Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

61쪽

4r Euclidis Elem. gulum ABC triangulo BCD aequale erit. Ergo diameter BC parallelogramum AC DB bifariam secat, Q md oportebat demonstrare Theorema 23. Propositis Paralia logramma In eadens basi, ct in eisdem Parallelis constitata, inter se aqualia sunt,

ABCD, E BCF in eadem basi BC , & in ei dem parallelis AF, BQ .eostituta . Dico ABCD paralleIogrammu parallelogrammo EBCF et quale e G. QEoniam enim parallelogramma est ABCD, aequalis est AD ipsi BC. Eadem quoque ratione, & EF est aequalis EC; quare dc AD ipsi EF aequalis erit : & communi S DE; tota igitur AE to iDF est aequa Iis, est autem, & AB aequalis DC. Ergo duae EA, AB duabus FD, DC aequales sum , altera alteri, & angulus FDC aequalis angulo EAB, exteriori litet tori; basis igitur ΕΒ basi FC est aequalis, Sc EA BtIiangulum aequa Ie triangulo F DC r cce auis

ratur DGE. Reliquum igitur trapezium ABGD reliquo trapezio EGCF est aequale . Commune appO- natur GBC triangulum. Ergo totum parallelogram'

62쪽

tibeν Prἰmati . . , mutn ABCD toti parallelogrammo ΕBCF aequale erit. Parallelograma igitur in eadem basi ,& in eis. dem parallelis constituta inter se aequalia sunt. Oct. oportebat deuionstrare Theorema ais. Propositis 36. Parallelagramma in Iibus basibus,st iu eisdem parallelis constituta inter D AEqualia sunt.

Int parallelo

grama ABCD, EFGH in aequalibus halibus BC, FG, & in eisdem parallelis ΑΗ, BG constituta . dico parallelogra mum ABCD pa- esse . Coniungantur enim BE,CΗ:& quonia aequalis est BC ipsi FG, Fc ipsi EΗ; erit & BC ipsi EH aequalis : suntq; parallelae , ' re ipsas coniungunt BE, CH. inae autem aequales, de Parallelas ad easdem partes coniungu nt, aequales, ocearallelae sunt a Pergo EB, CH&aequales sunt , reparallelae : quare EBCH parallelogrammum est, de aequale parallelogrammo ABCD ; basim enim eandem habet BC, & in eisdem parali elis BC , AD con-

stituitur a ) Simili ratione , dc EFGH parallelo

gramis

63쪽

Euelἰdis Elam. grammum ei detri parallelogrammo EB H est aequale. Ergo parallelogrammum ABCD parallelogrammo EFGΗ aequale erit. Parallelogramma igitur inaequalibus basibus, & in eisdem parallelis constituta inter se sunt aequalia. QEod oportebat demon-

Rrare. Theorema II. Propositio Triangula in eadem basi, er in eisdem paralletis constituta inter se aqualia sunt.

Sint triangulata

ABC, DBC in eadem basi BC,& in eisdem p a rallelis AD, BC constituta dico ABC triangulum triangulo DBC

ducatur AD ex utraque parte in E, F puncta: & per B quidem ipsi CA parallela ducatur BE , per C vero ipsi BD parallela CF : patallelogram nrii ci igitur est utrumq; ipsorum EBCA, DBCF , di par auelogramnium ΕBCA est aequale parallelogrammo DBCF , et enim in eadem lunt basi BC,3e in eisdem parallelim BC,S F, et estq; parallelogrammi quidem EB CAdimidiuui ABC triangulum , cum diameter AB iP-

. . sum

64쪽

Linrsum bifariam secet; 3 parallelogrammi vero DΗ. CF dimidium triangulum DBC, diameter . n. DC ipsum bifariam secat. autem aeqii alium dimidia, inter se aequalia sunt q) Ergo triangulum ABC triangulo DBC eit aequale. Triangula igitur in eadein eisdem parallelis c5stituta inter se aequa- lia sunt. Quod oportebat demonstrare. t

ABC,DEF iii aequalibus basibus, BC, EF, de in 'eisdem paralla- Iis BF, AD costi. tuta, Dico ABC triangulum tri gulo DEF aequa- Ie esse. producatur enim An ex utraque paste in s G, H puncta: di per B quidem ipsi CR parallela du-Gatur BG I9 per F Uero dueatur FH parallela ipsi DE. Parallelograminum igitur eit ut Iuinque ipsoru GBCA, DEFH. Atq; est parat elograminum GBCA

a 2 3 r. hujus.

65쪽

46 Euelissis Elam. aequale parallelogrammo DEFH: In aequalibus .u. Tum basibus BC, EF,& in eisdem BF,GH parallelis.ca Parallelogrami vero GBCA dimidium est ABC triangulum , sam diameter AB ipsum bifariam secat 3J Et parallelogrammi DEFH dimidium est: triangulum DEF , diameter enim DF ipsum secat hilariam : quae autem aequalium dimidia , inter se a aequaliarunt. 49 Ergo ABC triangulum triangulo DEF est aequale. Triangula igitur in aequalibus basebus, dc in eisdem parallelis constituta, inter se sunt

aquaIia. Quod demonstrare oportebat.

Theorema I9. Proposito 'Trιangulas aqualia in dem basi. ad easdem partes constituta , in eisdem

6μρque Iunx larallatis. parallela recta linea AE , ianui est C trians ulu n it int aequalia trianguIaD ABC, DBC in eademo a si BC constituta, re

& in eisdem parallelig

esse. Iungatiar . n. A D.

Dico AD parallelam esisse ipsi BC. Si enim non est parallela , ducatur per A punctum ipsi BC de EC jungatur . aequat oi triangulo EBC. in eadem

66쪽

Liber Primus. εν v. est basi BC,&in eisdem BC, AE parallelis. Sed ABC triangulum triangulo DBC est aequale. Ergo, Metriangulum DBC aequale est ipsi EBC triangulo, maius minori. quod fieri non potessi Non igitur ΑΕ ipsi BC paralleIa est. Similiter ostendemus neque aliam quampiam parallelam esse, praeter ipsam A D. ergo AD ipfi BC est parallela. Triangula igitur aequalia. in eadem basi, Sc ad easdem partes constituta in e in dem quoque sunt parallelis. sid oportebat d

monstrare. Theorema 3 o. Proposito o. Triangata aqualia inbus aqualibus , θ' ad easdem partes eo stituta in esse dem quoquesunt parallelis.

triangula ABC, CDE . in aequalibus basib iis BC.

CE constituta , . Dico etiam irin eisdem etae pa xallelis .conjun gatur enim AD.

dico AD ipsi PE parallelam esse . Nam si non est, ducatur per Aipsi BE parallela AF, bc FE .iungatur. triangulum igitur ABC triangulo FCΕ est aequale cum in aequalibus basibus, & in eisdem parallelis ΣΕ, AF constituamur c a 2 sed triangulum ABG

67쪽

43 Euelidis Elem. aequale est triangulo DCE , ergo & triangulum DCE triangulo FCE aequale erit, majus minori, quod fieri non potest. non igitur AF ipsi BE est pa-

. rallela . Similiter . demonstrabimus neque aliam quampiam parallelam esse, piaeter A D. ergo AD ipsi BF parallela erit. Aequalia igitur triangula in basibus aequalibus, & ad easdem partes constituta,etiam in eisdem sunt parallelis. quod demonstrare opo tebat. Theorema 3I. Propositio ἐν I. si parallelogrammum , Ostriangulum eandem basim habeant in eisdemque sine arallelia, parallelogrammum ipsius trianguli duplum

triangulum

in eisdem sint parallelis BC,AE. Dies paralleIogrammum ABCD trianguli EBC duplum esse. Iungatur .n- AC. triangulum igitur ABC triangulo EBC est aequale;

tamque in eadem basi BC , & in eisdem BC,AE pa- allelis constituitur. a P Sed ABCD parallelogram-

68쪽

Libor Primus. Φ'mum duplum est trianguli ABC, eum diameter AC

trianguli duplum erit. Si igirur parallelogranamum, di triangulum eandem basim habeant, εe in eis em sint parallelis; duplum erit parallelogram mm ipsus trianguli, quod demonstrare Oportebat. 34. huius.

Froblema II. Propositio alet. Dato triangulo aquale paralleletrammi m eonstituero in dato angulo remtineo.

CIt datum triangulum ABC , datus autem rectilineus angulus D. Itaq; oportet , dato tri 'ngulo ABC aequale parallelogrammum constituere insulo lectilineo ipsi D aequali. Secetur BC bisarianio

;n E, i & iuncta AE , ad rectam linea EC, atque ad

pucictVm in ea E , constituatur angulus CL F κ quo D lis

69쪽

D E C

3i, ipsi D. &-Aquidem ipsi BC parallel

II tur est FECG. Et quoniam I Bε est aqualis EC , erit, de f AEE triangulum trianguis f D ASC aequale; in aequalibus

B in f. n. sunt basibus BE, EC , 5e in eisdem BC,AG parallelis. Ergo triangulum ABC trianguli AEC est duplua Est autem, & parallelogrammum FECG duplum, trianguli AEC, basim .n. eandem habet, &in etiadem est paralleli SI aequale igitur est. FECG pa-1allelogrammum it angulo ABC, habetq; C EF angulum aequalem angulo D dato. Dato igHur triangulo ABC aequale parallelogrammum FECG constitutumust, in angulo C EF, qui angulo D est aequalis . Mod uidem facere oportebat.

huius. Theorema 32. Propositis 43. Omnis paralislogram , quaeirca diametrum sunt , paralielos rammaνum μpplementa inter se sunt

Syx parallelogrammum ABCD, euius diameter Amac circa ipsam AC para telogramma quidem siugna vero iapplemenia disuntur AK,s P.

70쪽

Dieo Ex supplementum suplameto KD aequaIe esse. Uoniam enim par llelogrammum estABCD,&eius D diameter AC , aequale est I ABC triangulum triangulo

, ADC. a 2 Rursus quoniami ESHA parallelogrammum

aequale erit. Eadem ratione,& triangulum ΚGC triangulo KFC est aequale . Cum igitur triangulum quide ΑΕΚ aequale sit triangulo AHΚ : triangulum vero KGC ipii KFC; erit triangulum ΑΕΚ una cum triangulo KGC aequale triangulo AH Κ una cum KFCtriangulo. Est autem, & totum triangulum ABC aequale toti ADC. reliquum igitur ΒΚ supplementumaeliquo supplemento KD est aequale, Ergo omnis parallelogrammi laatii, eorum , quae circa diametrum sunt,paria elogrammorum suprementa irrier se squa-4ia sunt . Quodoportebat demonstrare:

F blema r3, Propos io datam rectam Iineam ro triangulo aquale parallelegrammum applicarie in dato ariluto retialineo.

Sudata quidem recta linea AB; datum vero tria gulum C: εc datus angulus rectilineus D. opo etet igitur ad datam rectam lineam AB, dato tri-C aquabe parallelogrammum applieare in a