Philosophiae naturalis theoria redacta ad unicam legem virium in natura existentium. Auctore P. Rogerio Josepho Boscovich Societatis Jesu publico matheseos professore in Collegio romano anno 1758

361쪽

Inde autem colligitur illud, in motu totius systematis 'compo

1ito ex motu uniformi in direEhim, & ex rotatione circularii circa axem itidem translatum haberi semper rectam quandam pertinervem ad systema, nimirum cum eo connexam, pro quovis tempusiculo suam, quae illo rempusculo maneat immota, & circa quam, ut cir ca quendam Gem immotum convertatur eo tempusculo totum systema.. Concipiatur enim planum quodvis transiens Per axem rorationis circularis, S in eo plano sit recta quaevis mi parallela; ea COnVertetur circa mem velocitate eo majore, quo magis ab ipso distat. Erit igitur aliqua distantia ejus rectae ejusmodi, ut Ueloci conversionis aequetur ibi velocitati, quam habet centrum gravitatis cum me translato; & in altero e binis appulsibus ipsius rectae parallelae gyrantis cum systemate ad planum perpcndiculare ei plano, quod axis uniformiter progrediens describit, ejus motus circularis fiet contrarius motui axis ipsius, adeoque motui, quo ipsa axem comitatur, cui cum ibi & aequalis sit, motu altero Per Qterum elissi, ea rem quiestat illo tempus Io, ct systema totum motu composito gyrabit circa ipsim. Nec erit dissicile dato motu centri gretvitatis , S. binarum massarum non jacentium in eodem plano transeunte per mem rotationis, invenire positionem axis, &nurus reis se immotae Pro quoVis dato momento temporis.

Chaseratur jam in ejusmodi systemate punctum aliquod, cuius motus, si per externam vim impediatur, debeat miluis actionibus sm motus totius systematis, quod punctum, si uspiam fuerit, dicariir centrum Percussionis. Concipiantur autem massis omnes translator per rectas parallelas rectar illi manenti immotae tempusculo, quo motus sstitur, quam rectam hic appellabimus axem rotationis , in planum ipsi perpendiculare transiens Per centrum gravitatis , ct in Figura 64 exprimatur id planum ipso plano schematis; si autem ibidem P centrum rotationis, per quod transeat axis ille, sit G centrum gravitatis, & A una ex massis. Consideretur quoddam punctum G assiimptum in ipsa recta PQ, & aliud extra ipsam, ac singularum massarum motus concipiatur re lutus in duos, alterum perpendicularem rectae ΡG agentem directione Aa, alterum ipsi parallelum agentem directione PG, ac velocitas ab luta puncti Q dicatur U. - Disiligod by GOrale

362쪽

. Erit autem P A . Pa:: -κV RV, quae erit velocitas secun-

velocitas secundum directionem P G. Nam in compositione & resolatione motuum, ii rectar phrpendiculares direetionibus motus compositi, & binorum componentium, siunt velocitates ut latera ejus trianguli ipsis respondentia, velocitas autem absoluta est Perpendicularis ad A P. Inde vero bini motus sec dum eas duas directiones erunt κ A κ V, & κ A κ V.

ram centri gravitatis summa omnium A.c ...H-mero, ct sit

quantitas data. Quare si per vim externam applicatam cuidam

puncto O, S mutuas actiones sistatur 'mma omnium motuum

Μ Α κ V, sistetur totus systematis motus, reliqua fiamma elisa perstias vires mutuas , quarum nimirum summa est itidem tero. Ut habeatur id ipsum punctum G, concipiatiar quaevis massa A conneXa cum eo, & cum puncto P, vel cum massis ibidem conceptis, & summa omnium motuum, qui eX neXu derivantur inia, dum extinguitur is motus in omnibus A, debet elidi per vim eX ternam; summa vero omnium provenientium in P, ubi nulla vis externa agit, debet elidi per se se. Haec igitur posterior si maerit investiganda, ct ponenda O.' Porro posito radio m I est eu Theoremate trium matarum ut Ρκ Ρωκ 1 ad AκAOκ QAa, sive ut Pκ PO ad A κοα, P a ita actio in A secundum directionem perpendicularem ad PQ -

363쪽

etyro demptis communibus , aequabuntur positiva negativis,

mΜκΡG, posto ut prius M Pro summa massarum, fiet PQ f A Pq' qui Valor datur ob datas omnes massas A, datas Omnes

rectas Ρa, ac datam PG. E. F. rog - I. Quoniam aΡ aequam. Histancae perpendiculari A a Plano transeunte per P perpendiculari ad rectam P G, habebitur hujusmodi Theorema. Distantia centri perci/gionis ab axe rotationis in recta ipsi axi perpendiculari transeunte per centrum gravitatis habebitur dueendo stingulas massas in quadrata suarum distantiarum pra*endicula m a plano perpendiculari eidem recta D msume per axem ij sum rotationis , ac dividendo fummam omnium ejusmodi ι-oductorum per factum ex summa motrum in distantiam Ferpendiculareme Iri gravitatis communis ab eodem plano. Corollarium II. Si massae iaceant in eodem unico plano quovis transeunte per aXem ; A &ὸcongruunt, adeoque distantiae Pa fiunt ipste distantiae ab aXe. Quamobrem in hoc castu formula haec inventa pro centro percussionis congruit prorsus cum formula inventa pro centro oscillationis, & ea duo centra sunt idem punctum, si axis rotationis sit idem , adeoque in eo casu transferenda sunt πd centrum percussionis , qua que pro centro oscillationis sunt demonstrata. Corollarium III. Si aliqua massa iaceat extra eiusmodi piadum Pertinens ad aliam quampium , erit ibi Ρ a minor, quam PA, adeoque centrum percusonis distat'Minus ab axe rotationis, quam distet

retarum oscillationis. .

364쪽

Corollarium IV. In formula generali P G - .

autem deducuntur sequentia Theoremata affinia similibus pertinentibus ad centrum oscillationis deductis in ipso opere. Si impresso ad sistendum motum fiat in recta perpendiculari' i rotationis transeunte per centrum gravitatis, centrum gravitatis jacet inter centrum perciissionis, & Gem rotationis. Nam PQ evasit major quam PG. Produinum sub binis distantiis illius ab his est constans , ubi aXis rotationis sit in codem plano quovis transeunte per centrum gravitatis cum eadem directione in quacunquo distantia ab ipi centro

In eo cassi punctum axis pertinens ad id planum, & centrum Percussionis reciprocantur; cum nimirum productum stib binis eorum distantiis a constanti centro gravitatis sit constans. Abeunte axe rotationis in infinitum, ubi nimirum totum syste- ima mΟVetur tantummodo motu parallelo centrum percussionis abit in centrum graxutatis. Nam altera e binis distantiis excrescente in infinitum, debet altera evanescere. Porro is casus accidit semper etiam, ubi omnes massae abeunt in unum punElum, quod erit tum ipsum gravitatis centrum totius systematis, S progredietur sine ro ritione ante percussionem. Abeunte aXe rotationis in centrum gravitatis, nimirum quie scente ipsio gravitatis centro, centrum perciissonis abit in infinitum, nec ulla percussione applicata unico puncto motus sisti potest. Nam e contrario altera distantia evanescente, altera abit in infinitum. Corollarium V. Centrum percussionis .debet iacere in recta Perpendiculari ad axem rotationis transeunte per centriam gravita xis. Id evincitur per quartum e superioribus Theorematis. Solutio problematis adhibita exhibet solam distantiam centri percusso-b nis

365쪽

nis ab axe illo rotationis. Nam demonstratio manet eadem, ad quodcunque planum perpendiculare axi roducantur per rectas ipsi axi parallelas ec mastae omnes , oc ipsum centrum gravitatiS com mune, adeoque inde non haberetur unicum centrum percusIioniS, sed series eorum continua parallela mi ipsi, quae abeunte me rotationis ejus direetionis in infinitum, nimirum cessante conversione respectu ejus directionis, transit per centrum gravitatis juxta id Theorema. Porro si concipiatur planum quodvis perPen diculare mi rotationis, omnes massae respectu rediarum Perpen dicularium axi priori in eo jacentium rotationem nullam nabent, cum distantiam ab eo plano non mutent, sed ferantur secundum

Hira directionem, adeoque respectu omnium directionum priori axi perpendicularium jacentium in eo plano res eodem modo se habet, ac si inis rotationis cujusdam ipses respicientis in infinitum distet ab earum singulis, S proinde respectu ipsarum debet ceu trum percussionis abire ad distantiam, in qua est centrum bravitatis, nimirum iacere in eo Plarioriam parallela m omnes e usmodi

directiones continentium, quod transit per ipsum centrum gravi tatis; adeoque ad sistendtim penitus omnem motum, & ne pars altera Procurrat ultra alteram, α eam vincat, debet centrum percus sionis sacere in plano perpendiculari ad axem transeunte per centrum gravitatis, & debent in solutione problematis omnes massae reduci

ad idipssim planum, ut Priestitimus, non ad aliud quodpiam ipsi parallelum; ac eo pacto habebitur aequilibrium minarum, hinc α inde Positarum, quarum ductarum immas distantias ab eodem plano siummae hinc & inde acceptae aequabuntur inter se. Porro eo plano adsblutionem adhibito, patet ex ipsa itutione, centrum percustionis jacere in recta perpendiculari mi ducta per centrum gravitatis; jacet enim in recta, quae a centro gravitatis ducitur ad illud Pun m , in quo axis id planum secat, quae recta ipsi axi perpendiculari toti illi plano perpendicularis esse debet. Corollarium H. Impactus in centro percussionis in corpus externa vi ejus morum sistens est idem, qui esset, si singulae massae incurrerent in ipsum cum suis velocitatibus respectivis redactis ad directionem perpendicularem plano transeunti per axem rotationis, ct centrum gravitatis, sive si massarum simma in ipsum incitra eret directione, & velocitare motus, qua sertur centrum Ara iratis. Patet primum, quia debet in Q haberi vis contraria directioni illius motus perpendicii laris plano transeunti per aX , Par extinguendis omnibus omnium minarum velocitatibus ad eam

366쪽

directionem redares, quae vis itidem requireretur, si omnes ma eo immediate devenirent cum ejusmodi velocitatibus.

Patet secundum ex eo, quod velocitas illa pro massa A sit P q

κ V , adeoque motus κ V, quorum motuum summa est

punctum movetur lo motu perpendiculari ad PG, adeoque si massa totalis M incurrat in G cum directione, & celeritare, qua fertur centrum gravitatis G, faciet impressonem eandem. Corollarium VII. Potest motus sisti impressione facta etiam . extra remm PG, seu extra planum transiens per mem rodarionis, ct centriim gravitatis, nimirum si impressio fiat in quodvis punctum rectar eidem Plano Perpendicularis , ct transeuntis per Q directione rectar ipsius. Nam per nexum inter id punctum, S O statim impres.so per eam rectam transfertur ab co puticto ad ipsiim M. Coro rima VIII. Contra vero si imprimatur dato cuidam puncto systematis quiescentis vis quaedam motrix, invenietur facile motus inde communicandus ipsi systemati. Nam ejusmodi motus erit is, qui contrario aequali impativssteretur. Determinatio autem regressu facto per ipsam problematis lutionem erit hujusmodi. Centrum gravitatis commune movebitur directione, qua egit vis, ct velocitate, quam ea potest imprimere massae totius systematis, quae ad eam, quam potest imprimere massae cuivis, est ut haec posterior massa ad illam priorem, & si vis ipsa applicata fuerit ad centrum gravitatis, vel immediate, vel per rectam tendentem ad ipsum, systema sine ulla rotatione movebitur eadem velocitate; sin autem applicetur ad aliud punctum quodvis directione non tendente ad ipsum centrum gravitatis, praeterea habebitur conversio, cujus mis, G. celeriras sic invenietur. Per centrum gravitatis G agatur planum perpendiculare rectae, secundum quam fit impactus, & notetur pun- Oum. O, in quo eidem plano Occurrit eadem recta. Per ipsiam punctum G ducatur in eo plano recta perpendicularis ad O G, quae erit mis quaesitus. Per punctum Q concipiatur alterum planum perpendiculare rectae G G, capiantur omnes distanriae per

367쪽

mirum sitis aQ: singularum quadrata ducantur in stas massas, &faetorum summa dividatur per silmmam inassarum, tum in recta GO producia capiatur GP aequalis ei quoto diviso per ipsem OG.& celeritas puncti P revolventis circa axem inventum in circulo, cujus radius GP, crit aequalis celeritati inventae centri gravitatis, directio autem motus contraria eidem. Unde habetur directio, &celeritas motus punctorum reliquorum systematis. Patet constructio ex eo, quod ita motu composito movebitnrsystema circa axem immotum transeuntem per P, qui motus regressit facto a constructione tradita ad inventionem praemistam centri percussionis sisteretur impressione contraria dc aequali impressoni datae. Sebolium. Hoc postremo Corollario definitur motus vi externa impressus systemati quiescenti. Ouodsi jam systema habuerit aliquem motum Progressivum, & circularem, novuS .mOrus inter na vi inductus juxta Corollarium ipsium comPonendus erit cum Priore, quod, quo pacto fieri deb-ε,-- Πωὲ inquiram, ubi centrum percussionis persequor tantummodo. Est Perquisitio ex iisdem principiis perfici potest, & ejus ope patet aperiri aditum ad

inquirendas etiam mutationes, quae ab inaequali actione lis & lunae in partes supra globi formam extantes inducuntur in diurnum motum; adeoque ad definiendam ex genuinis principiis praecessionem sequinoctiorum, nutationem axis; sed ea investigatio peculiarem tractationem requirit. Interea gradum hic faciam ad aliam notionem quandam centri percussionis, nihilo minus, imo etiam magis aptam ipsi nomini. Ad eam perquisitionem sic progrediar. Problima. Si systema datum Vrans data velocitate circa axem datum externa vi immotum incurrat in dato sito puncto in massam datam, delatam velocitate data in directione motus puncti ejuSdem, quam massam debeat abripere secum; quaeritur velocitas, quam et massie

imprimet, & ipsim systema retinebit post impactum.

Concipiatur totum systema projectum in planum perpendicu lare axi rotationis transietis per centrum gravitatis G, in quo lano punctum conversonis sit Ρ, massa autem m recta P G in Q. Velocitas puncti cujusvis systematis, quod distet ab axe per intervat tum m I ante incursum sit a , velocitas ab eodem amma ut

368쪽

mx', adeoque velocitas post linpactum m a dii, velocitas autem massae G ante impactum sit Ρὼκ b. Erit ut I ad A P, ita x ad velocitatem amissam a massa A, quae erit A P κ x. Erit autem ut I ad a - x ita PQ ad velocitatem residuam in puncto systematis G, quae fiet PG κ μ M, & ea erit itidem velocitas massae G post impactum, adeoque massa Q acquiret velocitatem PGκ ' sive posito a-m habebitur PQ κ se x). Porroo mutuo nexu massae Acum Ρ & O erit Q κ PO ad AκΑΡ, ut effectus ad velocitatem pertinens in A AP κ x ad effectum in Q

etiam massae O, exhibebit velocitatem quaesitam G. E. F. Scholium. Formula habet locum etiam pro casu, quo massa inquiescat, vel quo feratur contra motum systematis, dummodo in primo casu fiat brao, & e m ac in secundo valor b mutetur in negativum, adeoque sit ema Φb. Posset etiam facile applicari ad casum, quo in conflictu ageret elasticitas perfecta vel imperfecta. Determinatio tradita exhiberet partem effectus in collisione laeti tempore amissae figurae, ex quo effectus debitus tempori totius collisionis usque ad finem recuperatae figurae colligitur facile, duplicando priorem, Vel augendo in ratione data, uti fit in collisionibus. Itidem locum habet pro casu, quo massa nova non iaceat in

Q in recta PG, sed in quovis alio 'puncto plani perpendicularis axi transeuntis per G; ex quo si intelligatur perpendicillum in P G ei Occurrens in G, idem prorsus erit impat is ibi, qui esset in Q, translata actione per illam systematis rectam. Quin imo si O non jaceat in eo plano perpendiculari ad axem, quod transit per centrum gravitatis, ted ubivis extra, res eodem redit, dummodo per id

369쪽

punctum concipiatur planum perpendiculare ari illi immoto per vim externam ad quod planum reducatur centrum gravitatis, dc quaevis massa A ; vel si ipsa massa G cum reliquis reducatur ad quq lvis aliud planum perpendiculare axi. Omnia eodem recidunt ob id ipsium, quod axis externa vi immotus sit. Sed jam ex generali lutione problematis deducemus plura Corollaria. Corollarium I. Ei distantia centri oscillationis totius systematis ab axe P dicatur R, distantia centri gravitatis G, massa tota M, habe

Est enim ea vῆ ocitas PQκ O-xκe , quod reductum ad eun-MκGκRΦOκ Ρω dem denominatorem elisis terminis contrariis eo redit. Corollarium III. Si manente velocitate circulari. systematis tota ejus massa concipiatur collecta in unico puncto jacente inter centra gravitatis, & oscillationis, cujus' distantia a Puncto conversonis sit media geometrice proportionalis inter distantias reliquorum punctorum, vel in eadem distantia eX Parte opposita, velocitas eadem imprimeretur novae mas ae in quovis puncto sitae. Tunc enim abiret in illud punctum utrumque centrum, & valor G A Resiet idem, ac prius, nimirum aequalis quadrato ejus distantiae ab axe, quod quadratum est positivum etiam, si distantia accepta ex parte opposita fiat negativa. Corollarium IV. Si capiatur hinc vel inde in P G segmentum, quod ad distantiam ejus puncti ab axe sit in subduplicata ratione massae totius systematis ad massam ia; ipsa massa Q in quatuor distantiis ab axe, binis hinc, & hinis inde, quarum binarum producta aequentur singula quadrato ejus segmenti, acquiret velocitatem in omnibus eandem magnitudine, licet in binis directionis contra

370쪽

riae, quae siet maxima, ubi ipse massa sit in fine eius segmenti ex parte axis ultralibet. Erit enim velocitas acquisita directe ut

Valores, quorum Productum aequetur T , migrante tantummodo altera binomii parte in alteram. Si enim alter valor sit gu, erit alter

T'; & posito illo pro PQ habetur Φm; posito hoc habetur

oppositas, fiunt & , migrante in legativum etiam valore formulae, quod ostendit directionem motus contrariam priori, systemate nimirum hinc, & inde ab axe in partibus oppositis habente directiones motuum oppositas. Quoniam autem assiimpto quovis valore finito pro PQ, for-

mula in P O est finita. & evadit infinita facto PQ tam infinito, PQ 'quam O; pater in hisce postremis duobus casibus velocitatem econtrario evanescere, in reliquis esse finitam, adeoque alicubi debere esse maximam. Non potest autem esse maxima, nisi ubi ad eandem magnitudinem redit, quod accidit in transitu PQ per utrumvis valorem in T, circa quem hinc & inde valores aequales sunt. Ibi igitur id haberiir marimum. Srbesium Libuit sne calculo disserentias invenire illud minimum, quod ope ceticuli ipsius admodum facile definitur. Ponatur T mi, & Ρω a. Fiet formula - Φ z, ct disserentiando