Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

401쪽

quae serma Q. duas fulictiones arbitrarias utique est tegrale completum.

Problema 67.

O . Proposita hac aequatione rindolem iunctionis a inuestigare.

Solutio.

Aequatio haec ita est comparata ut ei manifesto satisfaciat a zes , statuamus ergo a me veritque quibus valoribus substitutis emergit hare satis simplex aequatio:

in qua commode euenit ut in singulis terminis Qrmula contineatur, quare posito prodit haec aequatio primi gradus

402쪽

ficque necesse est ut sit mactio ipsius x v, nde fit Iu- Uzzzs cx-υὶ et . Iam ob a constans spectandum prima integratio dat

et altera Ha

403쪽

Problema m.

os . Proposita hac aequatione disserentiali tertii gradus

ubi P et Q sint functiones quaecunque iplarum x et I investigare indolem iunmonis x.

Solutio.

Facta substitutione x o, quandoquidem ex data Drma facile perspicitur valorem H loco z p situm fati,facere , pernenitur ad hanc aequationem et

quae porro posito ut sit in Judae' abit in hanc Statuamus da pdxiq6. erit Qq Pp, hine

et E ideoque

dump dx- -δεὶς em quo intelligitur quantitatem p ita comparatam esse debere , ut inmuta. dx Edrper eam multiplicata integrabilis euadat. Quaeratur ergo multiplicator M inmutam

404쪽

notare quantitatis s. Posito ergo , statim erit u Γ:s, hincque O dXI dxΓ:s in qua utraque integratione quantitas 3 ut constans spectatur. Quocirca roso utio problematis ita se habebit :' Pro formula differentiali x - P0 quaeratur multiplicator H eam reddens integrabitum, ut sit et inuenta hac ipsit rum x et ν iunctione s erit

o6. In istis aequationibus hoc commodi usu venit , ut sacta substitutione E ero eiusmodi induant formam , quae Mile porro ad speciem simplicem in prima sectione consideratam reuocari queat, etiamsi enim differentialia tertii gradus non sint de . structa, tamen reliqua membra ista e calculo eX- cesserunt, ut deinceps noua substitutione ti, eiusque ope ad aequationem differentialem primi gradus Diqilirso by COOste

405쪽

gradus peruenire licuerit. Unica igitur substitutio hoc praestitura fuisset, si statim posuissemus Σ' Υmo'. Vtinam praecepta haberentur , quorum ope huiusmodi iubstitutiones facile dignosci possenti Interim postremo problemate multo latius patente in subsidium vocato g. gos. reislui poterit.

Problema 67.

O . Proposita hac aequatione disserentiali tertii gradus:

ubi Ρ , Q. et R sint nanctiones quaecunque datae ipsarum x et I , inuestigare indolem functionis

Solutio.

Eadem adhibita substitutione x e υ , qtra hactenus sumus usi , aequatio proposita transmutatur in sequentem :

ubi commode euenit, ut posito ista resultet aequatio differentialis primi gradus

Vnde qualis iplarum x et 1 iunctio sit a est inqui

rendum. Ponamus esse

406쪽

secundum artificium supra k: stos. Vssirpitum ist-memus hinc tres sequentes aequationes

vhi cum tres quantitates L, Μ et N ab arbitrioe nostro pendeant, inter eas statuatur primo eiusmodi relatio , ut binae partev posterioris membri commu nem obtineant factorem , sit scilicet:

aeratur multiplicator T sormulam Ox-Qdrreddens integrabilem, ut sit T R dx- dy)-d , ex quo tam iunctio T quam r ut cognita spectan poterit et quia nunc habemus:

407쪽

, a definitas Μ et N semper eiusmodi relationem statui posse ut fiormula integrationemradmittat; sit ergo eius integrale mitii, ita ut sit

cesse ergo est quantitates p et i ita sat comparatae ut fiat

408쪽

id quod expedietur multiplicatorem T investigando, quo formula disserentialis R dx- ρον integrabilis

reddatur.

os. Praeterea Vero quoque quantitatem tu investigari oportet. In hunc finem inter quantitates' et N eiusmodi rationem indagari conuenit ut fiat

quae quidem inuestigatio semper est concedemti.

Io. cum statim totum negotium eo sit perductum ut iunctio u ex hae aequatione definiri debeat sine ambagibus , quibus in solutione sum usus , δε- Iulio sequenti modo multo facilitas absolui poterit , id quod insigne supplementum in sectionem primam suppeditat. Statuatur

erit primo P L MQ-HNR , hinc deinde obdti dx 2- -- Ο Θ) habebimus

409쪽

ubi Μ et N ita accipi oportet, ut integratio succedat, quod cum innumeris modis fieri possit, δε- Iulio hinc completa obtineri est aestimanda. Verum dum casus integrationis particularis constet, multo commodius inde solutio completa sequenti ratione elicietur. . Posito scilicet

ita ut valor ipsius in pro u sumtus iam particulariter sati flaciat, sitque Statuamus pro valore completo um vir: r, et lacta substitutione consequimur:

quae aequatio subito in hanc contrahitur: ex qua concludimus

ac propterea

unde patet hanc quantitatem s inueniri ex formuIaR dx - Q dy pro qua primo factor T eam reddens , integrabilem quaeri, tum vero eius integrale pro sitimi debet. Imprimis igitur hic attendatur , quam A a a a con-Diuiligeo by Corale

410쪽

concinne eandem solutionem elicere liceat, ad quam per tantas ambages perueneramus.

Problema 68.

I x. Proposita hac aequaticiae idissirentialiquarti gradus:

iunctionis α inuentionem saltem ad Iesblutionem ae quationis simplicioris reducere.

Solutio.

Hai e aequationem attentius contemplanti mox patebit ei satisfacere huiusmodi simpliciorem hine enim per a disserentiando

at ex ipse assumta per x disserentiata prodit 4 i do quo valore ibi indileto colligitur quae Hrma cum proposita congruit, dum sit bb'ca, quod Diqilirso by COOste