장음표시 사용
141쪽
mus. Itaque pisatij vim sic innuit Euclides,
io Quum tres Magnitudines fuerint proportionales dicetur proportio primae ad tertiam sicut proportio primae ad secundam duplicata
Desinit Proportionalitatem ttium Quantitatum. Cuius Definitionis explicatio haee est. In proportionalitate trium Quantitatum,latet Qua3rati natura. scilicet ran . tum producunt duo extremi termini inter se, quantum medius in se. Ob id propor tio extremorum inter obest duplum proportionis primi ad secundum. od nisi pet Numeros satis desinite exponi nequit. sint 1 ad 4, ut 4 ad 8. Haec est proportionalitas Continua in dupla ratione. Duco Lin g, sunt 1s: & tantundem producunt in se. Itaque, ex definitione, erit proportio 1 ad 8, denominata Quadrato Binaris, proportionem primi ad secundum denominantis: nempo quadrupla. In tripla ratione, sint L ad 6 ut G ad 18 Denominationem proportioris pii mi ad secundum, nempe 3,duco in set fiunt nouem, denominator proportionis 1 ad 18. Atque haec est De finitionis sententis: ex qua binatij, ternarii, & quaternarii elicitur mira colligatio. Nam in tribus Quantitatibus quatuor insent: atque huius affinitatis binarius est in dex. Huius enim numeri singularis proprietas est, quod tantum eisciat duplicatu , quantum in seductus. Ea re Eucliὰes duplicatam proportionem dixit. quasi quadratam : proptcrea quod binarius Q adiciti euindex e ut caeterae denominationes naturam pa istae sequerenturi scilicet tripla propolito duplicata , eadem esiet quae in educta. QDadratum itaque per pinarium ligniscatur, sicut Ctibus per Ternalium, QDadratumquadrati,seu,vt vulgo dictit, Censuscensis,per di aternalium:&SDper
' solidum, Relatum primum dicunt, per Q inaritim : sicq infiniter Quod nos satis
luculenter exposuimus in pi iore libro nostrae Algebrae. Quum igitur Quantitatem quantitati comparamus,unitas repraesentatur in Numeris: in C5tinuis linea.Trium ero ut alitatum sollatio in Numeris, Quadratum: in Continuis,Supei ficie quatuor denique proportio in Numeris, Cubi m : in contin Dis , solidum. Haec autem speculatio in immensum patet. Hinc pendeti csinitio sequens.
ii Quum quatuor Magnitudines continue proportionales fuerint: dicetur proportio primo ad quartam scut primae ad secundam triplicata: ac semper O dine una plus, donec sit absoluta proportionalitas
Quatuor Quant latum continua proportionalitas. Cubi includit naturam sicut trium, Quadrati,vi modo diximus. Cubi autem index est Ternarius. Proportio it que primae ad quartam, est proponio primae ad secundam triplicata: nempe Dei, minatore in se cubice ducto. Vt in Numeris, sint 1 ad 4 ut 4 ad 8 & 8 ad 1 c Denotaminator proportionis, est Binatius. Duco itaque Binarium in se cubice, sunt gi Atlanta est proportio primi ad quartum: scilicet, 1 ad 16', ochupla. In quinque autem Positis,etit proportio Primi ad quintum quadrupla quam pituit ad secudum: in sex, quintuplar sicqi continentςr, donec ad ultimum par Magnitudinum perueniamus. Atque haec est Definitionis semetia, sed quia natura supra Corpus nihil habet quod
sensui exponat, in Ceometria non considerantur proportionalia ultra quatuor posta In Numeris autem,qui lant velut interpretes qbidam remi continuarum vi omnia quo formam habent,infinita esse ostsi detentur aperte in immensum exurgunt pt gressiones Proportionalit tum,nlphiumqt specierum qum normam recipiunt Da- ii sensu finitus antellectus vero interminatus esse comprobetur. Huc autem Nume ros asserte suit necessarium. Dupla enim & tripla ratio Numerationem prae se feti: neque aliter quam per Numeros expediti potest. 1 2 simi
142쪽
LIBER V. ii similis rationis Magnitudines dicuntur,Antecedentia antecedentibus Se Consequentia consequentibus.
Similitudinem Rationum Mawὶ propolit: hoc es roportionalitatem:hic simialis rationis Magnitudines stis appellationibus mancupati ac si diceret, Magnitudines Propomonaleς signasibantur quatenus antecedimi&consequuntur. Scilicet sumuntur aequemultiplicia Antecedentium, & aequemultiplicia Consequentium: ut ex iis proportionalitatem Magnitudinum colligamus. Hanc itaque apposuit Euclides, ut vocabula, quae dicunt, artis exprimeret. Antecedentium autem & Consequentium variis sunt comparationes: quae Desinitionibus sequentibus explicantur.
13 Permutata Ratio, est acceptio Antecedentis ad antecedens, ut Consequentis ad consequens
Prima comparatio Magnitudinum,quae pronuntiatione naturali, est unius Anteisi dentis ad suum Consequens, sicut alterius Antecedentis ad sutim . Consequcias, dux est atque origo caeterarum comparationum: ME primum rimulatae: in qua mutatur secundum Antecedens ini. . prius Consequens, & prius Cosequens in secundum Antece3enue., . , Ux A M sicut C ad Σ : &concludatur, A ad e sicut , ad D nare Permutata dicetur Ratio.
14 Conuersa Ratio,in acceptio Consequentis tanquam
. A antecedetis, ad Antecedes tanqua cosequens.
. Un conuertuntur duo Consequentia in duo Antecedentia, contra. Vt si fuerit A ad a sicut e ad D 1 & concludatur conuer so modo, 3 ad A sicut D ad c.
is Coniuncta seu Composita Ratio, est acceptio Ant cedentis cum consequente instar unius, ad ipsum
A Consequens ut si fuerit 1 ad A seut e ad B :& concludatur, totum A a
ad n se totum c d ad D 13icetur Comuncta seu Composita Ratio
is Disiuncta seu Diuisa Ratio,est quum augmenta Amtecedentium supra Consequentia, ad psa Cons
. ---A Vt si fuerit totum A s ads sciat totum c D ad n &eonesu. e datur, A ad 2 sicut c ad D. Et est couersus modus Coniticta .
1 Euersa Ratio, est quum Antecedentia comparantur ad excessus quos habent supra Consequentia.
, Euerso Rationum, sit quum Antecedens comparatur cum ea quam habet ag Consequens disserentia. Vt s suerit 1 a ad , scut e D ad D 1 & concludatur, sicut Aa ad Α, ita c D ad e
18 Aequa Ratio dicitur, quum plures Magnitudines hinc inde aequali numero sumptae,& binae compa
143쪽
ζῖ ELEMENT. EVCLIDIS ratae fuerint:tum aequali mediorum numero subla
to,fit extremorum Vtrinque Comparatio. Vis sumantur Magnitudines A, B, ec C: Namq; to idem D, E, & F : siue sint eluc A. tur L ias sicut D ad Ε, & s ad C setii a ad I s i sue orgine conuerse ut si dicatur Aad, e G scut si ad F,& a ad c scut D ad a tat omissis messiis utrisqj B & s , concludatur A ad c sicut o ad F : Haec argumentati dilatio dicetur,ab AEqua proportionalitate.
144쪽
s quaelibet Magnitugines totidem Magnitudinum
singillatim aequemultiplices fuerint: quam multiplices sunt 1ingulae singularum, tam multi-
sint Magnitudines Aa & CD, totidem Magnitudinum a & s aequemultiplices: licet As ipsos a & cti ipsus p . Dico , quammultiplex est ΑΒ ipsius Ε,& en ipsus s i tam multiplices esse ambas AB, CD, ambarum Ε, F inoriam enim aequemultiplex est AE ipsus s. ut ea ipsius si quot in Aa sunt, o is, , Magnitudines, aequales ips g totidem erunt & in eo ipsi s aequales. In A 3 igii tir snt Magnitudines Ac, CR& D p aquales ips s:&in eo sint totidem numeroe κ α m Nagnitudines, c κ. c L, & LD aequales ipsi p. QDum s itaque multitudo Magnitudinum in a a & in cn sit eadem 1stq; A G ipsi g aequalis, & c x ips p ertint,per communem Notionem, δυχ A G & c κ simul sumptae duabus Ε N s simul sumptis xqtiales. Quumq: G s sit eidem a aequalis: & x L eidem p : eri r qtioque GH dex L smul semptae ipsis A &p simul sumptis aequales. Atque eadem ratione NA &Losmul semptae, i sciem Ε & s simul sumptis aequales. Qt ot igitur in A s sunt Magnia tudines aequales ipsi A quotq: in C D ipsi s tot sunt in Α Η & c d simul sumptis ipsis a & s sititii sumptis aequales. Quammultiplex igitur est A s ipsius a , & c D ipsius sitam multiplices sunt A B, c D, ipsarum Ε, s, Quod erat ostendendum. v v M autem huius prima Propositionis vim rationemq: perpenderimus , totam in communi iudicio suam elie ita telligemus.Nam quum iacittit,si m qualibus m alia a33anthr. coniuncta aequalia serii nihil aliud qtiam aequalitas proportionum signifieatur sellieet si fuerit M aequalis Ni& o aequalis p quatuor habeo ut antit o tes proportionales. Est enim sicut M ad v, ita O ad p. si igiti r ad , damus o ipsi M, & s ipsi N : set totum M o , aequale toti υ p. Ita,' qtium Aleo λ s ilip tim esse ipsius Ε, & c d ipsus p : hoc tacite δι
co s Α Η ad scitur ad c & L addatur ad p : totum A B, C D,e1ie triplum totius Ε, F. Sic aequalitas omnes proportionu species dirigit & gubernar Ac quemadmo/um aequalitas aequalitati addita, aequalitatem conseruat: ita multiplicitas, ut sic dicam, multiplicitati addita proportionalitatem retinet similem. Sed in quatuor Magnitudinibus aut plutibus aequalibus, nihil refert qtiae eui praeponatur: Mutato enim ordine , non mutatur denominatio. Quum veto Occurrit inaequalitas, distinctius a maduertendum est. Maiori enim arte opus est in iis quae ncn Ordine collocata confusorem parere solent. Tota igitur propollionum materia fere in communi intelli gentia consistit. Nam quod tam dissici is habita si ex praesumpta quadam opinione factu est. Roportionu enim tractatio obscura non est: sed eam ad usum traducere,id demum opeiosum est Aliud enim est artem tenere,& aliud ad rem suam conuertere. Sicut in rebus gerendis, quid optimum sit multi in otio scienter di putanr. At quum in rem praesentem ventum est: quod ex usu est, vix unus aut alter exeqLi meminit. Nulla, itaque Propositiones in hunc in intum Librum Euclides contulit, quae pro principiis habensae fuerant. Sed id exquisite fecit ut significaret propositionum qui dem cognitione in medio esse postam, sed earum usum dissicilem. Hune igitur Librum
145쪽
brum diligenter amplectantur qui Geometriam serio secere volent.Geometria enim quantacunque est, tota in Proportionibus esse neque aliud quicquam spectat, qtiam vi Lineas Lineis, superficies superficiebus , & Corpora corporibus eomponat &eo halet Atque haec in hac prima Propositore praefari,non abs re nobis visum est
Si prima secundae teque fuerit multiplex ut tertia qua ta fuerit autem & quinta secundae s quem ultiplex visexta quartae: prima quoq; & quinta, secundae aeque multiplex erit ut tertia de sexta quartae.1n hac de sex Magnitudinibu agitur. Sit itaque A a prima, c secunda, o 3 te tia, s quarta: B c quinta, & E H sexta: siq: prima A s, secundar c, ut tertia D s, qua tae s aequemultiplex: Et quinta rursus B eiusAemc secunὰat : ut sexta s s , elucdem p quartae aequemultiplex. Dico compostam ex prima & quinta, scilicet Α , ipsus secundae e aequemultiplicem, ut eompostam ex tertia & sexta, stilicet DB, A B a 4 ipsius quartae P. QLoniam enim a s ipsus c aeque est multiplex, ut D E ipsus s i quot in As sunt Magnitudines Us c aequales, tot & in Da ipsi s. Rursus quo- Diam 3 o aeque est multiplex eiusdem c , & g neiusdem s: quot in Ac sunt Magnitudines ipsi caequales, tot & in s N eidem s. Qi ot igitur sunt Magnitudines in tota ips exquales, tot sunt & in tota D R Us p aquales. Quammultiplex igitur est composta A c, ipsius c secundae, tum multiplex ess, per antecedentem, composta D M , ipsus
s quartae, Quod fuit demonstrandum.
Si primum secundi aeque fuerit mutiplex ut tertiu qua ti, suma fur autem aequemultiplicia primi & tertiit erunt quoque multiplex primi, ad secundum,& multiplex tertii, ad quartum aequemultiplicia.
Hac etiam sex interueniunt posita. sit enim primum Α , sicundi B, ut tertium ci quarti D aequemultiplex sumanti icti ipsorLm A & c, aequemultiplicia ε 3 &CH. Dico a s ipsitis s,ut G n ipsus D aequemultiplex. oniam enim aequemultiplex est Es ipsius, victi ipsus et M F c quot in E p sunt Magnitudines aquales ipsi A, tot in o D mut
nes c L & L M, aequales ipsi c. Et quoniam aquemuitiplex est . . A ipsus B,ut C ipsus D : erit quot E κ ipsius B aequemultiplex, G ut et ipsus D. M per hoc,aequemultiplex est x L eiusdema,& LN eiustam D. Quoniam igitur, ut ponit secunda huius, primum s Ε, secun3i B aeque est multiplex it tertium C L, ipsus D quarti: est autem& quintum k p, ipsus 3 secundi oequemultiplex ut sextum L N ipsus D quarti: Et compostum igitur primum & quattum g s, ipsius a secundi aeque erit multiplex, per eandem, ut tertium & sextum GH, ipsius D quarti, Lod erat demonstrandum.
Si primum ad secundu eandem habuerit rationem quam
146쪽
LIBER V. tertium ad quartum,primi autem & tertii Aequemultiplicia sumantur, itemq; secundi & quarti: ipsa quoque Aequemultiplicia iuxta quavis multiplicationem,
eandem inter se rationem habebunt.
sit eadem ratio A primi ad s secundum & e tertii as L quartum: snto s Id A &r ad c , itemq; C ad B ad D aequemultiplicia. Dico esse s ad c scut s a9 H. sumantur x ad Ε & L ad p : itemqj M tid ti & M adH , aequemultiplicia.Et quias N s sent ipserum Α & caequemultipliciar itemqι x & L ipserum s & s aeque multiplicia: erunt, per antecedentem, X & L ip tum A & c aequemultiplicia:ac per eandem, M S N ipserum a & D aequemultiplicia. Quare,per couersonem sextae Definitionis, x ad D & L ad N similiter se habebunt in addendo , minuendo , & mquando Quia ergo x & L, ipserum a & s sunt aequemultipliciar item . M & Nipserum C & n e erit, per eandem directam , E ad usicut s ad M, Quod erat demonstrandum. L s M M A, seu sumptio. Quoniam igitur constitit s x excedit M, etiam L exced re N he si aequale,aequale & si minus, inus: atque ob id,s M excedit x, etiam N e cedere L & si aequale,aequale & si minus, minus: Etit ex hoc, o ad Ε &H ad p e dem ratio. Hinc consequitur,
Si quatuor Magnitudines proportionales sues in conuem so quoque modo proportionales erunt.
Hoc est,si fuerit sicut , ad a, ita c ad n erit & setit vi ad Λ, ita D ad C. Haec igitur onuersam rationem probat, quam in deei aquarta Definitione posuerat Euclides.
TNE CREMA ue, PROPOsITIO V Si Magnitudo Magnitudinis aeque fuerit multiplex ut oblata ablatae: erit Ec reliqua reliquae tam multiplex,
sit tota AB rotius c D aequomini plex,ut ablata A s ablatae c s. Dico reliquam En 1eliquae D s tam multiplicem, quam est tota AB totius c D. Quam multiplex est A A ipsius C F, tam multiplex fiat ΕΒ ipsius cc. Eritq; , per primam huius, quam multiplex AE ipsius Cp, tam multiplex AB apsius G p. At quam multiplex eth AE ipsius Cp, tam multiplex est AB ipsius C D , per hypothesin. Et AB igitur utriusque C p & c D est ae quemultiplex. AEqualis est ital,per communem Notionem, cs ipsit CD: quapropter ablata Communi c P : erit reliqua Cc, reliqua: PD qualis Sed ga aequemultiplex posita est ipsius G c ut ΑΕ ipsius C F. Igitur tam multiplex est E s ipsius PD, quam multiplex est ΑΕ ipsius cp. Atqui per hypothesin, A E tam multiplex est ipsius C F, quam tota A B totius C DEt En igitur ipsius F D tam multiplex, quam tota AB totius CD, Quod erat demonstrandum. Hrage Demonstratio,vt vulgata ita cerea est. sed tamen quia id exigit quod non dum doeuit Euclides : siciliret ut tam multiplex sat s s ipsus c ci , quam multiplex est A s ipsus e s serupulo non vacat, apud eos praesertim qui res petipicacius ex minant. Nam si linea A E esset, verbi gratia, triplex ipsius C F e qua ratione fiet a ni triplex
147쪽
triplex ipsius c quum id non ante soceat Euclides quam in duodecima Sexti Du tiusculta enim est ut id cogamur facere aut concedere quos posterius erit e3istendu Huic igitur obiectationi se octurremus, ut dicamus hanc diuisonem in hunc lo cum tantum recipi doctrinae gratia: scilicet ut proce3at Demonstratio, non quo stad usum praesentem exquisite necessaria. ponimus enim Lineam Lineae aequalem licet huiusmodi aequationem nondum didicerimus. Sunt enim hypotheses liberae vedisciplinarum fundamenta iaciantur. Sed tamen hunc scrupulum vitabimus hae ratione. sit Magnitudo As Magni
cet ludinis c D aequemultiplex, ut ablata A g ablatae c s. Dico reliquam a steliqua Dp aeque multiplicem,ut totam Ap totius cD.
Quam multiplex est A a ipsus c s , tare multiplex ponatur A ti ipsus s D. Eritqι, per primam huius,quam multiplex Α s ipsus c s, tam multiplex a o ipsus e n. sed se suit multiplex As eiusdem C D. Sunt igitur x sς s c & As aequales. Communis auferatur erit Α ipsi A B aequalis. i, Et quia seut Α κ ag e s ob id , sicut A s ad c D) ita A C aA F D : erit M. l, seut Aa ad c D, ita Es ag c s, Quod erat demonstraneum. A L i v D igitur est, lineam terminatam 3e coactam qualis hoc loco estv B) in partes neeessarias secare: de aliud, lineae terminatae, qualis est s D , partes aequales creare, ut in A C. Demonstrationem tamen aliorum nolui omittere: quoa subtilis si, & ad similes reperiendas ingenium acuat. Probabimus & ab impossibili. sit tota As totius c D tam multiplex,quam ablata A s ablatae e s. Dico reliquam AB reliquae os tam multiplicem, quam tota est
Si enim non tam si multiplex, erunt in As aut plures aut pauciores Magnitudines ipsi s D aequales, quam in Α Ε ips cs. sint ergo si possint, plures: Et ponatur E tam multiplex ipsius p D, quam As ipsus e r. Erit , per primam huius, tam multiplex Ac ipsus e D, quam Α Ε ipsus is c s. sed A a posita est tam multiplex ipsius C D , quam eadem A s eiu dem csa Erit igitur,per communem Notionem, A ci Us As aequalis,pars r toti, Quod est absurdum. Simili argumentatione probabimus pauciores non esse Magnitudines in s B aequales ipsi s D, quam in Α Ε, ips cs.' Sunt igitur totidem multitudine. Quare & totidem quot in tota A s totic D , Quod suit demonstrandum. Hoe Theorema Campanus sic proponit,
Si fuerint duae Ouantitates quarum una sit pars alterius, minuaturq; ab utraque ipsarum ipsa pars: erit res quum reliqui ut totum totius aequemultiplex.
Patrem hoe loco pro submultiplici simit sit ita ualitas Α n tanta pars Quantitatis c D, quanta g a ipsus As : minuatur A p ex Quantitate c D , & reliquum sit scrut ps sit aequalis Ap. minuatur etiam sB ex Qualitate A B, & sit reliquum ΕΑ. Dico reliquum pC tam multiplex esse reliqui Ag, quam multiplex est totum
e s Quum enim s D sit aequalis A B, erit s D ita multuplex A p ut o D est multiplex A s. Ponam itaque D GA N A tam multiplicem A E , quam s D est multiplex s s. Eritq; , per primam huius, Fc tam multiplex As, quam so est multiplex ga. Et quia se fuit c D multiplex AB, vi s D multiplex E B : 'erit utraque duarum antitatum c d & p C aequaliter multiplex inantitatis A s. Quapropter, excommuni Notione, en & sci sunt aequales. Dempta igitur sD ab utraque ipsa rum : erit C s aequalis D c. Et quia D G sc suit multiplex A s sevi s D multuplex g si ob id, sicut A a multiplex a s t ob id , sicut e D multiplex Α Β : erit
148쪽
es ita multiplex A E ut tota CD totius AB, Quod er:
si duae MagnituAines duarum Magnitussinum aeque multiplices fuerint, auferanturq; aliquae earundem aequemultiplices: erunt Ec reliquae vel eisdem aequales, vel ipsarum aequemultiplices.
sint duae Magnitudines, as quidem,Magnitudinis Ε & c D, Magnitudinis saequemultiplices: te ablatae ex his Ac&c H, earundem Ε & s aeque lint multipli-
E . ses, aut ipsarum aequemultiplices. κ in Μ o sit enim primum c B aequalis ips p Dieo & n D ipsi .. F esse aequalem ponatur ipsi s aequalis e x. Et quotaniam aequemultiplex est A ipsus a ut C H ipsus p t aequalis autem es ipsi s.& ex ips s: aeque igitur, per primam huius,est multiplex AB ipsus E, ut Nκ ipsus s. sque autem ponitur multiplex AB ipsuss, ut cD ipsus s. AEqualis igitur est Mκ ips c D. Communis auseratur c M. Reliqua igitur c K,
reliquae Η D est aequalis. sed s ipsi e κ est aequalis. Quare & s ipsi s d est aeqv
iis, Quod erat ostendendum si vero C s sit multiplex ipsius Ε ponam c κ ipsus s aequemultiplicem. Etit A O , ut prius, A B ipsus A aquemultiplex, per primam huius t 13 κ ipsus s. Sed S se posita sitiit aequemuim e m D tiplex A B ipsus A ut c D ipsus s. Erit igitur ν κ ipsi cD aequalis: Et ablata communi cΗ, reliqua CK, reliquae N D re alis Q Dare quum G κ stipsoss aequemultiplex ut Gn ipsus Ε erit & BD ipsius s aequemultiplex ut o B ipsus
x, Quod fuit demonstrandum. HIE c Demonstratio prima specie videbitur non plane satisfacere menti Eucli ius. Nego enim, inquiet aduersatius, ablatam C a pose esse mqualem ipsi Ε nego id quoque, pose esse multiplicem eiusdem quin tu hoc proba sed id propius intuenti probatiore non indigebit. Nam quum Ap si multiplex ipsius Ε : erunt aliquot Magnitudines in A s aequales ips s. Quum A C itidem si multiplex ipsius Ε erunt & aliquot Magnitudines in aequales ipsi s , sed pauciores quam in A B. Supererit ergo, ut reliqua si aut aequalis ipsi s , aut eiusdem multiplex. V T tamen omni ex parte integram demus Demonstrationem Sit Magnitudo A p, , is , . Madnitudinis c D multiplex aequalium partium fessi
--- - cet c D cotineatur aliquoties ira A s, vi nihil superst):
e A Et ri A s auseratur A s, quae sit multiplex & aequalium partium eiusdem c D. Dico reliqum g s, eidem CB aut esse aequalem, aut ipsus multiplicem aequestum partium. Si enim neque si aequalis,neque multiplex: ponatur Ε p ipsi c D aequalis: vi reliqua s B si minor c D , si seri possit. Et diuidatur A s in Magnitudines Us e Drequales: stilicet in , & s. Quoniam igitur A C , Ε , & s s sunt ipsi C Daequales, sed F A minor ipsa c D : non diuiditur ergo tota A B in partes ipsi ctiae quales. Non est igitur ipsus multiplex aequalium partium, quod est contra hvpotheia . Addidi aequalium partium propter id quod diximus initio Definitionum, ver bum Multiplicis etiam aὸ inaequesitatem extendi. sed inter Aocendum, ob facilita tem assiimuntur equesta Multiplicia.Inaequalium emim,nempe superpartientium 8e superparticulatium taediosa Ze obstina est diui .sed tamen utrobiq; ratio eagem.
149쪽
Aequale ad eandem habent eandem rationem: & ea dem ad aequales.
sint aequales Magnitudines Α & p : alia autem quaevis Magnitudo C. Dico utramque & B , ad ipsam C eandem habere rationem: Et c, eandem rationem habere
sumantur ipsarum Α & n aequemultiplices D & Ε ipsus vero C, alia utcunque multiplex s. Quoniam igitur aequemultiplex est D ipsius A vi s ipsus f : προ iis autem est Α ipsi x t aequalis igitur,per communem Notionem, erit D ips E. Si erago excedit D ipsam p, excedit Ee E eandem p & s aequalis, aequalis: he s minor,
minor. Est igitur vi L ad c, se B ad e, per sextam Degnitionem huius, Quod est
Dico etiam c ad virisque ipsarum A N B eandem habere rationem. Nam iisdem postis, erit, ex communi sententia, aequalis Do. . . ipsi A. si igitur excedit F ipsam D , ex dit & ipsam A ae . . a : Et s aequalis, aequalis: & si minor, minor. Quare,, s per eandem sextam Definitionem, erit scut ad Α, --- ita e ad a, Quod erat demonstrandum. Hoc posterius poterit expeditius demonstrari. Nam quum constiterit seut Dad e, ita s ad ci erit e uersis modo, per Coniectarium quartae huius, scut C ad Α, ita e ad s. Et hoc Theorema ex iis est,quae inter animi sensa habenda esse videban-
THEO REMA 8, PROPOSITIO VIII. In qualium Magnitudinum maior ad eangem, maiorem
habet rationem quam minor Et eadem ad minorem, maiorem habet rationem,quem ad maiorem.
- sint dum Magnitugines inaequales, A & s c , quarum maior B c : si autem tertia Magnitu3o D. Dico, maiorem esse rationem B c ad D, quam A ad eandem D e Comtra, maiorem esse rationem D ad A, quam D ad B C. ΑΗ prioris partis gem stationem, intelligendae sunt a c prima, D secundat Atertia,& rursus D quarta.Deinde primae N tertiae aequemultiplicia, itemqi fecundae Sein , . quartae,sic constituenda:vt multiplex primae excedat multa tiplex secundae, multiplex vero tertiae non excetat multi- e plex quartae: iuxta sententiam octauae Desinitionis. od hae ratione fiet. Quoniam maior est a c quam A : p
- . . . nam 2E ips A aequalem: ac eousque multiplicabo aequa--- - - - - liter utranque partem ac & sa, vi ex Ec proueniat
quantitas maior quam n e quae si s c : & ex a s, quantitas non minor quam eadem quae si s x. Eritqυ propter aequalem multiplicationem, ν κ tam multiplex E B, quam s C multiplex s ce ob id , per primam huius,erit tota C X totius B C aequo multiplexvt pn ipsus se. Ponam insuper M tam multiplice ipsius A, quam κipsius a C, ac per hoc, am 3 K ipsius A A. Erutq; ut 1 κ & Η uales:quu utrius substultiphee, postae snt aequales.Quia igitur s κ non est ipsa D minor: ne n e iam ti minor erit Nunc aute mutiplico D, donec proueniat qualitas proxime maior quam H. scilicet sumo duplum ipsus D : inde triplum: ac δeinceps uno plus, quoad proueniat qualitas Miroxime maior quam D. sumo postmodii ipsus D multiplicem quantitate proxime minore multiplici M e quae sit L : ut ipsa M costet ex Ide D.Fin
150쪽
ae non minor quam n i quum M si proxime maior ipsa H. Quum ti si aequalis s K: non erit v x minor L : Neque item p κ &D, minores erunt quam L 3c D : ac propterea non minores quam M. Et quia F c est maior D i erit tota C x maior M. Quum
ad primam ne & tertiam Α, sumptae sntaequemultiplices GK & n ad secundam vero & quartam squae est eaAem D) aequem tiltiplex M sumpta sit, instar duarum i Ee C κ multiplex ptimae excedat M multiplex secun3ar, neque Η multiplex tertiae exemdat eandem M multiplicem quartae Erit, per octauam Degnitionem huius, maior proportio a c ad D, quam A ad eaniam D , Quod est prius. Secundum autem demonstratur ex eadem Definitione, conuerso orgine Magnitudinum 1 ut D sit prima, A secsidat D turius tertia, & p c quarta. Excedit enim Mmultiplex prima , Η murriplicem secundae: neque eadem M multiplex tertiae, ex cedit κ multiplicem quarta . Quare maior est proportio D ad A , quam D ad s. si i patet tota propositio. H Ne Campani Demonstrati nem,quum paulo esset clarior Demonstratione Theonis aliquanto etiam clariorem fecimus. Quae sic tamen obseura est. In quo mirati sebit, quum huius Q finti Libri Propostiones in communi intelligentia postae sint, scut antea monuimus, ac prima specie quendam veluti consensum in animis patiant, quod tam implicate demonstrentur. Huic igitur loco tutius compendium ut Ee lucem attulimus. sint duae Magnitudines A te se, quarum maior ne: sitq; tertia quantacunque Magnitudo D . Dico maiorem esse rationem B c ad D , quam A ad D . Intelligantur ut prius, a C prima, D secunda, A ter
maior quam D e quae si s C : de ex s B, quantitas non minor quam eadem D : quaest C N . Eritqj, propter aequalem multiplicationem, c s aequemultiplex ipsus p CH C H ipsus f s , ob iὰ per primam huius,tam multiplex est C N ipsius f s, sciipsus A, quam tota FH totius p c. Habeo itaque sti aeque ultiplicem ipsus Acstinae, & n ipsus A tertia. Nunc autem multiplico D donec exurgat quantiatas proxime maior quam ni scilicet sumo ipsus D duplum insse triplum: ac comtinenter uno plus. Et produco x L , quae si prima multiplex. maior 4psa CN. Et ex κ et , reseco L M smplum fle aequale ipsi D. Est igitur x L ipsus D utcunque multuplex instar duarum,quatenus est D secunda ει quarta. Et quoniam x L est proxime maior ipsa C Η , non erit eadem H minor K M. Et quia F ci est maior D, 8e LM idem D aequalis r excedet FH multiplex primae, ipsam KL multiplicem secundae. Sed quum κ L posita si maior quam H non excedet ipsa o D multiplex tertiae, x L multiplicem quartae. Quare per octauam Desinitionem huius, maior est ratio B C ad D , quam A ad D , Quae est prior pars Theorematis Altera autem modo probata est j scilicet ex eadem Desinitione, conuerso ordine Magnitudinum 3e Multiplicium.
THECREMA s, PROPOSITIO IX. Quae ad eandem habent eandem rationem, Magnitudines,inter se sunt aequales Et ad quas eadem habet eandem rationem eae quoque sunt aequales.
Sit duarum Magnitudinum A & n eadem ratio ad C Magnitudine. Dico & a esse aequales. E eonuerso s eaAem stratio C ad viram