Elementorum curvilineorum libri tres

51쪽

I Q. B AP T. PORTAE

Vel fiat triangulum aequale remi-lineum ABC, sit AF ex 2. I. Euclid erit semicurvilineum triangulum ADBCE, arctuale triangulo semicurui lineo demptae communi portione AEC emanet rectilineum Aa C triangulo semi- curvilineo aequale ADBCE.

gustius erit, jortionis lineae neutiquam intactas circumferentias relinquent , sed per medium transibuntieadem operatione idem assequi poterimus . Sed quo res dilucidior euadat, rem exemplo complectemur.

Esto triangulum ADBCE, circumstren ta ADB aequalis sit AFC, trahanturq recti lineae AB, AC, Iecet AB basis AD B circumferentiam AEC, aio rectilineum ABC aequalem semicurvilineo ADBCE. Quoniarn portio ADB, aequalis est AEC dempta communia , remanet AD BI E aequali MC, apponatur utrique areola DC, erit AI C sectilineum triangulum semicurvilineo triangulo proposito ADBCE aequale. Vel ad eadem praestanda possumus

easdem circumferentias in plures partes diuidere, nempe binas, ternas, quaternas, ut ABC circumferentiamin AB, BC, ADE in AD DE Unde excavis partes AB, BC, inelusis AD,DE erit area rectilinea ABCEDA aequalis semicurvilineo ABCEDA

52쪽

ELEM CURVIL LIB. II. 4r Triangulum semicurvilineum ex varijsci

cum ferentiis compositum quarum

altera alterius dupla sit qua

drare. Prop. a. Esto triangulum semicuria

uilineum ABCDE cuius circumferentia SD C sit

circuli dupli ipsius ABC. Sed

EDC sit octava pars circumferent sui circuli GEDC, circuli ero ABC quarta. Aio triangulum semicurvilineum ABCD rectilineo inuestigari posse parem. Rem ita moliemur. Completa circumferentia CT, sit CEG, coniungatur AC, mox portionem EG diuidatur per medium, sit diuisibilis linea EF dico triangulum AF semicurvilineo triangulo parem esse. Quoniam tota portio ABC aequalis est dimidiae ECF, id propterea dempta Aic portione reposita EF C semicurvilineum ABCE, abijt in triangulum rectilineum Aca. At si circulares linea magis cohaerebunt, ut circumferentiarum bases introrsum se secent, eadem erit operatio, demonstratio, ut in prima propositione . Productis lineis portionis

AC, semiportionis Em triangulum rectilianeum AEF semicurvilineo par erit. Quoniai spatia ipsarum portionum ABC, EFGaequalia Fsunt, ablata interiacent portione D C, quod resiquum est ABCD ipsi DC aequale erit, addita utrique areola AED, erit totum triangulum rectilineum AEF totis icurvilineo ABCD aequale , nam quanta pars en

53쪽

demptione abij , tota ex repositione substituta est. Vel potest transpositis lineis alio in do triangulum semicurvilineum constitui sit circumferentia dupli CD retro C Ba ante, tunc ex puncto C. superhac si AE cadat perpendicularis CF,

connectatur C A & sic triangulum semi- curvilineum ABCDE rectilineo C A parem iri Ratio in superiori. At si ut diximus ex varijs,4 inaequa libus circumserentijs orbiculata triangula compossita erunt, tunc mentesconcipiendum, sit circulus duplus alteri sit, suta dupli duae circumferentiae partes, uni dupli respondent, si quadrupli quatuor, sic deinceps Esto verbi gratia circuli dupli circumserentia Em C, sit octauata, sua circumserentiae pars respondet duo bus octauis subduplicirculi ABC. Diuidatur ambiens linea ABC bifariam in B, trahatur AB, B C, SC, erunt duae AB C portiones, uni EC aequales, sic una EDC, duas illas A B, DC absumet. Vnde si triangulum semicurvilineum duabus octauis circumferentiae partibus decrescimus, AB, BC augemus una ED in sic par pari referemus.

Alier Casius.

Potest&aliter euenire sit triangulum semicurvilineum ABCED, &sit ABC quarta duplicirculi, in D Esemicirculus subdupli, docebimus quomodo possis rectilinea triangulum aequale semicurvilineo facere Trahantur eX puncto per medium circuli ADE vsque ad C,&sit linea ADC, vilinea DE. Erit triangulum semicurvilineum ABCEDaequale

54쪽

43 ELEM. CURVI L. LIB. II.

ualerectilineo DCE.Quoniam portio Assic est dupla ipsius A per I9 primi nostri, in huic nempe portioni AD aequalis DE.dematur dimidia portio ABCD, addatur DE compar, remaneat'. Communis areola DC EF,

utrique sic enim rectilineum triangulum DCE aequale semicurvilineo ABCED, dc sic excessus unius alterius defectu rependetur. Sic in alijs notis circumsereniij quadruplis quintuplis eodem Methodo uti

poteris.

Semicurvilinea triangula ad verticem constituta ex eisdem, Sc aequalibus circumferen-lijs,vel ex aequalibus nota quadrare. Prop. I. SI duo semicirculosa

triangula ad verticem constituta ex eisdem , aequalibus circumferentiis fuerint ductis a vertice ad bases rectis lineis,erunt re ctangula circulosis equalia. Si primam huius libri leges non secus esse inuenies, qua diximus. Si acciderit,ut circumserentiae eaedem ad verticem sint inaequales, sed in id conueniant oportet, ut dextra int rior sinistrie exteriori aequalis sit. Sint inaequalia triangula se inuicem decussantia BAE, ACD segmenta sint aequ alia

55쪽

AE, Ac, triangula rectilinea B RE AD Gerunt circulosis aequalia BFAHE AGCDIA. Quoniam segmentum BFAa quale est AID. Si BF seorsum expellimus,MAID sua vice complectemur , sic etiam rei cimus RG C reponimus

At si fuerint duo semisecurui linea triangula TE

tuta ad verticem A ex in qualibus circtiferentis nO.tis quarum DAU sit circulus duplus ipsius BAI. D liantur duae lineae perpe diculares ex A ad CH. sit AL, ωAM ad BI. binae aliae rex RA, At, dico rectilinea triangula ALI, ABM, simul iuncta aequalia esse . Semicurvilineis BEAFD,CGAHI. Quoniam periferi a DAC est circuli dupli quarta, &BAI subduplus semicirculus, duae semiportiones Ait M , AGCL, absument duas portiones BFA, AN L demptis igitur B SA, AGCL, repositi'. AHI AEBM, rectilinea triangula BAM, LAI, aequi ualebunt semicurvilineis iam dictis.

Curvilinea triangula ex eisdem S aequalibus circumserentijs,4 ex varijs notis quadrare. Prop. -

Sto curvilineum tria i ivgulum ex tribus i cumferentijs ABC, D, DA eiusdem curuis, sed ABC, dupla AD;DC comstitutum quod quadrare intendimus. Dico protr

56쪽

ELEM. CURVI L. LIB. II.

eas aequalibus subtensis AB, BC CD, DA'dadrilaterutri , rectilineum ABCD,esse aequale curvilineo AMI . Quoniam demendo 'portiones AB, BC, addetimq. AD, DC, quae simul aequalia sunt voti compos fies, vel aliud dicimus Poterimus alio modo id assequi Protrahatur linea

nea CF, FD, ut semiportio AED sita qualis A BG, DCF, ripi C, nam a duae portiones dimidiatae ADE, CDF aequi ualent ubi integra ABC. Vn hac dempta, his additis quod diximus eueniet

Eodem modo curvilinea triangula ex inaequalibus circumserenths, sed altera alterius exempli causa sit dupla . Sit curviline nata triangulum AB C ET D exi qualibus circumferen-

Potest contingere, Ut triangulum constituatur

ex varijs circumferentij & inaequalibus, ut Ex

57쪽

xione FG aequali BHC, subteris AF portio ADFGra qualis ABH. Vnde hac dempta, illis subditis triangulum tectilineum Am erit aequale curvilineo ABCEFD.

Alter Casis.

ESto curvilineu tria gulum ABCDFEpropositurn quadradum, circumferentia circuli ABC sit dupla EF DG C dividatur circum serentia E in bifariam in D, trahatur CD Berit ceratoide triagulum BHC GD aequale por uoui D G C per ' primi nostri. Vnde dempto HG, CD,eponatur eius vice portio EFD aequalis GC, quia circumferentia AE est aequalis &eadem ipsius AB. ablato AB reposita AE , trapetuim rectilineum ABDEerit aequale proposito curvilineo triangulo. H CG DER

me triangulum ex aequalibus, anaequalibus circumsereniij quadrare .. Prop. X.

Esto Cytaide triangulum AT C ex tribus inaequalibus circumferentijs constitutum A BC, CD E E FAcurvilineum, later iuisa , aequalibus circumferentijs

58쪽

ELEM CURVI L. LIB. II.

constituta, ut A B, sit aequalis BC, CD,

FA, unde tractis lineis rectis AC, CE, EA,&demptis tribus circumferentijs BC, DE,FA, Malijs tribus repositis AB, CD, EF,rectilineum triangulum Aci aequale est cyssoidi ABCDERSit quoque semicyssoide triangulum quadrandum AB C

ex varijs circulorum P

circumferent ijs , sed tamen binis semper oppositis aequalibus constitutum videlicet Gassi maioris circuli circumferentia, quam EDC, ωEDC maior CB A, sed tamen GF aequalis NM ED I LM, CBA, A HI, si a puncto A ad basim G lineae rectae trahantur, totum assequeris, ratio 2endet ex superiori.

Arbilonem quadrare. Prop.

Sto arbiton HECD B qua andum, quia portio AH est dupla AB, A est aequalis semi- portionis B GD, ergo ablata ABH,-re .posita

59쪽

posita GD, ablata H CE reposita DCF rectilineum G pH C E est aequale iam dicto arbitioni.

Potest de alio mo do probari. semicircu Ius ABCea duplus semicirculi DBF ergo vacuum ABI FBta est aequale semicirculo dematur ex utroq; portio DEF, DGF, ergo lunulam BF est aequalis arbitoni DABG C, sed arbiton est aequale triangu-lOreetiline,DEs, ergo arbiton dictum triangulo BF, est aequala

i Quadratum curvilineum qu drRrς

Sto quadratum curvilineum

A GDFCE. trahana tur quatuor linea ev pangulis AB, BD, DC, CH, dico quadratum rectilineum Am C Dcurvilineo tam dicto praestabit. Quoniam sunt quatuor emicirculi aequales inuicem, tollantur κραB GD, reponantur RPB, C PD, sic rectilineum curvilineo aequa erit . .

Ρ testin quadratum aliter fieri, ex quatuor etiam rectis angulis, at diximus Ara Quoniam portiones

60쪽

ELEM. CVRVI L. LIB. II.

aequales sunt,4 ex aeriualibus circulis, ablatis portionibus AIC, B GD, repositis'. ADB, C H D rectilineum quadratum ABD. curvilineo AEB

D FAECIA arquipollebit. Corollarium. Hinc patere potest quadratum curvilineum ex aduersis,&conuersis circumserentijs constitutum recta diam ter bifariam secat, latus AB, lateri A C aequale est,in basis C commurus utrique ergo triangulum C A B triangulo D C aequale erit igitur bifariam secat,& utrumq eccon uexo, concavo aequali latere constat.

Rhombum curvilineum quadrare.

Prop- Rhombus curvilineus AFB GDHCE quadrabitur, Ita ductis ex angulis rectis lineis AB, BD, D. A, nam demptis semicirculis Assi C, D BG, repesitis'. AFB, CH D, demptis'. portionubus I AF, rectilineum Rhombum cum, lineo aequabitur. Alter