Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

241쪽

Sit data recta linea AB, oportet

ab ipsa AB imperaram parte abscindere Imperetur pars tertia, di ducat tir a punito A cluae danu recta linea AC , quae eum ipsa AB anguaum quemlibet contineat ,' sumaturque in AC, quodvis punctum D , & ipsi AD aequales ponantur DB, EC , deinde iungatur BC , de per D ipsi BC parallela dueatur DF. Itaque quoniam uni laterum trianguli Am , videlicet is si BC parallela ducta est FD; erit, ut CD ad DA, ita BF ad FA; fr dupla autem est CD ipsius DA ; ergo , di BF ipsus FA dupla erit; tripla igitur est ΒΑ-ipsiusAF. Quare a data recta linea ABi inperata tertia pars AF abseissa est. Quod facere opoItebat. ti .buiuo.

Syx data quidem recta linea insecta As,secta vero, AC; oportet rectam lineam All insectam ipsi AC iectae similitet secare. Sit secta AC in punctis D, E,&PQu ntur ita , ut angulam Memvis contineant, iun

cta Disiligod by Corale

242쪽

ctaque BC per puncta, quidem D, E ipsi BC parallelae ducantur DF , EG et per D vero , ipsi AB ducatur parallela DHΚ ; paralla logrammum igitus est utrumque ipsorum FH , ΗΒ: ae M propterea D H quidem est aequalis FG, ΗΚ vero ipsi GB r )Et quonia uni laterum trianguli DKC , ipsi sci- D relicet ΚC parallela ducta est HE ; erit ut C E ad ED, ita ΚΗ ad ΗD ἡ a ) aequa is autem est ΚΗ quidem ipsi BG , HD vero ipH GF , est igitur, ut CE ad ED, ita BG ad GF. Rursus quoniam unitater im trianguli AGE,nimirum ipsi EG parallela ducta est FD, ut ED ad DA , ita erit GF ad FA. sed ostens inest, ut C E ad ED,ita esse BG ad GF; ut igitur CE ad E D, ita est BG ad GF, & ut ED ad DA, ad FA. Ergo data recta linea insecta AB datae rectae lineae sectae AC sitnilii et secta est. -d faeere oportebat.

Probuma 3. Propositro I. Duabus iatis rectis lineis ramtiam proportionalem invenire. λSint datae duae rectae lineae AB,

AC. dc ponantur ita , qt angulam quemvis contineant; oportet ipsarum AB, AC tertiam proportionalem inveniret producantur enim AB, AC ad puncta L: ponaturque

243쪽

Eueliris Elem. quoniam Igitur uni laterum trianguli ADE,videlieet ipsi DE parallela ducta est BC, erit, ut AB ad BD, ita AC ad CE , aequalis autem est BD ipsi AC ; ut igitur BA ad AC, ita est AC ad c E Mare datis tectis lineis AB, AC tertia proportionalis inventa est CE . Quod

facere oportebat. ProbIem, . propositio Ia. Tribus datis rectis tineis quar- earn proportionalem invenire.

Sint datae tres rectae lineae

Α,BG oportet ipsaru A,B quarta proportionalem in-

de issi C aequalis DH: iunctaque GH per E ipsi parallela ducatur EF .niam uni laterunHrianguli DEF . ip . parallela ducta est GH. erit, ut DG ad G Ε, ita D HadHF: est alii e DG ipsi A aequalis ;lis Ε:& DH aequalis C ut igitur A ad B, ita C ad H P. Quare datis tribus rectis lineis A,B C quarta propoI tionalis inventa est HF. Quod facere oponeb t. ci a. hujus.

244쪽

Iuber sextus a Prablima y. Prepastis I 3. Duabas datia Nais lineiam diam proportionatim invenire.

S int datae duae rectae lineae

AB, BC, oportet ipsarum AB, BC inediam proportionaleis venire; ponat ux in directum, di in ipsa AC describatur semicircillus ADC , ducaturque 1

puncto B ipsi AC ad rectos an . ulos BD, de AD , DC iung nxur. Quoniam igitur in semicirculo est anguli is ADC , is rectus est ι ci de quoniam in ariangulo rectangu Io ADC ab angulo recto ad basim perpendicularis ducta est DB, erit DB basis partium AB , BC media proportionalis. ca Duabus igitur datis rectis lineis AB, BC m Edia proportionalis inventa est DB. Quod faeere oportebat. i 1 II. tertii. ca cor. s. hujus.

The diremas. Propositio MEqualium , se unum tin ἐaqualem habentium angusum paralleugrammorumiatera , qua circum aqua us angulos , ex contrari p.irte sibι ipsis respondente ct quorum p/trallelsσrnm-'mο - unι aquialim habentium angulum latera , qua Cara um a 'leater an los, ex contr-ria parte sibi ipsis rest AEdent ir ea inter se frent aqualia.

Sin aequalia parallelogramma AB, BC , aequales habentia angulos ad B, dc ponantur in dilectum

245쪽

erunt FB, BG . Dico parallelogrammorum AB , 2C latera i , gulos eΚ cotraria parie sibi iptis respondere : hoe est , ut DB ad BE, ita esse G B ad BF; compleatur enim parallelogramnium FE ; dc quoniam paralle logrammum AB aequale est parallelogrammo BC; aliud autem aliquod est FE parallelogrammiam, erit,

ut AB ad FE, ita BC ad FE. I sed , ut AP quidem

ergo Farallelogra morum ΑΒ , BC Iatera , qtiae circitaeqtiales angulos,ex contraria parte sbi :psis respondent. sed ex conitaria parte sibi ipsis respondeat la..tera, quae circum aequales angulos, sitque , ut DB ad

BE, ita GB ad BF . Dico parallelogranamum AB pa. rallelogrammo BC aequale esse . oniam enim est. ut DB ad BE, ita GB ad BF, cq ut autem DB ad BE, ita

246쪽

Sta AB parallelogrammii in ad parallelogrammu FE. ς J St ut G B ad BF , ita BC parallelogrammum ad parallelogrammum FE; erit, de ut AB ad F Ε, it BC ad FE ; aequale igitur est AB parallelogram muri parallelogranuno BCι ergo aequalium, ut unum

uni aequalem habentium angulum parallelogram morum latera, quae circum aequales angulos,er, contraria parte sibi ipss respondent, de quorum parat telogrananaomm unum uni aequalem habentium angulum latera , quae circum aequales angulos , ericontraria parte sibi ipsis respondent, ea inter se sunt aequalia. Laod oportebat de mons rare.

Theorem, Io. Propositio Is. Equalium , is unum tin 3 aqualem habentium augulum triangulorum Lateratain, qua circum aquales angulos , ex eontraria parte Fbi ipsia respondent , ct quorum triangulorum unum uni aqualem habentium angulum latera , qua circum AEquales angulos , ex contraria parre μι ipsa res a deuδ, e intersa sunt aqualia.

SInt aequalia triangula ABC , ADE unum angu .lum uni angulo aequalem habentia , angulum se ilicet B AC angulo DAE. Dico triangulorum ABCs ADE latera, quae circum aequales angulos ex contra. ria parte sibi ipsis respondere, hoc est, ut CA ad AD, ita esse EA ad AB; ponantur enim ita,ut in directum

sit CA ipsi AD; eito, &EA ipsi AB in directum, 2 a crisa

247쪽

aliud autem

est ABD ; erit sui CAB trian . Iguluin ad triangulum BAD , ita triangulum triangulum BAD. 2 7 Sed, ut triangulum quidem C AB ad BAD triangulum, ita C A ad AD , t 39 ut aurem triangulum E AD ad ipsum BAD , ita E A ad AB;& ut igitur C A ad AD , ita E A ad AB. Quare triangulorum ABC, ADE latera, quae circum aequa-Ies angulos. ex contraria parte sibi ipsis respondent. Sed ex contraria parte sibi ipsis respondeam lateIa , triangulorum ABC, ADE r & su, ut CA ad AD , EA ad AB . Dico triangulum ABC trianguIoaequale est e. Iuncta enim ruitiis BD, quoniam,ut CA ad A D , ita est EA ad AB , ut autem C A ad AD , ita: ABC triangulum ad triangulum BAD ι & ut EA ad AF, ita triangulum E AD ad BAD triangulum,erit,ut ABC triangulum ad triangulum BAD , ita mangu- tu in E AD ad BAD triangulum . utrumque igitur trian pulorum ABC, AD E ad triangulum BAD eandem habet proportionem ; ac propterea aequale eli

248쪽

ABC triangulum triangulo ADE; aequalium

i itur , Zc unum uni aequalem habetitium angulum triangulorum latera , quae circum aequales angulos ,eκ contraria parte sibi ipsis respondent, Ac quorum triangulorum unum uni aequalem habentium angu- Ium larera , quae circum aequales angulos ex contraria parte sibi ipsis respondent, ea inter se sunt aequa in Ita. Q d demonstrare oportebat. 09 quinti.

Theorema II. Pronsitio 16. sa quatuor recta linea proportionales fuerint , rectangis.lum extremis contentum aqriale est ei rectangulo , quod medῆι eontinetur ι θ si recta ulum extremis eontentum aquale fuerit et i quod indiis continetur , quatuor racta linea proportionalet erunt.

Sint quatuor rectae lineae proportionales AB, CD, E, F, sitque, ut AB ad CDr ita E ad F . Dieo rectanguluin contentum rectis lineis AB , F aequat esse, et , quod ipsis CD, E eontinetur. Ducantur enim a punctis A, C ipsis AB, CD ad rei hos angulos AG, CH r ponaturque ipsi quidem F aeqitalis AG: ipsi vero E aequalis CH , ει compleatur BG . DΗ parallelogramma. Quoniam: igitur est , ut AB ad CD , ita E ad F ; est autem E aequalis CH, dc Frpsi AG: erit, ut AB ad CD , ita CH ad Asparallelas minoriuri igitur BG , DH latera, quae circum 2 3 aequa.

249쪽

Theorema 6. Propositio 6. Si duo triangula unum an M. tum uni augulo aqualem habeant , circa aequales aura angulos latera prostortionalaa, aquianguia erunt trνά gula , θ' aquale; habebant angulos inuibullatera subtenduntur.

Sint duo triangula ABC, DEF unum Nangulum BAC uni an- l gulo EDF aequalem, i

habElia, cirea aequales autem angulos latera I proportionalia, sitque ut BA ad AC , ita ED B Gad DF. Dico trianguluABC triangulo DEF aequiangulum esse, Be angulum quidem ABC habere aequalem angulo BEF; angulῆ vero ACB angulo DFE.constituatur enim ad rectam lineam DF, & ad puncta in ipsa DF, alterutra anguiorum BAC,EDF aequalis angulus FDG,angulo autε

ACB aequalis DFG; reliquus igitur,qui ad Bre liquo , qui ad G est aequalis ; ergo triangulum Amtriangulo DGF, aequiangulum est , ae propterea , ut BA ad AC, ita est GD ad DF: a ponitur autem,&ut BA ad AC, ita ED ad DF. ut igitur ED ad DF, ita

GD ad DF; s 3 ὶ quare ED aequalis est ipsi DG, i '

250쪽

Liber sextus. 2IT & eommunis DFi ergo duae ED, DF duabus GD, DF aequales sunt,& angulus E DF angulo GDF est aequalis; basis igitur EF est aequalis basi FG , triangulumque DEF aequale triangulo GDF, & reliqui anguli reliquis angulis aequales, alter alteri. quibus aequa-Ija latera subtenduntur; ergo angulus quidem DFG est aequalis angulo DFE; angulus vero ad G a gulo ad E.Sed angulus DFG squalis est angulo ACB3α angulus igitur ACB angulo DFE est aequalis:ponsetur autem, & BAC angulus aequalis angulo EDF; erto, di reliquus , qui ad B aequalis reliquo, qui ad aequi angulum igitur est triangulum ABC triangulo DEF . Mare si duo triangula unum angula uni angulo aequalem habeant, circa aequales autemanguinios latera proportionalia equiangula erunt trians sal, & aequales habebunt an los , quibus homologa latera subtenduntur. mod ostendere oportebat.

s 4.primi. Theorema 7. Propositis T. si duo trianguia unum angi.-ιum uni angulo aqualem habeant, circa alios autem angulos latoa proportionalia, Θ reliquorum utrum. quesimul, vel minore ,-l non manstrem recto,a uiam-giua arunt triangula , is aquales babebunt anguloι , circaquar iste funt proportionatia.

Sint duo triangula ABC,DEF,unum angulum uni angulo aequalem habentia. videlieet angulum BΛc ansulo Lm aequalem, circa alios autem angu- Ios