Elementorum curvilineorum libri tres

31쪽

ao IO BAPT. PORTAE

arcis continentis area excellant, vestigandus estcirculus, qui differentiam excellentis area excipiat. Fiat triangulum ex tribus lineis AB AC DB per ra. I. Euclid. sit GII qui erit acutus, cadat ex apice F. trianguli in substratam basem GL orthogonaliter linea FH. ibi eam abscindit, illic fige literam H. Porro ex geminata basem l . dinea GH in sed uistis, fiat paralellogrammum O. superior qinea MI procurrat suousque sit aequalis Io. sit P. Mox partire in teruallum P per aequalia in D. ex incentro describe tanteirculum,elaingeturq linea IO quoti'. attingat arcum MP. in in Ira dimetiens erit futuri circuli qua sitam disiserentiam capientis. Quoniam quadratum I. usinus est FG. q. quadratis tantum, quantum rectangulum bis sumptum ex linea IC G H. per 3. . Euclid. quod erit NI.&linea Iraeserit dimetiens continens aream Nd circulus igitur ES ex linea Io constitutus disserentiam capiet quantam duo illi circuli aream susciplant circuli AED.

Circulum seriuare, qui arbitonem

piat duorum circulorum ab alter contentorum, qui duo circuli aequales sitit comtinenci. Probl.7.

Esto maior circulus ADC& sint duo circuli minores M. BC qtiorum arcus in diametro sese inuicem tangat in B. ex alia parte concauitatem maioris circuli A. C. volo inuestigare dimetientem

irculi, qui aream capiat arbitonis ABCD . producatur linea

32쪽

ELEM. CVRVIU LIB. I. r

ex mutuo circulorum contactu B.donec rotundationis maioris circuli aream tetigerit BD. dico eam esse diametrum s turi circuli, qui arbitonis ABCD aream commet Hanc constructionem praesenti demonstrationesiatiliciemus u

niam linea AC secta est in puncto B qua dratum, quod tinxA C aequale est quadratis, quae fiunt ex AB. BC. parale, logramino,quod bis fit ex CB. A. ex inmerio A. et EuclicuSed paralellogrammum ex CB.BA. est aeOal quadrato M. circulus ergo ex DB est aequale arbitoni ABCD quod quadratum ex DB aequale sit quadratis AB.IBC patet etiam ex I7. . Euclid. Vel quoniam licuius tam C aequalis est duobus circulis ex DB. C. quia B est angulus rectus, circulus ex Din circulis ex M. V D. ego circulus ex AC est aequalis duobus circulis AB. BC. duobus circulis ex DB qui in eo continentur, arbiton igitu. ADCB. ex circulo DB constat. si HAE A I prans: nI EX hoc prouenit dasto arbitone posse illico dari circulum iei aequale,scilicet lineam erigendo ad duorum semici

culorum coniunctione ad circumserentiam.

Si diameter secetur utcunque, circuli, qui fiunt ex tota. singulis partibus continentur,aequales sunt

ea, quia tota fit circulo.

FIat quadratum ex linea AB,4 extendatur AB usque ad K. & sit aequalis AB. supra C fiat circuriis C IK. ex alia parte B extendatur in L.& sit aequalis AB. I per

33쪽

D TE, I hil tari A . rper CL sormetur circulus, It CHL. supra A fiat alter circulus AGB. ex C raten datur 'star' tellus ipsi AD BE &sit FCG extendaturq DA ad H. I ad I ducanturq. Ad GA. CB. Quoniam quadrangulum ex ΚΒ BC. est aequale quadrato BI. quadrangulum ex LA AC est aequa Ie quadrato AM. coheant ipsa BI AH in circumferentia bAGB in puncto G quia in circumferentia ad reetum angu- Iinna ery quasliptum exb A B. duobus quadratis A G. G B. aequale erit, sic de circulis,vel aliter i oncini Hrpres dentem diameter du1Tatifariam in C. quadratam ex AC. CB. rectangulum bis contentum e B A. Ac est aequale quadrat AB sed rectangulum bis contentum ex A. AC est aequale quadrato ex G. sed quadratum ex B C. G. ωquadratum ex C. CG sunt aequalia quadratis ex Ac G B. quadratam ex A G. B. stini aequalia quadrato ex AB. ergo ostendimus, quod intendebamus,& est secunda secundi Euclid.

34쪽

Si diameter secetur utrunq; Circulus

ex tota,& eius parte Contentus aequalis erit circulo qui ex partibiis Continetur' in eius quod ex praedicta parte fit circulus. Propos Q.

SI diameter B.

secta utcunq; in spuncto C. dico circulum ex AB. BC eΟΠ-tentur equa Iem esse circulo ex B C. GA. contento, circulo CB.

Extendatur AB in D. Ut BD aequalis ipsi BC. super ACBD. fiat circulus,&sit AED. &expuncto B eleuetur perpendicularis usque ad E. Idem fiat ex altera parte. Supra AC. CB. duo circuli, ascendat ex C perpendicularis CF usque ad semicirculum AFG, extendaturq FB. Quoniam quadrangulum,quod fit ex A BD aequale est quadrato, quod fit ex BE. quadrantiit uia,quod fit e BA. AC aequale quadrato ex CF sed quadratum ex FG aequale est quadratis FC, CB quia Gangulus est rectus ergo circu- Ius es AB. B quod in B aequale est circulis ex CB.in qui fit ex BC. CA.&est 3. a. Euclid. i. I uoi crist

35쪽

Si diameter secta fuerit in partes aequales,& inaequales Circulus ex inaequalibus partibus contentus una Cum

eo,qui fit ex linea, quae inter sectiones interi jcitur aequalis est circulo qui fit a dimidia Prop. IO.

DEscribatur circaeus ex

Diametro . altero AB alter vero ex CD. ex D. puncto erigatur perpendicula n Pris usque ad circumserentiamin E. protrahatur CE. Quoniam circulus ex AD DB est aequalis DE.&circulus ex CD ipsit CD. ergo circulus, qui fit ex CZ eritaemulis circulis CD D E sed C E est aequalisCA. quia ex emtro ad circumseremiam, ergo circulus ex duabus inaequalibus partibus compositus AD DB qui est m. circulus CD. utrique aequalis est circulus ex dimidia

CA compossitus, ct est Eus d Si dianaeter bifariam secetur,eiq. in rectum adij-ciatur quaedam recta linea, circulus ex tota diametro cum adiecta tanquam ex uno diametro,Vna cum circulo dimidiae aequales sunt circulo ex dimidia .ec adiecta tanquam ex una diametro descripto . Prop. II.

It diameter AB secetur bifariam in C. elaei in Iongum adijciatur linea BD. dico circulus descriptus ex AD. Q DB una

36쪽

ELEM CURVI L. LIB. L

DB una cum circulo CB aequales eis circulo,qui fit ex CD. Lineae AD adijciatur DE, quae sit a qualis DB,4 centro cinteruallo G describatur circulus AFE.- ex puncto D linea ad rectum erigatur usque donec circuli circumferentiam contingat,& sit DF. erit quadratum quadranguli AD DE. puncto D linea DC secetur CB aequalis,d erit G D. connectantur puncta GF linea Dest aequalis CB. ex constructione. Quoniam sire AC est Mualisl meae m. C ipsi GD adiiciatur ipsi AC. communis CG &linea DE. h.aequalis BD. ex constructionet , ergo O ipsi GE., angulus ad D. rectus est, valet ergo quadratum GF quadrata GD DF. ergo quadratum GF vale quadratum CD quod demonstrandum p posueramus,&est 6. 2. Euclid. i. i ao . o

A dato circulo alium in datam pro-pbrtionem abstindere. Prop. I 2.

rastra STO datus circulus AB.

volo alterum construe re , ut ad eum datam

proportionem habeat, sitq.data proportio CD. ad ξF. scilicet sesquialtera Iunganturataulo binae lineae, quarum una H. sit arenialis linea CD protendanturq. .

quousque HI sit aequalis EF Mox alteri lineae aequetur di D

meter

37쪽

meter AB quae sit GL iungaturq HLA GL extendatur, a punito I lineae H L paralellus excitetur I M. dido LM. diametrum esse quesiti circuli Am subsequialteri , erit quarta linea proportionalis inuenta. Quoniam propor rio GH ad HI est sicut L ad LM. ex ret. 6. Eucl. H. ad Hi est sesquialtera, ergo GL. diameter ad AO diam trum sesquialtera est.

Ex duobus inaequalibus circulis duos aequales facere. Prop. 13.

SInt duo circuli inaequales AB CD. volo hos duos circulos inaequales ad duos aequales reducere AB DC coniungo ad rectum angulum diametros, si1nt GHF. cornecio GF tunc super FG. facio semicirculum, qui per H rectum an Iulum rasibit, mox diuido clacumferentia in E.bifariam, di

38쪽

ELIM CURVII. LIB. I. 7

prodae o GE.EF.dico duos circulos duarum dimetientium GE, EF. esse aequales duobus

dimetientibus H, HF.4 proinde circulis I, L. Quoniam angulus H est rectus quia ad circumferentiam, ergo quadrata GH H F. sunt aequalia quadrato GR&quadratis E, EF etiam aequalia quadrato G F. quae aequalia ni tertio aequalia inter se ergo circulia, L. sunt aequales M. CD.

Circulum se are, qui capiat arbitonem trium minorum circulorum,ab imo maiori contentorum, qui tres circuli aequales sint diametro Continentis. Prop. I

E T circulus

AED. cuius dimetiens D triabus circuli diametris intercidatur DCCBAEA. postulamus circulum sormare qui arbitonem, vel

interceptam aream a maioris circulii cauitate, minorum convexitat contineat. Ex BD

Diametro circulus

is fiat

39쪽

fiat BFD. per superiorem propositionem 7 arbiton BFDC capiatur, mox lunulae AEDFBC quantitas cognoscatur, aqua circulus AB. subtrahatur per . nostram, sic de caeteris.

i solidum cubum, vel parallelipedum altera

' parte longius oblique ex oppositis lateribus secetur sectio altera parte longius eri . yi iPmpos ins

ic Crito solidus cubus ABCD EFGH secetur a plano BDEF. oblique ex oppositis cubi lateribus D. EF dico BDEF. esse altera parte longius 2 Quia DG, GH, are ualis est

Tl lis duobus quadratis DG. T. ergo ii ldfilior BD. qii ipsi DGliqnabs est, idem dicendum de alteu; pam e m. HE. qiuae Osaior est BH. HE. Igitur BD E F. altera parte longior est aden, quoque dicendum de soluto parallelipedoah era part lam

oualis erit. Urop. Ict.

irrit:

circulus erit, si oblique secetur, ut in IEHF. sectio sph mis frit ex ea iri Serenus probauit in suis Cylindricis.

40쪽

Si intra solidum paralleli pedum altera parte longius cylincrus inscribatut tangens ui ci culi. basiis latera eius quadrati, parallelip dum solidum oblique secetur ea proportio erit cireuli quadrato, quam sphaerois figura ad suum altera parte longius Pro . 7.

SIt parallelipedii solidui altera parte longi si ABCDEFGH&sint cylindri in eo descripti base AB IDAE FUM.

in ea descripti ABCD EFGH.- plani in oblique se- circulicans illud sit CDEF. sthaerois in eo descripta CDEF. dico sphaerbidem intra se descriptam eandem habere proportionem ad suam figuram altera parte longiorem , quam circulus ABCD. ad fisum quadrarum ABCD culii demonstrationem omittimus: nam ex his qtiae Euc des in fit ortim elementorum, i, in Archimedes inrai praepindi sci S

runt, demonstratur.

Data sphaeroide circulum eiusdem areae

describere. Prop. II. ESto data spharois ABCD iubeo circulum inHerri spa iij. c atam roidem

batur