Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

31쪽

tuel dis Theorema 4. pro Udio . In eadem recta I nea duabus

eisdem rems lineis alia dua retia linea aquales,altera alteris non constituentur ad aliud, atqxe aliud punctu, ad Oasdem partes, eosdem, quo trama recta lιnea,terminos habenteι.

SI enim fieri potest, In eadem

recta linea, A B duabus ei Ddem rectis lineis A C , C B aliae duae rectae lineae A D D B aequales , alteraialteri constituantur ad aliud , atque aliud punctum C,D , ad eaRem partes, ut ad C, D,eosdem habentes terminos 2 - ω A B, quos primς rectae lineae, itari Vt C A quidem sit aequalis D Aseundem , quem ipsa terminum , habens Α ; C B verosit aequalis D B, eundem habens B terminum; & C Dinngatur. Itaque quoniam A Ccst aequalis A D ; erit, di angulus A C. D angulo A D C aequalis . o) Μaic rigitur est A D C angulus angulo D C B. Quare angulus CDB angulo D C I limito major erit. Rursus quoniam C B est equalis D B,& angulus C P B equalis erit angulo D C B: ostensus aurem est lyso multo maior; quod fieri non potest. Non igitur in eadem secta linea duabus eisdem rectis lineis aliae duae rectae lineae aequales , altera alini constituentur ado aliud,

32쪽

allud, atque aliud puniam,areasden arres,eotae. quos primae rectae lineae , terimnos habentes ; quod ostendisse oportebat.

Theoremas. Prapositio 3. si duo trian uia duo latera ε duobus lateribus aequalia habeant, alterum alteri; ha beant autem , O basim basi aequalem:angulum quoqu- qui aqualιbur lateribur continetur, angula aequalem

habebunt. '

Sint duo triangula A B C D E F, quae duo later

A B, R C duobus lateribus D E D F aequalia habeant, alterum alteri; ut sit A B quidem aequale D Eς A C vero ipsi D F: habeant autem, & basim B C basi EF aequalem . Dico angulu quoque BAC angulo EDSaequalem esse. Triangulo enim ABC congruente ipsi D DEF triangulo, & pu -

Z quoniam B C ipsi E F

.sc P eit aequalis . Itaque M. corruente BC ipsi BFς congruent de BA AC ipsi; ED DF. si enim basiim quidem BC basi EF congruit; latera autem BA AC IMeribus ED DF non congruunt , sed permutantur; ut EG, GF: constituentur in eadem reo a linea , duabus eisdeni rectis lineis , aliae duae rectae lipeae aequales , Rivera alteri, ad aliud,atque aliud punctum, d easde

33쪽

nos t non conlitruuntur aute in t

demonstratum est; i non igitur, si basis BC congruit bali EF ,

non Congruent , di BA AC latera lateribus ED DF. congruent igi-4ur - hiare de angulus BAC angulo EDF congruet, di ipsi erit aqualis. Si igitur duo triangula , duo latera , duobus iteribus aequalia habeant , alterum alteri; habe aut amem,de basim has aequaler angulum quoque aequa libus lateribus contentum angulo aequalem habe bunt : quod demonstrare oportAat. I i) In antecedente.

Problema A. Propositio s. Datum angulum rectium .ne m bifariam secare.

Sit a tus angulus rectilineo B AC itaque oporiat ipsum b. faciam secare. Sumatur in li-Mea AB quodvis punctum D ; Sea linea AC ipsi AD aequalis auferatur AE; i)Jusaque D S, co- tituatur in ea triangulum aequi . laterum DEF ; sa) dc AF iungatur. Dico angulum BAC a rei halinea AF bifariam Deari. '- 'e vitam enim AD est aequalis AS s

34쪽

Luber Primus. eommunis autem AFr duae DA AF duabus EA Agaequales sutu, altera alteri. & basis DF aequalis basi EF, angulus uetur DAF angillo EAF est aequalis. 3 quare datus angulus rectilineas B C a recta linea AF bifariam sectus est: quod facere Noctebat.

' Iroblema s. Pr ostio Io. Datam rectam liveam Ormana tam bisariam secare.

Sit data recta linea terminata AB . oportet ipsa in bifar Tia in secare. constituatur in ea

Λ tD B As iectam lineam in puncto D

abifariam secari. Moniam enim AC est aequalis CB ; communis autem CD ; duae AC CD duabus Bita CD aequales sunt; altera alteri: & angulus ΑCD aequalis .angulo BCD basis istiir AD basi BD est ae t Olis. ι)Et ob id tecta linea terminata AB bifariam secta est in puncto D: quqd facere vortebat. Problema 6. Proyssia II. Datare Pa linea d puncto in

ipsa Eato ad rectos augulos rectam lineam ducere.

35쪽

tuatur triangulum aequitaterum FDΕ ; U & FC iungatur. Dico datae rectς lineae AB a pun. lo C in ipsa dato, ad rectos di- gulos ductam esse FC. Oniam enim DC est aequalis CE,& FC communis erunt duae DC CF duabus EC CF aequales, altera alteri; & basis DF est aequalis basi FE. angulus is itur DCF angulo ECF est aequalis, 3 & sunt deinceps. Quando autem recta linea super resiam lineam isi sistens, eos,qui deinceps sunt, angulos aequales inter se fecerit: rectus est uterque aequalium angulorum , 6 ergo uterque ipsorum DCF, FCE est rectus. Datae igitur rectae lineae AB a puncto in ipsa dato C ad rectos angulos ducta est FC recta linea. QSod fecisse oportuit.

Problema 7. Propositis Ia. Super datam rectam lineam insinitam, a dato puncto, quod in ea non est,perpendieularem rectam lineam duωre.

SIi data quidem recta lineae

infinita AB , datum vero punctum C , quod in ea non est oportet super datam rectam Hream infinitam AB, a dato puncto C, quod in ea non est , Per-- Pendicularem rectam lineam

36쪽

ducere. sumatur enim a I alteras pa= es Ipsus AB re

lineae quodvis punctum D: & eentro quidem C, intervallo autem CD , circulus describatur EFG r

CG, CH, CE. Dico super datam rectam lineam infinitam AB , a dato puncto C, quod in ea ' non est , perpendicularem CH ductam esse . -niam enim aequalis est GH ipsi HE , communis autem IIC , ditae GH ΗC, duabus ΕΗ, Η C aequales sunt, altera al: eri ρ& basis CG est aequalis basi CE . Angulus igitur CΗG angulo ΕΗ C est aequalis, i 3 & sunt deinceps; eum autem recta linea super rectam lineam insissens, eos,qui deinceps sunt, angulos , aequalcs inter se fecerit , rectus est uterque aequalium angulorum , quae iusistit recta linea, perpcndicularis appellatur ad eam, cui insistit, ergo super datam rcctam lineam infinitam AB . dato puncto C , quod in ea non est, perpendicularis ducta est CH. Mod facere oportebat.

Theorema 6. Propositio I 3. Cum recta linea super rectam conssiens lineam ave ulos fecerit, vel dMor rectos , v. lduobus rectιs aquales espcιet.

REcta enim linea quaedam AB super rectam CD

consistens angulos faciat CBA,ABD. Dico CBAA BD angulos , vel duos rectos esse, vel duobus rectis aequales, si enim CBA est aequalis ipsi ABD, duo te ephi M . sunt.

37쪽

aequalis, communis apponatur EBD. ergo anguli CBE EBD tribus angulis CBA ABE EBD sunt aequales. Rursus quonia DBA angulus est aequa Iis duobus DAE, EB Ακomninnis apponatur ABC. an guli igitur DBA As C tribus DBE E8A ABC aquales lunt. At ostensu est angulos quoque CBE, EBD eisdearibus aequaeles essecquae vero eide sunt aequalia,& inter se aequalia sunt. sa ) ergo & anguli CBΕ, EBD ipsis DBA ABC sant aequales, suntque CBE EBD duo recti anguli; igitur DBΑ. ABC duobus rectis aequales erunt,ergo cum recta linea super rectam lineam consistens angulos fecerit , vel duos rectos . vel duobus rectis aequales essiciet. QSod oportebat demonstrare.

Theorema I. propositis I . Si ad aliquam rectam lineam, ιιtque ad punctum in ea, dua, linea non ad easdem . portet potia , angulos, qui deinceps sunt, duobus recyι aquale fecerint ii a recta linea in directum sbi invi

aem erunt.

AD aliquam enim tectam lineam AS , atque ad punctum in ca B, duae tectae lineae AC, BD non

38쪽

hioer primus .

. ad easdem partes positae, angulos, qui deinceps sunt, ABC ABD duobus rectis aequales faciant. Dico BD ipsi CB in directum esse. Si enim BD non est in directum ipsi CB , sit ipsi CB in directum BE . Quoniam igitur recta linea ΑΒ super rectam CBE consistit, an- A guli ABC ABE duobus rectis sunt aequales. I sed di anguli ABCABD sunt aequales duobus rectis. e Anguli igitur CBA ABE ipsis CBA- ABD squal Iuni Coninaunis au-s UEL: in feratur Ainta Ergo reliquus ABEreliquo ABD est aequalis,minor majori,quod fieri non potest. Non igitur BE est in directum ipsi BC. similiter ostendemus neque aliam quampiam esse . praeter BD. Ergo CB ipsi BD in directum erit. Si igitur ad aliquam rectam lineam, atque ad punctum in ea, duae rectae lineae non ad easdem partes positae,angulos,qui deinceps sunt, duobus Iectis aequales fecerint, ipsae rectae lineat in directum sibi invicem erunt. Quod demonstrare oportebat, i Ex antecedente. Theorema 8. Propositio I s. Si dua recta linea se invicom

Duae enim rectae lineae AB,CD se invieem serent in punctis E . Dico angulum quidem AEC angulo DEB , angulum vero CEB angulo ABD aequa-B a um

39쪽

dis Eiιesidis Elem. Iem esse. Quoniam enIm recta linea AE super rectam CD consistens angulos facit CEA AED ; erunt A ta duobus rectis aequales . cry Rurius quoniam recta linea DUsuper rectam AB consistens ne in. angulos AED DE B, erunt AED DE d anguli aequales duobus rectis. ostensum autem est angulos

c B quoque C EA AED duobus rectis

este aequales . Anguli igitur CERAED angulis AED DEB aequales sunt . Communis auferatur AED. Ergo reliquus CEA reliquo BED est aequalis . et ) simili ratione,& anguli CL B, DEA aequales ostenduntur . si igitur duae rectae lineae se in vicem secuerint , angulos , qui ad verticem sunt , aequites efficient. Quod ostendere oportebat.

Exho e manifeste constat rectas lineas , quotquot se invicem secant, facere angulos ad sectione oquatuor rectis aequales.

Theorema p. Pronositio 16. Omnis trian vij, uno ut re a produc Eo,exterιsr angulus utroque interiore, ct opposita est major.

SIt triangulum ABC , Ac unum ipsius latus BC ad D producatui . Dico exieriorem angulum AC D

40쪽

utroque interiore,& opposito,videlicet CBA,de B AC majorem esse, Secetur enim AC bifariam in Ε, r & iuncta BE producatur ad F;r pQnaturq; ipsi BE aequalis EF.

l, B jungatur praeterea FC,& ducta AC ad G producatur. HOniam

Ι Ζ, I EB duabus CE EF aequales Suis ues altera alteri: & pngulus AEBE Ci D. angulo FEC est qualis, ad ver-E P, licem enim sunt . Basis igitur II AB aequalis est basi FC;Ac ABEI triangulum, triangulo FEC , I x reliqui anguli reliquis angulis aequales , alter alteri, quibus f aequalia latera subtenduntur.

aequalis angulo ECF. Sed ECD angulus maIor est ipso ECF . Major igitur est angulas ΑCD angulo BAE. similiter recta linea BC bifariam se ei a , ostendetur etiam BCG angulus , lioc est ACD angulo ABC major. Omnis igitur trianguli, uno latere producto, exterior angulus utroque interiore sdi opposito maior est. c d oportebat demonstrare.