장음표시 사용
271쪽
TAB. II unde eo minor erit nune aberratio, usurpando formulam re- Fig. . cens inventam. Pergimus jam ad aliud Theorema solutioni senerali viam sternens: Si eum dividatti in partes not-eunque aeque ampla M. I. II, II. III die. ad singula divisi num puncta ducantur normales, ad easque exm demittantur perpendicula M, Na, cte erit radius eirculi, cujus arcus, curvae aeque amplus, eidem simul longitudine aequalis. α
mero partium, in quas arcus est divisus. Dem. Si amplitudo, seu ang. NM erunt anguli AN trio II re, te. Si jam singulae arcus propost o portiones secundum Theorerna primuin exprimantur erit
Se dc ultima formula, mi in Fig. assumituris L errit
274쪽
Omnes autem hos terminos inferiores se mutuo tollere, ita, ut remaneat sola linea superior, brevius ostendetur per An lysin sequenti modo ob angulos singulos cognitos erit.
Hine sermulae, ex Theoremate primo ortae, erunt
ma formula, ante posita. Q. E. D. Patet ergo hane fornui- Iam exhibituram longitudinem curvae exacte quidem, si divisio haec in infinitum produceretur, praetereaque multis in casibus specialibus vero autem eo propius, quo haec, etsi sint. is longius continuetur Ex his jam pervenitur ad solutionem Probismatis generalis Data curva quavis AB, quae AB. III ubique ad eandem partem si concava, ut bactenus semper te. . in postum invenire arcum circuli ab ipsi proxime aequa. lem Dueautur nempe ad terna nos ejus A, B, normales C.
275쪽
BC, concurrenteii C. Vocentur Is a BQ d --plitudo, seu ang. ACE 4. natura curvae dabitur relatio inter coordinatas quasvis P PM ms ct anna M. quem normalis in cum c constituit, cujus nempe tang. Ex Lo unde tam . quam , poterunt defini.
ri per v quibus inventis erit MN Dei in in si opus, productam ex C demita perpendiculo CS, ob
j xx es ideoque tota recta ψα a , regis , In v ita ut ad datum quemvis angulum, Iongitudo rectae ΜS definiri queat. Inoicetur haec recta in amplitudini cuivis v respondens hoe signo bd ita, ut similes rectae, respondentes angulis , o cte exhibeantur his fgnis
, fra, thui uixenns, sequentes formulae
continuo mugis ad valorem areus M appropinquabunt t
Generatim autem, si numerus divisiouum sit , habebitur, lor arcus eo exactior, quo inajor est ne
Quodsi ergo radius circuli ab, qui intra crura scin BC eonianitinus, aequillis fit curvae AB, dieatur erit reus M in I unde istius circuli radius reperietur r
276쪽
E Itaque solutionem Problematis quae an ambitu suo, an elegantia, an simplicitate se magis commendet, dicere vix postumus. Quod jam ad ipsum ejus usum attinet, patet, requis rere eam generatim divisionem angulorum in paries quotvis aequales id quod cum geometrices facile peragi nequeat, nil continua bisectione, pro numerois conveniet assumere suecessive terminos progressionis geometricae duplae a, 4, δ, c. Hos autem numeros pro Muecessive assumendo id simul commodi emergit, ut termini jam inventi, continuo in expressiones sequentes ingrediantur, seque labor c. Iculi non parum minuatur. Valores nempe ptius sequenti modo a praecedentibus, ct quidem accuralius, determinantur: Ubi adhue notandum, quoci, si valor secundus si se verit tunc, quantum primus P a vero vel deficit, vel id exeedit,
tantundem quantitas I excedat, vel superet, ideoque
quantitates mi constituant limites, intra quos radius Heontineatur etiamsi autem Bion sit verus valor tamen, quia multo minus a veritate dii Tert, quam P, easdein quantitates adhue pro limitibus haberi posse similique modo, ob valores sequentes, veritati continuo magis appropinquantes,
continuo fiunt adeo arctiores, ut mox disserentia fiat insensibilis. Ceterum iidem limites eliciuntur quoque e methodo Emisuiliana per motum reptorium 3 quod etsi eonsensum L a utrius-
277쪽
utriusque methodi egregie declaret, inficias tamen ibit nemo. praesentem hane, merae nalysi superstructam insigniter an tecellere illam, quae in ipsa applicatione haud parum dismeuhalis habet; meterea eum haec quoque, si divisio non percontinuas bisectiones instituatur, semper tamen applieari pos-st, ideoque multo latius exiendatur. Hace nunc solutione generali tradita, Cel Autor usui elia declaraturus, applicat eam ad dimetiendas varias curvas simpliciores, obvias. Priis mo, proposita ellipsi quavis, invenire docet radium circuli, TAB II eujus peripheria si aequalis proxime ejus perimetro Sit a nempe ACB quadrans ellipseos, cujus semiaxes BC, cum sint ad curvam normales. erunt AC a st BC, b, de amplitudo perit atagulus rectus, qui dicatur m e. Ex aequatione ellipseos habetur tang.
unde factis debitis substitutionibus in valore generali ipsius in supra allato, habetur Μῆ quae per D designatur m saa. f. v l M. . se . Cum itaque si si proti Leeessive sebstituantur partes aliquota anguli rectio, erit
His igitur sihgulis valoribus inventis, erit radius eireuli quaesi
vieque valor, quo major accipiatur divisionum numerus, eo propius radium quaesitum, exhibebit. Q. E. I. I ponatur simi. Diuitiae by Orale
278쪽
semiaxIs major semiaxis minor fiet, facta substitutione positisque duabus reetis vis rimqua sermula sequitur elegantissima constructio, similis et, quam dedit Bernoullius e Super diametro a J TAE III conmtuatur semicireulus, qui in partes quotcunque aequales Fi dividatur in punctis , b, c, α quarum partium numerus si Tum, secta diametro Qui in C ita ut sit AG a BC ex Cis sngula divisionum puncta agantur recta CG in Cis e. eritque, si arcus o contiuneatis partes, recta Ce ti Φ ae Ducto enim ex centrois radio Oe, . erit angulus
lach, d, ideoque recta C in Q mi Quamobrem radius cireuli, eulipsi propositae seperimetri, erit
E. F. Mittimus alias formulas, ad ipsum approximati ni calculum adhue commodiores, nec non exempla speci lia ejusmodi ealculi pro ellipsibus variis quarum semiaxes rationem simpliciorem inter se tenent; unde quidem appare series has mirum quantum convergere, adeose ut e g. expresso sexta praebeat valorem ipsius, ad 24 notas exactum. Ex iisdem principiis invenire docet generatim dimensionem ell,pfium, non multum circulo abludent tum, Porro eandein methodum applicat ad investigandam longitudinem parabo-he quae cum ut conflat, a togarithmia pendeat, hine mulemergit relatio inter quadraturam circuli octogarithmos. De-
279쪽
nique eodem moda tractat Teloidem de reperire docet raodium circuli cujus quadrans aequetur proxime armi cveloidis. Sed satis diu in his Orati tempus est, ut ad alia quoque Sebediasnata pedem promoveamus. Secuta nempe compa- ret loco G. N. vastitit Induruis focorum in omnibus currispos bilibus. Quaerit hic Autosian in aliis quoque praeter se mones conicas, curvis detur focus non geometricus, qualem aliqui definiverunt in sectionibus coni ibi esse,ubi parametro ordiu et aequatur, sed verus, seu physiciis; ubi radii omnes, ex uno puncto lueido egredientes, iterum colligamur exacte in pu cium aliud. 'roposuit itaque sibi Problema hoc generaler Invenire curvas omnes, proprietate dicta gaudentes idque solvit per methodum tangentium inversam. Resultat inde stala ellipsis, , si punctum radians in infinitum abeat parab la conica, patetque, perperam tribui secum ellipsibus, aut parabolis altiorum generum. Si nobis liceat verbum addere, Problema praecedens, quod per calculum tractatum, deducit
et . ad aequationes isserentiales satis prolixas, ita duabus fere lis Fig. 4 eis, per Πῶysin mere geometricam, solvi potest. Sit Morva, radios omnes, e B egredientes, colligens iterum in
C; elementum ejus m radius aliquis incidens Μ, ejusque reflexus ΜC hisque tufinite proximi Em, C; e centris denique B, C, ducti arculi R, S. E natura reflexi nis est angulus Am, seu mym tang. mm ct ad R, S, sunt recti ergo Δ R. mm, aequantur, estque x MS, hoe est, incrementum ipsius Μ, decremento ipsius MC. Quod cum in omnibus purictis locum habeat e primis MIalyseos infinitorum principiis liquet ipsas ΒΜ messieere debere summam constantem. Hanc vero proprietatem nulli curvae, praeter ellipsin conicam, competere faciale ostendinici a punctum B statuatur in infinito, eodem Pag. 49. modo prodit parabola Sequitur 3 Iuleri Solutio Problema. tis disseillimi a Fermatio propositi. Jam multae comparuerunt et Autoris circa ejusmodi Problemata numeri mi phantas, seu Formatiana, in Commentariis hisce disquisitiones qua occasione jam quae de iis, eorumque analysi,
280쪽
generatis dici possunt monuimur. Praesens in quo laborat, a Fermario propositui in Mot ad Divbantum Bacheti, ab eoclii pro distieissimo habitum hujus est tenoris . Invenire triangulum rectantulam in numeris rationalibus ex pressum cujus uterque cathetur, area usus triangis mimum Produem numerum quadratum Equidem rei natura non per mittit, ut solutio esus generalis, quae omnes omnino casus polIibiles contineat, assignetur; quare tres solutione traduntur speciales attamen formulis generalibus, quarum quaevis infimio adhue sub se castis singulares comprehendit. Exem
plum simplicissimum in numeris videtur id, ubi eatheti sunt
Earii, Nereia Arithmetices, novis a se inventis aucta, in Epistola, Vindobonae A. ad athematicos data . sed quae A. ir 8 demum ad Academiam Petropolitanam pervenit, expol a. In qua cum specimina exhibere voluerit Autor, unde pateat. quid in Analysi tentaverit, ct quae numerorum detegere valeat mysteria, huneque in finem tradiderit triadem Problematum. ad numeros perfectos spectantium. Noster, ab Λcademia haec examinii subjicere jussus, invenit, omnia parum cino niti fundamento licque etiam Horatianum illud parturiunt monterlocum habere. mae occasione autem ab ovo orsus est in Ggram numerorum persectorum theoriam, qπaeque hac de re hue usque detecta sunt, clare ante oculos posuit. Accedimus Cain ad G IV. Masstium de numeris amicabilibus. atiisque,ad hanc doctrinam spectantibus Enarrat primo Clusi Autor, quid ad- . huc in hoc argumento actum sit a Mathematicis. Cum vero hi omnes derivaverint numeros hosce saltem e potestatibus bina. iii intellexerit autem Noster a Cel. Fulero, ipsum longe latius Problema istud extenduis ipse etiam in hae palaestra vires