrementum bc sit , ooo ooocio , O I
duobus his numeris et unitati inveniatur quartus Proportionalis, scilicet 43 29 448 19 O325 I, is numerus da-hit longitudinem subtangentis A T, quae est subtangens gari micae quae exhibet Logarissimos Briggianos. Si Creditor pecuniae summam scenori exponat, est
lege, ut singulis temporis momentis, Pars proportiona- Iis usurae annuae sorti annumeretur, ita scit . ut post finitum primum temporis momentum, seu exactam anni particulam indefinite ex uam, usuram poscat tempori proportionalem, quae sorti adjecta, una cum ipsa, usurani pariat, finito secundo temporis momento, sorti pariter accessuram, et ita deinceps: quaeritur quantum creditori finito anno debeatur λ Sit a usura annua unitatis, seu unius librae. Et si integer annus seu I dat usuram a, Particula anni indefinite exigua 11 m dabit usuram ipsi Μ m proportionalem M m A a; et proindes unitas per M N exponatur, ejus incrementum primum erit nο - Μ m N a. Per puncta N, n concipiatur Log rithmica describi, cujus axis est o M a. In hac curva, si portio axis M a tempus exponat, Ordinata α Y PeCuniam repraesentabit quae usque ad illud tempus, singulis momentis, proportionaliter crevit. Nam si capianturm ι ko. M m, ordinatae I p tio. erunt in serie continue proportionalium in ratione M N ad m n, id est, crescent eadem ratione, qua pecunia crescit. Tangat Logat illimicam in N recta N X, ejus subtangens Μ x erit constans et invariabilis, et triangulum
322쪽
minimum Non simile erit triangulo X M N. At ostensum est, esse incrementum nomΜm Xa- NOX a. Erit itaque no: No:: No A at Norra: I. Sed ut n o
ad N O, ita erit N M ad M x. Quare erit, ut a ad I, ita N M seu I ad M x - - subtangenti. Quod si usura annua sit pars fortis vicesima, seu si sit
Quia in diversis Logarithinorum formis, ejusdem numeri Logarithmi sunt subtangentibus suarum curvarum proportionales t si M a tempus annuam, seu unitatem, exponat; Q Y erit pecunia, quae finito anno debetur. Ut vero innotescat a Y, fiat ut Μ X, seu ao, ad Q, 43 29 qui numerus exponit subtangentem Logarithmicae, quae exhibet Losarithmos Briggianos in ita annus, sive unitas, ad Logarithmum Brinianum, qui numero Q Y congruit. Logarithmus autem ille invenietur C. GaI7I47, cui respondens numerus m Y est I , 5 Ia7, cujus incrementum supra unitatem sive sortem , I 27, pauxillum superat annuam usuram , . Adeo ut si usura annua centum librarum sit quinque librae, usura proportionalis singulis anni momentis sorti Ioci adjecta, Pariet tantum ad sinem anni, si as 6,d .
Si quid hac in re paradoxum sit, quod calculorum etiam fidem suspectam reddat, illud omne exempla discutient. Puta igitur certam aliquam pecuniarum summam ea condi tione foenori elocatam, ut non annis singulis exactis, sed singulis spatiis trimestribus, usurae sorti accedant. Et in serie I, A, ALA' M. litem A significet numerum illum mixtum ad quem unitas rationem habet, quam Ioo ad Ioci in ri designante rusuram centum librarum non annuam sed trimestrem. Sors igitur primaria I, spatio trimestri primo in A creverit; secundo igitur in A' ; tertio in Ay ; quarto denique, sive anno integro
Iam si usura annua sit vicesimae, usura trimestris partis 4t erit vicesimae seu i . Hinc A in I, OI 25. Et A'm 1, 5- 5. Anno igitur integro sors primaria iocii ex usuris trimestribus in Io5,o945 creverit. Usurae igitur sortis augmentum effece rint c5,o945, seu οἰ Is Iold quam proxime. Puta jam pecuniam ea lege elocatam, ut mensibus singulis usurae sorti accedant; positis scilicet meatibus non civilibus sed inter
323쪽
Si quaeratur usura ejusmodi, ut, singulis momentis. pars ipsius sorti continue crescenti proportionalis ad
inter se aequalibus, quorum unusquisque pars duodecima sit anni Atigyptii, hoc est, dierum unusquisque 3 o cum horis Io. In 1erie I, A, A , A &c. litera A signi figet mixtum illum, ad quem unitas rationem habeat, quam Ioo ad Ioo in r, desgnante jam litera r menstruam centum librarum usuram is Anno igitur integro sors primaria I in A creverit. Posita autem usura annua vicesimae, usura menstrua partis erit duodecimae vicesimae, sive ετε. Hin C A m I, oo i 6 66' seu I, oo Iὴ et AV in I, o5 II 62. Sors igitur primaria Ioot anno integro ex usuris menstruis in c1o5, II 6 a creverit. Et usurae sortis augmentum effecerint c5, II 62, seu 3ἰ as 3ὶd quam proxime. Sed usura diebus singulis sorti accedat. Sors igitur primaria I anno integro in Lyst creverit. Positi autem usu ei annua vicesimae, diurna partis 365 Vicesimae erit, sive roου. Hinc Am I, o oo 13698 'o I 369863 m Hujus autem Logarithmus est o. oooo59 883 563
- 974 Ingarithmus igitur ipsus ki ' est o. GaI7I32 a In tabulis igitur invenietur Aδqβ m I, 3I 267. Sors igitur primaria centum librarum anno integro dierum 363 ex usuris diurnis in έIo5,I 267 creverit. Et augmentum ex usuris confedium erit L5, Ia67 sive 3I 2s 6 id quam proxime. Universe, si eam fingamus locationis legem, ut singulis anni
particulis, quarum unaquaeque ad annum totum eam rationem habeat, quam unitas ad numerum quendam integralem n, usurae sortibus accedant; tum si litem A significet summam sortis primariae, unitate designandae, cum usura sua simplici pro prima anni particula conjunctae, anno integro sors primaria in Ancreverit. Jam litera ρ significet usuram annuam simplicem sortis primariae unitate des gnatae. Erit igitur A ra I - - o. Et A ,
sive summa, in quam sors unitate designata anno integro creve-
rit, hisce notis designanda erit I --ρ . Quantuscunque autem sit numerus n, si ρ fractio sit exigua, quantitas I --
quantitatem I - ρ exiguo admodum exsuperabit. sortem Diui ipso by Cooste
324쪽
sortem accedat, ea lege, ut finito anno producat in re mentum quod fit sortis pars quaelibet data, v. gr. vice sima: fiat ut Log. numeri I, m ad I, hoe est, ut oet II 893 ad 1; ita subtangens o, 4342944 ad mao,M, et erit a m k8, i di m ,o 88. Nam si concipiatur
pars usurae , 88 momento respondens, hoc est, eandem habens rationem ad ,o488 quam habet momentum ad annum, et fiat ut unitas ad illam usurae partem, ita sors ad ejus incrementum momentaneum : quae haz ratione Continuo crescit pecunia, ad finem anni augebitur vicesima sui parte.
De Methodo qud Henrietis Briggius Logarithmos suos supputavit, ejusque Demonstratis. QUAMVIS Briggitis lineam Logarithmicam nusquam Vide Fig. descripsit, quem tamen in calculo adhibuit operandi
modum, modique rationem, ex contemplatione Logarithmicae evidentissimo patebit. In qtalibet Logarithmica ABD sint tres ordinatae, AB , ab, qs, quam Pro ime aequales; hoc est, earum differentiae exiguam admodum ad ipsas lineas habeatit rationem: erunt LogarithmOxum differentiae differentiis linearum proportionales. Nam cum lineae sunt quam proxime aequales, propinquissimae sibi invicem erunt, et pars curvae B s ab iis intercepta cum recth linea sere coincidet; corte tam prope possunt ordinatae sibi invicem admoveri, ut differentia curvae a recta ipsam subtendente, habeat ad ipsam subtensam, minorem quhlibet data rationem. Triangula igitur B eb, Brs pro rectilineis assumi possunt, et erunt aequiangula. Quare est 3 r : bc B r e B c et e A g A a rhoc est, excessus linearum 1 upra minimam A B, erunt Logarithmorum differentiis proportionales. Hinc patet ratio istius methodi, qua tam numeri quam Logarithmi per disserentias et partes proportionales Corriguntur. Quod si A B sit unitas, erunt numerorum Logarithmidisserentiis numeroram proportionatus.
325쪽
Si intra numeros, denarium et unitatem, capiatur medius proportionalis, seu quod idem est, numeri denarii extrahatur radix quadratica, radix illa seu numerus in medio erit loco intra denarium et unitatem : et ejus Logarithmus erit dimidius Logarithmi, qui denario competit, ac proinde dabitur. Si inter numerum prius inventum et unitatem iterum inveniatur medius Proportionalis, quod fit extrahendo numeri inventi radicem quadraticam ; hic numerus unitati duplo vicinior erit quam prior, ejusque Logarithmus erit prioris Logarithmi semissis, seu Losarithmi denario competentis pars quarta. Si liho ratione continuo extrahatur radix ruadratica, et bisecentur Logarithmi, pervenietur tan-ern ad numerum, cujus distantia ab unitate milior erit Parte που sad ου-ουου istius Logarithmi, qui denario tribuitur. Briurus, peractis 54 radicum extractionibus, invenit numerum I, O - Ο CC o I 278Ε91493 acria 344a ejusque Logarithmum fore o, Coo moci Coooo O555I II5Ia 3Ia57 827oa. Supponatur garithmus hic aequalis A q sive Rr, et sit q s numerus radicum extractione inventus; erit differentia r si qua unitatem superat α , GCo ooo O OO I 2781 9I493 et 3 a 35 Horum numerorum ope, Logarithmi reliquorum omnium inveniri poterunt ad hunc modum. Inter datum numerum cujus Logarithmus inveniendus st) et unitatem quaerantur ut superius ostensum est medii proportionales, donec tandem inveniatur numerus tantillo unitatem superans, ut unitas praecedat quindecim cyphras, quas totidem vel plures notae significativae sequantur. Sit numerus ille a b, et notae significativae, praefixis cuphris, differentiam b e denotabunt. Deinde fiat ut diiuerentia r s ad disserentiam be, ita B r Logarithmus datus ad Be vel A a Logarithmum numeri a b; rui itaque dabitur. Hic Logarithmus toties continueuplicatus quoties extractiones factae sunt, tandem dabit Losarithmum numeri quaesiti. Hac etiam ratione inveniri possit subtangens Logarithmicae, nempe si fiatrs: B r : : A B, seu unitas: Λ T subtangenti, quae itaque invenietur O, 3429 448 I9 maII, per quam deniqua reliquorum numerorum I marithmi innotescent; nempes detur numerus quivis N M ejusque Logarithmus, et quaeratur alterius numeri Logarithmus, qui ad N Μ satis
326쪽
accedat, fiat ut N M ad subtangentem X M, ita n o differentia numerorum ad N O differentiam Logarithmorum. Quod si N M sit unitas in A B. dabuntur LoFarithmi, Fig. 4. multiplicando disserentias minimas be per subtangentem Constantem A T.
Hac ratione invenientur Logarithmi numerorum 2, 3, ct 7, et inde dabuntur Logarithmi numerorum 4, 8, 16, 3a, 64, &o. 9, 27, 8I, a 3, &c. item 7, ψ9, 343, &c. Si a Logarithmo denarii austratur binarii Logarithmus restabit Logarithmus quinarii r et proinde dabuntur Logarithmi numerorum 25 I 25 625 &c. Numeri ex his compositi, nempe 6, 12, I 4,I5, 18, 2O,a I, 2 , 28. &c. facile Logarithmis suis instruuntur, addendo Logarithmos numerorum componentium. At Dumerorum primorum Logarithmos per tot radicum extractiones invenire, molestum admodum et i
boriosum fuit opus. Nec quidem facile fuit, interpolando per differentias primas, secundas, et tertio &C. Losarithmos supputare. Quo itaque absque tanta mOlestia numerorum Logarithmi obtineantur, magni viri Ne tonus, Mercator, Gregoriua, Mullisus, et nuper Halleius series infinitas convergentes dederunt, quibus expeditius et certius Logarithmi, ad quot volueris loca supputati, haberi possunt. De hisce seriebus eruditum Tractatum scripsit peritissimus Geometra Halleius, inter Ahia Philosophica Societatis Regiae extantem, ubi series illas nova mothodo demonstrat, modumque Computandi Logarithmos per eas docuit. Liceat hic subjungere novam seriem, ex qua expedite et facile fluunt garithmi saltem pro numeris majoribus. Sit E numerus impar, cujus quaeritur Logarithmus, numeri Q - I, E - I erunt pares, et proinde dabuntur eorum Logarithmi, et Logarithmorum differentia, quae dicatur 1. Quilietiam datur Logarithmus numeri, qui est medius Geometricus inter numeros Σ - I et et in I, aequalis scit. semisummae Logarithmorum. Scries a κλ . 1 7 181 3 et
I 5lao z7 252CO κ' erit aequalis Logarithmo rationis, quam habet Geome tricus medius inter numeros α - i et z Φ I ad Arithmeticum medium, scit. numerum T.
Si numerus superat Iooo, primus seriei terminus -- π
327쪽
lassicit ad producendum Logarithmum ad tredecim vel quatuordecim notarum loca; secundus terminus dabit Logarithmi loca viginti. At si et major sit quam Iomo, Primus terminus Logarithmum exbibet ad octodecim figurarum loca, et hinc ejus usus Optimus erit, in supplendis Logarithmis Chiliadum a Briggin praetermissas. Hujus rei capiamus exemplum: sit inveniendus Logarithmus numeri 2 o I. Logarithmus numeri 2oooci idem est ac Logarithmus binarii praefixo Indice 4: citdifferentia Logarithmorum Io o et 2 Oa, idem est ac differentia Logarithmorum pro Numeris I COO et I OL, scit. Ο, 43 27a 7687. Haec disterentia si per ψα, scu8mo , dividatur, quotiens - erit O, O OO OOUO5 428I3
erit Logarithmus numeri zocio I. Hinc Patet, ut habeatur Logarithmus ad quatuordecim loca, non opus esse producere quotum ultra sex loca. At si Logarithmus ad decem tantum figurarum loca habere velis, ut a Maequo in suis tabulis factum est, duae primae quotientis notae susticiunt. Et si hac methodo computentur Logarithmi pro numeris supra a oo; labor omnis vix pluris erit, quam qui in exscribendis numeris impenditur. Haec Series ex iis, quae ab Halleio inventae sunt, facile sequitur; qui autem plura de iis scire cupit, Praefatum Tractaturn adeat et discat. ODistiir orale