장음표시 사용
41쪽
Dico ipsius ABC tria-guli duos angulos quomodocuque suptos ducibus rectis minores esse . Producatur enim BC aa D. Et quoniam trianguli ABC exterior angulus ACD major est interiore,& opposito ABC: a P eommunis apponatur ACB. Anguli igitur AC D, ACB, angulis ABC BCA majores sunt. sed ACD ACB sunt aequales duobus rectis. a Ergo ABC BCA duobus rectis sunt minores. Similiter demonstrabimus angulos quoque BV ACB, itemque C AB ABC duobus rectis minores esse. Omnis igitur trianguli duo anguli duobus rectis mino-τes sunt, quomodocumque sumpti; quod demonstra
Theorema II. Propositio Omnis trianguli matur latus majorem angulum subtendit.
42쪽
Tu er prisnur. etyiorem esse. Quoniam enim AC maius est, quam ponatur ipsi AB aequalis AD; &BD jungatur. Et quoniam trianguli BDC exterior angulus est ADB , erit is major interiore , de
opposito DCB. i sed ADB aequalis est ipsi ABD , quod &
Iatus AB lateri AD sit ηquale, a 2 maior igitur est & ABD angulus; angulo ACB. quare ABC iplo ACB multo maior erit. Omnis igitur trianguli maius latus maiorem angula subtendit: quod oportebat demonstrare.
Theorema ra. Propositis I9. Omnis trianguli maior auis gaelns mansi a tus obtendit.
gulum angulo BCA. dieo , & latus AC Iatere ΑΒ main. ius esse. Si enim n cn estia B maius , vel AC est aequale ipsi AB , vel ipso minus. quale igitur non est, nam & angulus ABC angulo ACB aequalis esset; non est autem: non igitur AC ip si ΑΒ est aequale. Sed neque minus , esset enim,& 3 4 an
43쪽
4 . . 'ngultis ABC angulo ACB minor: atqui non est noli igitur AC minus est ipso AH ostentum autem ea neque aequale esse. ergo AC ipso AB est majus. oranis igitur trianguli major angulus majus latus subtendit, quod oportebat demonstrare. Theorema I . Propositio et O. Omnis trianguli duo laterare iras majora sunt, quomodocumque sumpta.
dico ipsius ABC trianguinti duo latera reliquo majora sese, quomodocunque sum in Ita ; vlaeircet latera videm BA, AC mpiora latere AC; latera vero AB BC metiora Iatere AC: & latera BC CAmaiora ipso AB. producatur enim BA ad punctunia,
D; ponaturque ipsi CA aequalis An ; & DC iungatur. a'niam igitur DA est aequalis AC , erit M angulus ADC angulo ACD aequalis . si Sed BCD angu 'us maior est angulo AC D. angulus igitur BCD angulo ADC est major Et quoniam triangulunis DCB ha - . bens BCD angulum maiorem angulo ias nia,Ore in autem angulum majus latus subtendit erit latus DB latere BC maius; Sed DB est aequale ipsis BAAC, quare latera BA AC ipso BC maiora sunt. Similiter ostendemus,& latera quidem AB BC majora es-
44쪽
asbὸν pris uris, se latere CA : Iatera verb BC CA ipso AB maiora μomnis igitur trianguli duo latera reliquo major sunt, qlio modo eumque sumpta ; quod ostendere νoportebat.
l Theorema I . Propositio a I. Si a terminis unius lateris, trianguis dua recta linea intra constituantur , ha reli l quis duobus trιanguli laterιbus minores quidlm erunti ' maiorem υero anζuum continebunt.
45쪽
Euelidis Elit r. rior angulus BDC malor ipso CED. Eadem ratione . di trianguli ABE exterior angulus CEB ipso AAC est maior . sed angulus BDC ostensus est maior angulo CEB. multo igitur BDC angulus angulo BAC major
erit. Quare si a terminis unius Iateris trianguli duae rectae lineae intra constituantur , hae reliquis duobus trianguli lateribus minores quidem erunt, maiorem vero angulum continebunt. quod dena onstrare opor,tebat. Problema 8. Propositio II. Ex tribris rectis lineis tri. hus rectris tineis datis aquater sint , triangulum coristi- ruere. oportet aAtem duas reliqua majores Q. , qua' modocumque fumptas I quoη iam omnis triangulι duo latera reliquo maiora fune , quomodocumque sumpta.
SInt tres datae rei, ae lineae A, B, C, quarum duq reliqua maiores sint, quomodocumque sumptae, ut scilicet A, B quidem sint maiores quam C ; A, C vero majores qua in B; & praeterea B, C maiores quam A. Itaque oportet ex retiis lineis aequalibus ipsis A, B, C
triangulum eonstituere .Exponatur a I qua recta linea DE, terminata quidem ad D, infinita vero ad Myonatur i2 si quidem A aequalis DF, ipsi vero B aequa-
46쪽
Liber prἰmur. 27 Iis FG, & ipsi C aequalis GH: di centro F , intervat Ioautem FD circulus describatur DKL a P Rursusque centro G ,& intervallo GH , alius circulus KLΗ describatur, & iungantur KF, Κ G. Dico ex tribus rectis lineis aequalibus ipsis A, B, C triangulum ΚFG constitutum esse. Quoniam enim punctu ni F centrum est DKL circuli; eri r FD aequalis FΚ , Sed F D est aequa lis A. ergo, & FK ipsi A est aequalis. Rursus quoniam punctum G centrum est circnti LX H, erit GH aequam Iis GK. Sed G H. est aequalis C. ergo,& GK ipsi C qualis erit; est autem & FG aequalis B tres igitur rectae lineae KF, FG, GK tribus A,B. C squales sunt Qubaret ex tribus rectis lineis KE,FG, GK , quae lunt aequales tribus datis rectis lineis A,B, C, triangulum constitutum est KFG. quod facere oportebat. tert. postul. . Problema 9. Propositio datam rectam lineam, di
ad datum in ea punctum,dato angulo rectilineo arua tem angulum re itineum constituere.
SIt data quidem recta linea A B , datum verb in ipsa punctum A ; & datus angulus rectilineus
D CE . oportet igitur ad datam re Aa ui lineam A B,&ad datum in ea punctum A, dato angulo re ctili MoD C E , aequalem angulum rectilineum constituere. Sumantur in utraque ipsarum C D, C E quae is Puncta D, E , iungaturque D E, & ex tribus rectis lineis, quae a quales sint tribus CD, DE , E C triangulum
47쪽
eonstituatur Α F G, praecedenti ita ut C Dsit aequalis AF , dc CEipsi AG, &DE ipsi CP. Itaque quoniam dii a D C,C E duabus FA, AG aequales sunt, altera alteri ; & hasis D E est aequalis basi angulo F A G aequalis,
tum in ea punctum A, dato angulo rectilineo D C Eaequalis angulus tectilineus constitutus est FAG,' quod facere oportebat.
Theorema Is. Propositio et . Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habeant, alteram alteri, an gulis aurem angulo majorem , qui aqualibus rectis i ne is eontinetur, ct basim basi majorem habebunt.
Sint duo iri agnia ABC, DEF, quae duo latera AB,
AC duobus lateribus DE,DF aequalia habeant, alterum at eri, videlicet latus quidem AB aequat Iateri DB,latus vero AC aequale DF:& angui ut BAC.ngulo ΕDF sit major . Dico , Ac basim BC basi EF majorem esse . Quoniam enim angulus in C major est angulo EDF ; constituatur ad rectam lineam DE,
48쪽
que alterutri ipsarun, AC DF aequalis DG,& GE, FG iungantur. Itaque quoniam λBquidem est aequalis DE, AC ver b iph DG; duae BA AC duabus ED DG aequales sunt, altera alteri ι & angulus B AC est aeuir alis angulo EDG. Ergo basis BC basi EG est aequalis. et ) Rursus quoniam aequalis est D Gipsi DF; dc angulus DFG angulo DUE: 39 erit DFG angulus angulo EGEmajor. Μulto igitur maior est EFG angulus ipso EG F. Et quoniam triangulum est EFG, angulum EFG majorem habens angulo EG F; majori autem angulo ina-jus latus stibtenditur, erit, &latus EG tatere a EF maius. Sed EG latus est aequale lateri BC. Ergo, re BC ipso EF maius erit, Si igitur duo triangula duo la--aera duobui lateribus aequalia habeant, alterum alteri, angulum autem angulo majorem , qui aequalibus rems lineis continetur e dc basim bali majorem habebunt. Q d oportebat demonstrare. 1
49쪽
aeuobus lateribus aqualia habeant , alterum alteri, ba- vero basi majorem,er angulum avuto,qui aquati. ur lateribus Mintinetur1 maiorem idebunt.
ABC DEF, quae duo latera AB AC duobus lateribus DB DF aequalia habeant, alterum alteri , videlicet latus AB aequale lateri DL,oc latus ΑC lateri DF r ba fis autem BC basi EF sit maior. Dico, di angulum BAC angulo EDF majorem esse. Si enim non est maior vel aequalis est, vel minor . AEqualis autem non est angulus B AC angulo EDFr esset enim, di bam 'BC basi EF aequalis. II Non est autem. Non igitur aqualis est BAC angulus angulo EDF . Sed neque minor. Minor enim esset,& basis BC basi EF. a Atqui non est. non igitur angulus BAC angulo ED Fest minor. ostensum autem est, neque esse aequalem. Frgo angulus B AC angulo EDF necessariis major
erit. Si igitur duo triangula duo latera 'duobus late- Tibus aequalia habeant , alterum alteri, basim vero basi majorem ; de angulum angulo,qui aequalibus Iateribus continetur, majorem habebunt. Quod dem monstrare oportebat. Theo-
έ x quarta uius. a Ex antecedente.
50쪽
Hrema W7. Propositio 16. si duo triangula duos angi las duobus angulis aquales habeant , alterum alteri, tinumque latus uni lateri aquale, vel quod aqualibus adiacat angulis , vel quod uni aqualium angulorurufubtenditur,di reliqua latera reliquis lateribus aqua Iia, alterum alteri , ct reliquum angulum reliquo au-aulo aqualem habebunt.
A D duo triangula A , o ABC DEF,quae duos GII angulos ABC BCA duc-
lI bus angulis DEF EFD aequales habeant, alterus alteri, videlicet angulu
vero BCA angulo EiiD-Habeant autem, Ac unum latus uni lateri aequale , de Primum quod aequalibus adiacet angulis ἰ nemph latus BClateri EF. Dico , & reliqua latera reliquis lateribus aequalia habere, alterum alteri, latus scilicet AB lateri DE; & latus AC ipsi DF. & reliquum angu-1um BAC reliquo angulo EDF aequalem. Si enim inaequalis est AB ipsi DE, una ipsartim maior est. Sit major Au , ponaturq; GB aequalis DE ,& GC iungatur. Moniam igitur BG quidem est aequalis DE, BC vero ipsi EF,duae GB BC duabus DE EF aequales sui, altera alteri r & angulus GBC aequalis angulo DEF. .