장음표시 사용
121쪽
coniectaris omeniuriis petraria sist, fere libro meliore re sues, et an is agentvitarint .Detiarie mutandis es fvisionum osti tisne,mnes seresse morire. NYXV M. Inueniantur duo numeri infiniti, ut qui ex uno in alterum ducto fit, euipsorum summa conficiat numerum praescriptum.Is esto 8 Sit primus i NJecundus pro lictus ipsorum multiplieatione eum summa ipsorum, est dit 3. hoc aequa tur s. t i N. Ad posita,erit primus i secundus 3.Consideremus nunc unde I sit satius 1 nimirum quia ue diuidebamus per N. Ipse, est id quo flatus numerus si candum excedit. & N unitate secundum excedunt. Ergo quantumcunque statuamus secundu,&adato numero ut heleab g.)auferamus residuo per numerum diuiso, qui excedat secundum unitate, existet primus. Sat secundus, uerbi gracia 1N Lauset hoc de s,restant O 1 N hoc diuide per secundum unitate auctu. pu η ra ueti N.habebis primum Atque sic in insnitate soluta est quaestio.&unius in alterum multiplicatione productus cum summa ipsorum g faciet Infinitum hoc clicitur,quia quotcunq. unitates pro iN usurpes emperpositiones he resolutae,qq sionis postulatis satisfacient. M Y L A N D R i. - , Natalis adamendusistitimis dignitis otitiones iam trit isto eum pro secunt et imbellis, ere liceat quid ι.Sit primis I secundusa et errassem a. Suprimm I sic δεου se primus o Si inpraposito exempti in iratis ubi MPmspn κὴρ 2 s thur,mou piam est,sed positimus) a m en e dia rimis Dorie ου ad frum I. N summis hisum I. .rmaeus secundus orimini 's uam summa revi ci jam sis a dess, M. Cistis is uiae isse uentem propositionem NNY1 i N. Inueniantur tres numeri, ita ut quem bini iaciunt planum, is cum eo
tum summa e iunmis,saciat darum numerum. Numeros autem datos necelle en
Quadratos esse unumquemlibet, si ei unitas adiiciatur. Primi&seeuncli1ummacuviano ex ipsis orto si s secundi 5t tertii in tertii & primi 24. Quon1am uolo qui tit x primo in secundum, eum eum imma Ipsorum fieri g, ponatur secundus quotacuno, linitatum, detrahaturqι ab g, diuiso residuo per numerum una late secundo maiorem prodeturprimus. Sit secundus rN ,erit primus f N-1. Rursumna ui si ex seeundo in tertium cum summa eorum facit it ah his autem I I, Luido per unitate maiorem Geudo,hoc est per 3N fit tertius 15 N-- 1cinptimuductus quem producit ei si accedat summa ipsorum,sta Q l. hoc quatur 24 fit 1 Raa. ad positiones hoc applicemus, erit primus 33 secundus .letlaus e S. Omnia multiplicentur per denominatorem,fit primus 16s,secundus 84,ter 5 a O. x Y L A N D R I.
122쪽
ri para; or, . territimis enire, latis cere aesioni Sianos etiam Diophantiem distari a s Mine Us νυψαυεν, ratione mimmmouendere. rex NIX Inueniantur duo numeri infinite, ut qui ex uno in alterum fit, summa platum multatus, datum numerum exhibeat isce 8. Statuamus primum i resecundum 3. Qui fit ex altero in alterum demptaipsoru summa,est a N-3 quod aequatura Fili N, ue L Ergo secundum positiones, primus est 1 secundus 3.Rursum di pieio unde factum si quod . Nest, . nimirum quia ti diuidebatur pet a. Atquiti est summa dati &seeundi numerorum. et autem N sunt unitate minor numerus secundo. Itaque si statuero secundum quantumcunque, eumq; dato adiiciam,&summam diuidam per unitate minorem secundo, inuenero primum. sit secundus 1 N tr. adde ad 8 , sunt 1 N i n. diuide per unitate minorem secundo , scilicet per i N. fit ilo N. itain infinite soluta est quaestio. Haec propositio, lemma est se quenti inseruiens. N L. Dentur tres numeri, ut qui producitur binis altero in alterum multiplicatis, demta eorum summa sit qui poscitur numerus. Oportet datos seu possulatosn meros quemqι unitate minorem quadrato esse. manus e primo in secundum detracta summa ipsorum sit s. secundi in teriti itidem horum summa mestatus 13. tertii in primum summa horum amissa , . Flete iuxta Iemina iam expositum, si secundum statuo . N ti, addo hoc ad s. sunt i Neto diuido hoc per unitate miti tem secundo, hoc est pera N, nascitur primus itu N. secl & tertius hoc modo inuenieturi 16 N. duobus itaque postulatis satisfecimus. Denique primus in tertium ductus quem producit demta eorum summa facili 4 in 1 , aequale hoc a . &st I N, v. ad positiones hoc si conseras, etit primus et , secundus 1 , tertius 92. quos si Delis idem habere nomen omniaper clo multiplicabis, erit primus a sue, secundus Io , tertius 4co.
123쪽
δαρὰ quadristi i fierent, si scans. ne insis dos res excirit αLi. Duo numeri infinite dentur ut qui sit uno ipsorum in alterum ducto ad summam ipsorum habeat proportionem quae praeseribituri sit producti ad summam tripIaratio. statuo primum i N secundum s. manus ex ipsis fit N , qu d triplum iit ad 1 N tue. ergo a Net 13 aequantur 1 N. fit 1 N, i. quod si positionibus nostris ac commodemus, primus erit secvngus s. Consideto hete, iN seri quia sue per 2 N cliuiduntur. Atiue sunt secundus per datae rationis numerum multiplicatus. & Σsunt interuallum secundi, & numeri rationis. Ergo si quantumcunq. statuamus se cundumI multiplicemus eum per numerum rationis data ac productum diuid mus per interualli im,ouo secundus rationis numerum excedit, inuenietur primus: secundus sit 1 N,multiplica per 3,ssunt 3 N.diuide peri N , habes primum
I, Grais murilis sum M. Porros, O s iaris,Mles la H quoram triplamor tantumdem se, sin irariariss .ia non solsturam. Siaadlibendis est tunsu. Leprimina serandis Erebi aeris υ δε--r Vt M. Mim tripum s Niso ru N, qata etino in Arctum ducto. Menimus , --- s. Morastine o, Mim tripti .aratio MFmmum amborum, Issi Martia sporeo primum 1 udum a. oratu morat eisdem. oducit a N, - οἱ -- α' a 'gos ue quas sine ra N,Or Ni seris nihil, Dias ab M - me monui, si Arest inscun iam misimem recteponi eo numero ora iis morieri ad Ammisisse ra exprimis rim L 1 3. Dentur tres numeri, ut quem bini pro Aucunt planum, is ad eorum sum mam ea si quae poscitur ratione. sit productus e primo in seeundum ad summam. ipsorum triplus 1 e secundo in tertium ad summam horum quadruplus: c tertio in ' ' primum ad summam eorum quineuplus. statuatur secundus 1 R erit ex pra cede e Jemmate primus ' Eodemq; modo tertius h. Restat ut primus ici tertium ductus quem producit, is ad summam ipsorum sit quineuplus. Producitur aurem S- ma autem horum est l. Huius summae ergo quincupliam' arquatur . Et abie ' p., ita communi denominatore,11 in quantur aue in iro No itasti N, 1aci. Id nunc ade' ho tiri N positiones applicemus,q1ue erant s. 1ων. Silao, uti es , in primam multiplices, m
124쪽
N LlII. Dentur tres numeri, quorum quem hini Aciunt planum is ad summam omniu habeat quae poscitur rationem. Sit planus a primo in secudum ad omnium summam triplus planus e secundo & tertio ad Omniti sananiam quadrupJus: pla nus tertii in primum ductu factus, ad omnium summam quincuplus. Quando binorum planus semper ad summam omnii, habet datam rationem: qudiro primum tres numeros,& aliquem utcunq; adscitu, ad quem hinoru plani haheat imperatas rationes. Arbitrarius iste numerus sits. cuius triplia, hoc est 13 N cum sit planus quis tex primo insecudum erit planus iste iue statuamus secundum i , erit primus 11 M. Rursus cum qui ex secundo in tertium fit, sit quadruplu arbitrarii istitis, erit planus dici N. ergo cum secudus sita,erit tertius aci N. Restat ut qui e tertii ductu in primum fit, nimirum 3 oo Q sit quintuplus ad arbitrarium. Ergo scio Q aequanturas sane si numerorum inter se exstitisset ratio ea, quae quadrati est ad quadratum, quaestionis solutionem inueneramus. Enimuero goo orti sunt 13 Ninro N multip)icatis cum quidem aue ad arbitrarium 1 triplam, dio ad eundem quadruplam haberet rationem. Hoc ergo desiderator, tu si itiplus adsper quadruplia aes 3 multiplicetur, pro
ductus ad ue per 3 multiplicatis productu rationem habeat, quae est quadrati ad qua
dratum. Atqui 3 numerus arbitrarius est,& temere adscitus. Querendus proinde est numerus cuius triplus & quadruplus quem planum procreanti is ad numeri ipsius quincuplu, rationem habeat quae est quadrati ad qua ratum. Nunc statuamus i M. Fitis triplos 3 D in quadrupli1 4 N multiplicatus, producit 1: in atque hie ad positi quincuplia. OA ue Ninquam, rationem habeat oportet quae est duoru quadratorum inter se. Consequens est ut altero in alteria ducto,fiat qDadratus. Ergo oo C aequantur quadrato.is sinoo infit IN, 1s. Ergo ad posta, cum quaestus numerus sit 13,
primus &secundus producent 43 N. cum q; secudus sit IN, erit primus 1 N. ea deq. ratione tertius 6 N. Superest ut productus hoc in primum multiplicato, sciliceta oo R. aequetur quintuplo posti numeri, quod est ue. Fili N hoc pacto 14 Itaque eundum posita primus erit secundus 6, tertius io. Quorum summa si foret is, sati factum plane esset quaestioni statuo itaque eorum summam i, Q atqui ea est ad N. hoe ergo aequatur 13 Q. st I N 7. Ad posita. erit primus 3os. secundus
125쪽
s perri, so p dis, s ad minores er nos redulo, si e C, in D: frid canor , omnino triplam Ammis omnium. Si se eundum in feritam cis ε in ρη. -αὰν raram prioris aenomisaurem posseriori. pero, Hilarios per Is dytisos admisimos redet sisHMin φη θ' utilis ri 6 omnino sim omnium sis plas: Denis primo is erit ramis B, m is et , soces si rima mia isticus ovi, redem L est in E 3 matri Diso, ne , et rundems prorsus. sis amorem quintus es. Habes ex Durionem quis μὰ nes in letosis, opeia scitis: Ita assem e sepse ac Mas lanis nos pretita vi μάλ ani m initio deseoAE M. Viges autem elegis a mi seriissem ira tio in his relus. N L I V. Inueniantur tres numeri, ut summa eorum multiplicata per primum, fiat triangulus; in secundum. quadratus; in tertiit,cubus. statuatuet summa trium I primus quadratorii numero triangulo, puta 6 insecundus quadratorum numero quadrato, o Q tertius quadratoru numero cubico, iit 8 Ergo n primumdum era facit o. triangulu. in secundu, 4, quadratu. in territi, s, qui est cubus. restat ut hi tres coniuch nt1 at sunt is QSuod aequatur , Q.&multiplicatis omnibus per i Ah ςquatio inter is &i Q U portebat emo is esse a dc habere laetus quod sit quadratus. Atat est summa trianguli, quadrati, cuhi. Ρroande reperiti das est quadratus,cuius datus e stet ex partib.numeris triangulo,qiiadrato,cubo.Esto is 1 Q. - Q. Ergo si ah 1 Q aufero 1 Qt ,-, Q a persunt et . Q haec diuidatur in cubuci triangulu.ae sit cubus 8 erit triagialus a Q o. Porto quiuis triagulus p octo multiplicatus, adscita unitate quadratus fit Ergo 16 in 1 aequantur quadrat . Frago quadrato a latere 4 1.is es 116 Q 1 8 N Fit 1N,o.Hoc si ad positiones accommdetur,etit triangulus 3 quadratus o euhus s. Venio ad id quod initio proposueram statuo summam eorum 1 primum 113 Q quando triangulus requiratur. Cudum ro Q quia quadratus,tertium g Q , quia cubus.1n hos multiplicetum Q. Numerus quadratus:seciet triangulum, quadratum, cohum. Norum summa strat est 23 sic quo loquaturi &depressis utrossi peri equatuci QRasor. Fit a Nu Ergo secundu posita primus est i secundus 6 oo, tertius I.&euides ei de
126쪽
i his rasis adris, essio iure a gelans r uigori. Sed est alia eleganti Oris es issi ramisia multiphrando impares naturalisne exposios . per binos sumens ordinen me planae is eradentes. ita
pares. s. s. r. q. n. V. G. Inosi
128쪽
sum medii Ilipta minimum sint qua pracipitur ratione porro autem bini quadrato
laetant eo ni tincti sit ratio interualli maiorum ad interuallum minorum tripla 'ameum summa me dij es minimi iit quadratus, esto 4. ergo medius erit maior hinatio. sit itaque i ta . erit minimus a-1N. Et cum interuallum maioris & messi, ad
interuallum me dij I minimi si triplum hoc autem sita N: erit illud o N: Ergo ma- , imus est dita Supersunt duo postulata, nimirum ut primus & medio ,&seor sim minimo addito, fiat quadratus. Heic mihi duplicata occurrit aequatio . eum &ε Ne . quadrato, &item quadrato 6 Ni aequentur. & quia uni ratam numerus est quadratus , expedita estiquatio. Statuo enim duos numeros, quorum uno in alterum ducto producantur a N: quam legem e se duplicis aequationis nouimus. Sint N & 4. Fita N, ita. At ubi me ad posita confero, non possium auferre 1 1 si N): 1. Volo itaque 1 Ninueniri minorem binario: atque sic etiam jo minus erit quamis N i Nam binario in o multiplicato,&η addit fiunt 16. Quando igitur quaeros N aequales quadrato, itemq; is N ' aequaJes quadrato:sed & a binario fit qua dratus . ita iam tres sunt quadrati, puta 8 N r , 5 Ni 4, & S interuallum inter
maximum Smedium, interualli intermedium & minimum est triens. itaq; eci rusred sit, ut inueniendus sit quadratus, ut interuallum maioris & meesii, triens sit eius quo medius minimum superat ac prxterea minimus si 4, medius minor quam 16. statuatur minimus 4 latus mediii Nia,etit ipse i Qt ' . Cum ergo interuallum inter maiores interualli intermitiores si triens hoc autem str Neririnateruallum statimi di medii Qta Nadde hoc medio, habebis uaesumsi ij Qiue;
' , quod aequetor quadrato Multiplica totum pet s.fient ar Qt 8 Niso aequa J a quadrato sed & quadrans horum,3 Qt i a Nio aquatur quadrato. Presterea consi tum erat ut medius quadratus minor esset quam is ergo etia latus eius minus oportebiet esse quam fit 4. est autem latus illud 1 Net a uiuit in q, binario abiecto iN oporteat minorem esse quam est a. superest ut 3 aes Ia N' ς aequem quadrato. Eiungo quadratum a latere quod sit 3 aliquot N.sit autem N ex aliquo numero sediles sumto, S adsciscente demum sibi ia, qui fuit aequationis numerus ac diuiso in interuallum quo Numeri quadratus abest 1 Quadratorum numero . scili t3. qtii sunt in x quatione. Eo itaque deducta est res, ut inueniendus sit numerus, qui sexies sumtus, adiectora ac diuisus in interuallu quo quadratus ipsius ternario pr stat quotientem binario minorem exhibeat: sitis 1 N is pet 6 multiplicatus, ita t1a auctus,st 6 N aa. ipsus aute quadratus detractiss. haberi in 3. Volo igituro N iba diu tot per: in Α, ut quotiens fiat binario miri r Sed & secundus diui susper t. duplum quotientis facit ergo 6 Ntia ad 1 rationem habent minorem quam ita ad i. ergo etiam planus qui sit ex ain 6 N' ir minor est quam qui ex et imin 3 hcc est quim Σ--6. Ad ij ciantur 6 quae desunt utrinq; , sunt 6 Netia aequales a Q. in aequatione hac explicanda dimidium numeri charactere N4nsigniti in seducitur fiunt s. et numerus ainsgnitus in absolutos ducitur. sunt 35. quibus ad se o. habes cuius latus minus est quam adde semissem N, non minus quam 1 habebis ira si, ut 3 et 12 Nio aequentur quadrato lateris 3-3 N. Fita , 4a, hoc est et 1. Posui atitem medi: quadrati latus a Ni 1. erit quadrati latus 43, ipse quadratus as 40. Venio ad primum pro postum, S statuo quadratum Is 40 α- quales o Ni . Omnia in iri fit 1 Naros Estq; minor binario. ea ad posita initio quaestionis. Statueramus medium 1N 'a, minimii 2 1 N, madiimu N ta. Fritanaxi-1 istio 7,naedius asI , minimus 8 gr. & quando denominator est ras no est quadratus extans autem eius est ari quadratus. Rursum itani omniti sextantes accipiantor fiet primaas ist et secundus 46uo tertius 1 2. Quod si iri integris haec habere desideras, ne semissis intercurrat, omnia per quatuor multiplica. Erit primus 733g.
cundus is s. tertius , 8 &mani fessa est demonstratio.
129쪽
ιν me expediait opere imis aeri in cresse uia antis primo Asiam. πLv I. Inueniantur tres numeri, ut excessus qui est quadrati a maximo orti supra quadratum medij, ad excessum medii supra minimum ratione sit quae praescribitur. Bini autem sumti, quaeratum saetant. Eescessus porro quadrati a medio supra quadratum minimust ad excessum mediu supra minimum triplus. Quando maximus
130쪽
es inestus quadratum faciunt, faciant a6 c eritq; maximus maior qtiam a Q r ei maximus a Q ' a. Et quando maximus ac mediUs coniuncti superatit summa immedii & minimi hi ergo iuncti minus sunt quam 16 in amplius interim quam a O sint ergo hi sinus u Ergo cum maximus di medius iuncti lini 16 inmaesimu
autem aut a medius est s--a, ac proi de tertius 1 Q -- a. Et quando uo lo eYeessiim, quo quadratus maximi quadratum minimi supera es e triplum eYcei
sitis medii supra minimum: ille autem est o inllic uolo 64 Q se triplum ad ν init hoc triplicatum facit ar inato Q ea trigese, his duabus unitalibus o
ti sunt. Itieumbit ergo mihi,ut numerum aliquem inueniam qui per 31 militiplicata ius saeiat dic is est 21. pono ergo primum 8 Qtai medium ἰ Q - 14. tertium 1 - 21.Estq; impletum unum postulatorum. summam scilicet medii& mihi inies e quadratum. Sunt autem medius & minimus u - I aequales quadratos cuius latiis sit 3 N o es fit 1 N. 10 Ad p sitiones, eritprimus scio, tertius ergo 13 6.Secundus autem 263 34 tertius 138681.m Y L A N D R r. , dissis his ea fare Im istitata sisne opes su . e si stiris m γώ go re ad nosse merues eripeta, ueri eis ex nommissia: sciboratas fictis. 6 iosae