Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

51쪽

Iis aequales , aIter alteri , quibus aequalia latera subtenduntur. 19 Ergo

v BCA est aequalis , mi B HC E F nor majori , quod fieri

. non potest. Non igitur inaequalis est AB ipsi DE. Ergo aequalis erit. Est autem & BC aequalis EF. Itaque duae AB BC duabus DE EF aequales sunt , altera alteri , & angulus ABC aequalis angulo DEF. Basis igitur AC basi DF, & reliquus angulus BAC reliquo angulo EDF est squalis. a) sed rursua sint latera, quae aequalibus anguli Ssubtenduntur,aequalia,ut AB ipsi DE. Dico rursus, dereliqua latera reliquis lateribus aequalia e sse ; AC . quidem ipsi DF, BC vero ipsi EF : dc adhuc reliquum angulum BAC reliquo angulo EDF qualem. Si enim inaequalis est BC ipsi EF , una ipsarum major est. Sit major BC,si fieri potest; ponaturque ΒΗ aequalis EF, R ΑΗ iungatur. konia igitur ΕΗ quidem est aequalis EF , AB vero ipsi DE ; duae AB BH duabus DE EFaequales sunt, altera alteri, dc angulos aequales continent.Ergo basis AH basi DF est qualis,& ΑΕΗ triangulum triangulo DEF, dc reliqui anguli reliquis angulis s) quart.hujus. si quari hujus,

52쪽

Libὸν Primur, gulis aequales erunt, alter alteri , quibus aequalia Ia.,

tera subtenduntur 3 AEqualis igitur est angulus

BHA angulo EFD Sed EFD est aequalis angulo BCA. Ergo,& BHA angulus angulo BC A est aequalis. Tria-guli igitur AH C exterior angulus B HA aequalis est interiore ,& opposito BCA , quod fieri non potest. inare non inaequalis est BC ipsi EF. AEqualis igitur. Est autem , di AB aequalis DE. Duae igitur AB, BC duabus DE, E F aequales sunt, altera alteri , 'angulosq; aequales continent. mare basis AC aequalis est basi DF , & ABC triangulum aequale triangulos DEFreliquus angulus B AC reliquo angulo EDF est

aequalis. Si igitur duo triangula duos angulos duobus angulis aequales habeant, alterum alteri,unumq; latus uni lateri aequale , vel quod. aequalibus adjacet angulis, vel quod uni aequaliam angulorum subtenditur;& reliqua latera reliquis lateribu, aequalisto, alterum alteri, di reliquum angulum reliquo angulo aequalem habebunt inod oportebat demonstrare.

Theorema I 8. Proposito Si in d/ιas rectas lineas recta lin. a incidens alternos angulor inter se avffa 931seerat , parallela erunt ri d a liη ea.

IN duas enim rectas lineas AB, CD , recta linea EF

incidens alternos angulos AEF ,EFD aequales inter se faciat. Dico rectam lineam AB ipsi CD par*llelam esse . Si enim non est parallela , productae AB,CD, vel ad partes B,D conuenient, vel ad patres A, C. Producantur , eonveniantque ad partes B, D in

musto G. Itaque GEF trianguli exterior angulus

53쪽

Euclidis Elem. AEF maior est interiore,& opposito EFG si sed & qualis, quod fieri non potest et non igitur AB, CD productς ad partes A, D convenient. Similiter demo

strabitur neq; convenire ad par es A,C. quae vero in neutras partes conveniunt , parallelae inter se sunt. Parallela igitur est AB ipsi CD. Mare si in duas rectas lineas recta linea incidens alternos angulos inter se aequales fecerit , parallelae inter erunt rectae lineae, quod ostendere oportebat.

Theorema ostio 28. Si in duas rectas lineas recta linea incidens exteriorem angulum interior, , is oppo- sito, is ad easdem partes aqualem fecerit , vel interiorer , ct ad easdem partes duobusrectis aquales, paral tela erunt ἐnter se vecta linea.

IN duas enim rectas lineas A B, CD recta linea EF incidens exteriorem angulu EGB inter lori,Mopposito G H D aequalem faciat ; vel interiores , de ad easdem partes BGH,GH D, duobus Tectis aquales. Dico rectam lineam AB rectae CD. parallelamcne. Rupniam . n. EG3 angulus aequalis est anguis

54쪽

di angulus AGHangulo GHD α- qualis,dc sunt alterni . Farallela

quonia anguli FGH,GΗD duobus Teistis sunt aequales , di sunt AGH BGH aequales duobus rectis 3

erunt anguli AGH, BGΗ angulis AGH GH D aequai les . Communis auferatur BGΗ. Reliquus igiturAGu est aequalis reliquo GΗD: dc sunt alterni. Ergo AB ipsi CD parallela erit. Si igitur in duas rectas lineas recta linea incidens exteriorem angulum interiori , dc opposito, & ad easdem partes aequalem , shcerit, vel interiores , di ad easdem partes duobus δ rectis aequales; parallelae erunt inter se rectae lineae. id demonstrare opoItebat.

Theorema Io. Propositio 29. In parallelas rectas lineas recta lineae ineιdens, ct alternos angulos inter se agiια-les, ct exteriorem interiori, er opposito , ct ad easdem partes aqualem , ct interioror , ct ad easdem para Euolms rectὶs aquales essetet.

IN parallelas enim rei has lineas AB, CD recta

linea incidat E F. Dico alternos angulos AGIT, GH D inter se aequaIes esse ere , dc exteriore νΣGO,laterioti, di ad easdem partes GHD aqualem

55쪽

- . Euclidis Elam.& interiores , & Ed easdem partes BGH, GHD duobus rectis aequales. Si enim inaequalis est AGH ipsi GHD, unus ipsoro rum maior est.Sit quoniam AGH angulus major est.

M munis apponatur

tur AGH, BGH angulis BGH, GH D maiores sunt . Sed anguli AGHBGH sunt aequales duobus rectis. I Ergo BGH, GH D anguli sunt duobus rectis minoies . vero minoribus , quam sint duo recti, ita infinitum producuntur rectae lineae inter se conveniunt a in Ergo rectae lineae AB,CD in infinitum productae convenient inter se. Atqui non conveniunt, cum parallelae ponantur . Non igitur inaequalis est AGH angulus angulo GH D. Quare necessario est aequalis. AnguinIus autem AGH aequalis est angulo EGB 3 Ergo, Adc EG B ipii GH D aequalis erit. Communis apponatur BG H. Anguli igitur EG B, B,GH sunt aequales angulis BGH, GHD. Sed EG B, BGH aequales sunt duo-hus rectis. Ergo, & BGH,GHD duobus rectis aequa Iςs erant. In parallelas igitur rectas lineas recta linea incidens, & alternos angulos inter se aequales s' de exteriorem interiori, &opposito, &ad easdem

56쪽

Liber Primus. . 37 partes aequalem, & interiores, di ad easdem partes duobus reetis aequales essiciet. Quod oportebat demonstrare Thebrema a I. Propositio 3 o. eidem recta linea fune paralleis, di inter se parallela erunt.

E F rallela . Dico, de AB ipsi CD

C , parallelam es

in ipsas recta linea GK . dc quoniam in parallelas rectas Iineas AB,EF, recta linea GK incidit, angulus AGH angulo GH est 2- qualis. Rursus quoniam in parallelas rectas lineas EF, CD, recta linea incidit GΚ , aequalis est angulus angulo GKD. ostensus autem est , & angulus AGK angulo GIIF aequalis; ergo , & AGK ipsi GKD aequalis erit, &sunt alterni. Parallela igitur est AB ipsi CN. Ergo quae eidem rectae lineae sunt parallelae, 6c inter se parallelae erunt, quod OPortebat dentonstrare. Problema IO. Propositis 3 r. Pὸν datum punctum dat

reota linea parallelam rectam lineam ducere.

Syx datum quidem punctum A , data vero recta linea BC. Oportet per A punctum iρsi BC rectae

57쪽

ast Euendis Elem. lineae parallelam rectam lineam ducere. sumat avin BC, quodvis punctum D , di iungatur AD: constituaturq, ad rectam Iineam DA . de ad punctum i fi ipsa A, angulo ADC aequalis angulus DAE. dc in directum ipsi EA recta linea AF producatur . Onia igitur in duas tectas lineas BC, EF recta linea AD incidens alternos angulos EAD, ADC inter se aequales efficit,EF ipsi BC parallela erit ca Per datum igitur punctum A datae rectae lineae BC parallela ducta est recta linea EAE. quod facere oportebat.

Theorema 22. Proposito 32. Omnis trianguli uno rere pro asso exter Dr aurulus duobus interioribus , eroppositis est aqualis, ct trὸ anguli tres interiores an sulιdκοbus rems aqualea sunt.

Sit triangulum ABCr

dc unum ipsius latus BC in D producatur. Dico angulum exterio in rem ΑCD duobus interioribus , εc oppositis CAB ABC , aequalen ine, di trianguli tres

58쪽

Liber primunanterioreς angulos ABC BCA CAB duobus tectis esse aequales. Ducatur. n. per punctum C ipsi AR rectae lineae, parallela CE. r ὶ Et quoniam AB ipsi CE parallela est, & in ipsas ineidit AC , alterni an- guli BAC, ACE inter se aequa 'es sunr au Rursus quoniam AR paralleIa est CE , εc in ipsas incidit re- Aa linea AD , exterior anguIus ECD interiori , de opposito ABC est aequalis. 3 ὶ ostensus autem est angulus ACB aequalis angulo BAC . cla re totus. ACDenerior angulus aequalis est duobus interioribus ,&oppositis BAC, AB C. communis apponaturACB. anguli igitur ACD, ACB tribus ABC, BCA, CARaequaIes sunt. Sed anguli ACD . ACB sunt aequales duobusrectis. Ergo & ACB,CBA, C AB duobus

rectis aequales erunt. Omnis igitur trianguli uno la. tere producto exterior angulus duobus interioribus,& oppositis est aequalis & trianguli tres interiores anguli duobus restis aequales sunt. Quod demonstrare oportebatis

Theorema 23. Proposito Etua aquales, dr parallelasai easde partes coniungunt recta linea , ct aqua.

lei, er parallela sunt. SInt aequales, ¶lleIae AB, CD: & ipsas eon jungant ad easdem partes rectae lineae AC, BD. Dico AC BD aequales, & parallelas esse ,

59쪽

4o Euclidis Elem. tur enim BC. Et quoniam AB parallela est CD, in ipsa'; incidit BC, alterni anguli ABC, BCD aequales sunt. I9 Rursusqitonia AB est aequalis

CD , communis autem. BC, duae AB, BC dua-

bus BC, CD sunt aequa-lles ; de angulus ABC aeqvplis angulo BCD. Basis igitur AC bas BD est aequalis: trianguluq; ABC tria gulo BCD:& reliquianguli reliquis angulis aequales erunt, alter alteri , quibus aequalia latera subtenduntur fa) Ergo angulus ACB angulo CBD est aequalis. Et quoniam in duas rectas lineas AC, BD recta linea BC incidens, alternos angulos ACB, CBD aenuales inter se essicit, . parallela est AC ipsi BD. 3 9 Ostensa autem est . Ac ipsi aequalis. Mae igitur aequales ι & parallelas ad . easdem partes coniungunt rectat lineae , dc ipsae aequales , & parallelae sunt . Quod oportebat dein

monstrare.

Theorema a . Propositio Para Horram morum θα-tiorum latera , qua ex Opposito an 'iri , inter se aqualia sunt i ct diameter ea bifariam secat.

Syx p rallelogrammum AC DB, eujus diameter B C. Dico AC, DB paraIlelogrammi latera , quae

60쪽

ex opposito, &angulos inter se aequalia esse. ; ω diametrum BC ipsum bifariam secare. inoniam. . n. parallela est AB ipsi CD, dc in ipsas incidit recta linea BC; anguli alterni ABC,BCD inter

se aequales sunt . Ru

sus quoniam AC ipsi BD parallela est, di in

psas incidit BCi aI terni anguli ACB,CBD aequa Ies sunt inter se. Duo igitur triangula sunt ABC, CBD , quae duos angulos ABC, BCA duobus angulis BCD, CBD aequales habent, alterum alteri r & unum latus uni lateri aequale, quod est ad aequales angulos , utriq; commune BC. ogo, & reliqua latera reliquis lateribus aeq-lia habebunt aluerum alteri, & reliquum angulun reliquo angulo aequalem . aequale igitur est latus

quidem AB lateri CD: latus vero AC ipsi BD. & a gulus BAC angulo BDC aequalis, Et quoniam angulus ABC est aequalis angulo BCD; & angulus CBD

angulo ACB, erit totus angulus ABD aequalis toti. AC D. ostensus autem est , 3c angulus BAC angulo BDC aequalis. Parallelogrammorum igitur spatiorulatera, quae ex opposito ,-anguli , inter se aequalia sunt. Dico etiam diametrum ea bifariam secare. Quoniam. n. aequalis est AB ipsi CD, communis autem BC . duae AB, BC duabus DC, CB aequales sunt, altera alteri, & angulus ABC aequalis est angulo BCD. Basia igitur Ac basi DB aequatis. Quare, & tria