장음표시 사용
101쪽
86 Aporinii Conica. libet coni sectionis BA, DH p in
elum reperire quod abscindat quadrantem figurae sub transiterso latere D A, & recto CA . Oportet autem na ellipsi axim maiorem esse-- . Vocentur autem dicta puncta Polisectionis conicae .
Secetur latus rectum AC bifari am in F, & ducatur FB parallela axi DA. Patet in parabola & hy-serbola FB secare peripheriana se ionis quae semper magis in infini- tum anislificantur. At in ellipsi, quia AD est maior axis , & dileta a ἡ,ων No semiaxi minore a erit NO me- dia proportionalis: inter NA , & A F, quare N O maior erit, 'llam ν ei parallela AF; unde FB. secabit peripheriam ellipsis alicubi ut in B, a quoducatur BE ordinata secans axim in E: & vltra punctum A in.
hyperbola & infra in ellipsi, sece- tur DG ualis E A. Dico puncta E & G esse quesita. Et primo; in parabola, quia FA semiius est lateris recti CA, ergo quadratum ex F ,hiuii A seu ex BE, vel ei b aequale re- . iv i 'at pulum C AE c quadraus est qua- 'F drat; CA, nempe figurae parabole ..
Postea in hyperbola & ellipsi com- l
pleatur parallelogramum EB HG.. l. Et quia, Vt latus rectum CA ad itransuersum AD ita est quadratum id Iv. t CA ad rectangulum figurae a C .:
sed ut latus rectum ad transuersum
102쪽
ita e estquadratilm BE ad rectangulam DEmergo ut quadratu CA ad rectangulum C AD, ita est quadratum BE; ad rectan illum AED , &permutando ut quadratum C A ad ouadratrina BE, ita est rectangulumnuurae C AD ad rectangulum AED: estques quadratiim CAquadruplum
L ipsius AC in F. 3 Ergo rectangulii AE ED,vel AGD quarta pars est figurq DA C. Vocentur iani puncta L GL I ii, seu interni & externi .i PROPOSITIO My. Tab.GLl Fig.2q. a . In hyperbolis , & ellipsit AKB, ad puncta G, & Η, occursus
i cuiuslibet tangentis ΚΗ cum dual bus tangentibus vertices axium AG, Bid coniungantur apolis C&
ii GLIC inter se esse aequales . Quoniam rectangulum a sub AG,
I B H aequale est quadranti figurae ;S similiter b rectangulum B C A l Ergo rectangulum sub G A, B Haequale est rectangulo BCA;&ideo: reciproce ι C3 ad ΒΗ erit ut GAl l ad AC; & sunt anguli recti,& aequa les ad A,& B ob axes.Ergo diria gula HBC . CAG similia sunt: αide
103쪽
erunt , & addito communi angulo GC A errant duo anguli H C B , &ACG squales duobus angulis AC A GC . ses o, isti aequales sunt unire, o in triangulo rectangulo ν AC. Ei fio duo anguli H GC A vnia ecto aequales sitim. Vnde angulus. Ηca qui ire hyperbolae illis duobus est equalis et istellipsi est residuum ad duos rebos ) erit qlio me rectus.
Eadem ratione anquIus GEH riactus. erit Postea quia stiper eadem, re ta slinea GH insistunt duo anguli recti ΗCG ,.& HEG . Ergo per quatuor puncta E,I G C circuluet. transit. Unde a duo an puli EGΗ,.& ECH in eodem circuli segmento constituti aequales sunt; sed angulus GA ostensiis est aequalis angulo ECH . Ereto duo anguli EGII & CGA aequales sunt inter se .. Ea- de ratione duo anguli CH EHR
26. 27. Ijsdem positis, si a puncto X ubi conueniimi retiae H a, N EG ab occursibuς tangentium per polos extensae coniungatur aer contratium Κ recta linea KX: erit' .hse per dicularis ad tangente ΚΗ. Si c verum non est ducatur Xopexpendiculam ad tanguntem Hli, qua
104쪽
Compenctaria. 8ς quae cadat alibi, quam in T; & di catur K Z ordinata ad axim B A .
Et quia a angulus CG A aequaliS-L .
silui anguli CAG,& Ο aquales, VOpote recti. Ergo in triangulis smi
pterea quod in triangulis X Ii O , EHB anguli ad B, & O recti simi,& . anguli X H O , EI B aequales esunt ostensi . Ergo vis OG ad GA ita est OH ad HB, & permutando vi GO ad OH ita est GA ad HB , seu AL ad LB, ob parallelas ΒΗ, AG . Cumque ΚL sit contingens& ΚΖ ordinata . igitur ut Ar ad LBita est A Z ad ZB. ciuare G Oad OH erit ut AZ ad ZB , seu vi h 1WaGK ad ΚΗ, ob parallelas RZ, G A,
B H . & per conuersionem rationis
inuexsam in hyperbola , & componendo in ellipsi,ut GH ad ΗΟ, itae est GH adHR; ideoque i ΗΟ,& HKl aequales erunt, pars & totum, quodi est in possibile. Non ergo perpen- dicularis XO cadit alibi quam in Mi di ideo ipsamet XK perpendicul ris erit ad tangentem H quod &ci
105쪽
LEMMA resisII. Fhur. a8. Si a quolibet puncto B peripheriae para
boles AB duae rectae lineae ad axim AD diicantur, una quidem ordinata
BD, altera vero BE ad polum Econiuncta. Dico Pod recta B E aequalis est abscissa DA una cum A E. Producatur AF aequalis Minen pe a quartae parti lateris recti A C. Quoniam duarum inaequalium AD, AF differentia est DE, & aggrega- tum DF . Ergo b quadratum D Faemiale est quadruplo rectanguli DAF, Vna cum quadrato DE; sed latus e rectu AC quadruplii est ipsius AE,vel AF . Ergo quadruplum rectanguli DAF aequale est rectangulo DAC,seu/quadrato BD . Qilare quadratum DF aequale est duobus quadratis BD, & DE, seu a quadra- to BE ob rectum angulum D; ideo- que recta BE aequalis erit abscissae DA una cum AE . 'PROPOSITIO LVI. Tab, uia
Fig.29. 3o. 3I. In coni sectione AB ducta sit quaelibet contingens FBG, i atque a puncto colaetus B in para
bo la ducatur BE parallela axi DA, & BC ad polum C; at in hyperbola, & ellipsi duae BC . BE ad polos C, E iunsantur. Dico angulos ES F, & CBG aequales esse .
106쪽
Compendiaria . si I dinata BN . cum B G si contin. gens . Ergo a N A est aqualis GA; a 31 i & addita comimi CA erit NA una cu AC aqualis GC:sed bEC aqua- b1.m- lis est NA una cum AC . Ergo GC maprsca qualis est ipsi B C . Ideoque in ' isos celio triangulo BCG erit angu- Ius C B G a dualis angulo G: sed a propter parallelas ERAD e est an- c 3λ' guttis externus FBE aqualis inte no BGC. Ergo duo anguli E B F , . & CBG aequales sunt. Secundo in i hyperbola, & ellipsi ducantur ta gentes verticaIes AO, DX secantes tangentem FBG in O, & X; & iun- ' gantur EX, EU, CO, CX, quarum
duae concurrant in Ze& a cocursu Z ad contactum B cὀniungatur recta . , d quae angulum relium Z B X d s..uexessiciet: at de etiam angulus ZEX rectus est. Ergo a circuli periphe' e II. aσria transit per quatuor puncta Z,
erunt. Rursus a quia angulus ZCO Aest rectus,sicliti angulus ZBO.Ergo
per b quatuor puncta B, O , C , Z ii
circuli peripheria transit,&propterea duo i anguli OBC, OZC, seu EZX aequales sunt, & erat angulus VEBX aequalis eidem EZX . Proiia... de anguli E B X , & CBO aequales
107쪽
33 33. In qualibet conisectione ABD,si a polo si ad tange item B G perpendicularis ducatur, atque ab occursu F ad axis AD -- tremitates rectae FA & FD iungantur, & in parobola cuius axis infiis tus est ducatur ei parallela F ODico angulum AF O in parabola. aut AF D in reliquis sectionibus re- ctum esse. Et primo in parabola a esitaetu Bad polum ducatur recta BE,& ordia nata BΝ.Quoniam a GE ostensa est aequalis BE. Ergo in triangulo is
stelio E B G per pendicillaris EF a vertice secat bitariam basim B a in F : sed propter tangentem B G, & ordinatam BN b secatur quoque GN bifariam in A. Ergo o F A parallela est ipsi BN ordinate ad axim& ideo angulus N AF rectus erit: estque FO parallela ipsi N AD .
Ergo χ angulus altem iso F A rectus quoque erit - Secundo in hyperbola, 8r ellipsi
ducantur tangentes verticales AH,
DG secantes tangente BF in FI, G:& iungantur HC, GE , GC . Uu'-niani super GE es insistunt duo an Su- I liremEDG, EFG. Ergo circumso diametro GE comprehendit quadria laterum EFGD ; & ideo duo I auguli DGE, DFG in eodem segmeh- Ἐto existentes aequales sunt: estque li
108쪽
m angulus . AEli ostes is aequalis an- i. grato D G E . Ergo angulus D F E
t, quia b super ΗΕ insistunt duo angus recti ΗAE, H FE. Ergo per qua' . tuor puncta H,A, E, F, circuli peri-
. Aqualis est angulo HEA in eodem segmento existentibus; sed eiden angulo HEA aqualis erat angulus
J aequales sunt inter se , laijs autem a. aadatur communis angulus AFE in
f ellipsi; & ab eodem tollantur ijdem. aequales an ii in hyperbola . Ergo iii angulus A r D aequalis est angulo
l 36. Recta linea GF , quae a: cetro fi hyperboles 3 ellipsis ABD. vs ille ad tangentem B G ducitur ae- quidistans ipsi BC suae a cotactu B ad polum C extenditur aequalis est semisi axis AD.
FBi. & ΕΗ parallela ipsis FG , BC. Quoniam a duae rectae ΒΗ,CE sec trir proportionaliter a tribus paraIleiis . Ergo sicut E C secatur in Fbifariam ita ΒΗ in G bifariam seca. bitur. Postea quia b anguli EBΗ, CBO aequales sunt; & est e angulus externus CBO aequalis angulo ΕΗΒ
109쪽
interno in ellipsi vel alterno in hyperbola paralellarum . Ergo angit-
li ΕΒΗ, ΕΗΒ aequales inter se sunt, & recta E G secat bafim is sceli; B E Η bifariam in G . Ergo E G
perpendicularis est ad tangentem BΗ. Sed angulus rectus EG 3 aequa- dbμ.s' lis est d angulo AGD, axi insistenti. Ergo angulus AGD rectus est. Et e II.ro ideo e circulus diametro AD de -
scriptus transit per G . Ideoque FG 'erit semidiameter aequalis ipsi F A, vel F D. 1ν,ll. PROPOSITIO LIX. rab. MI Figur.36.38. Si ab eodem punisto B peripheriae hyperboles cilipiis ABD ad polos si, & C rectae linea: BE, BC iungantur: erit earu differentia in hyperbola. & summa in ellipsi sequalis axi AD . Ducatur colluens BO;& a centro F ducatur FH parallela ipsi BC, secans BE in H , R ianientem in G. Quoniam ut dictum est a EC i ' ' ' secatur bifariam in centro F; est FH parallela ipsi B C. Erpo b BE ib IV.α. secatur quoque bifaria in HFi ' semissis erit ipsius BC. Postea quia . ., anguli OBB , GBE .sequales sunt; iς εμ σε, oropter parallelas d est ane 'lusar i. HUB aequalis eidem O B C. Ergo languli HGB,&ΗBG aequales sunt. ii de ideo latera H G , H B aequali l. erunt; estque ΗΒ semissis ipsius BE Ergo
110쪽
duplum ipsius II G aequatur BE . Cumque in hyberbola pu chim F cadat inter H, & in ellipsis extra G H. Erro in hyperbola a plum ipsius HG aequatur duplo ip- susFG una cum duplo F Η: At in ellipsi duplum ipsiu HGequatur diu k plo ipsius FG minus durio segmenti Fri; estque . Uuplum ipsus FG aquale axi AD, & duplum alterius FH ostensiim est a quale ipsi BC.
Ergo duplum ipsius HG, id est BE
. in hypei Dola aequatur axi AD una cum BC : at in ellipsi BE una cum aequatur axi AD . Et propterea
in hyperbola axis AD aestualis est differentiae duarum EB & BC; at in ellipsi A D aequalis est aggrogatoli duarum EB, BC . Quod erat
XIX.Similes coni sectiones lineares sunt illae quarum axium figurae simiales interse fuerint. Sunt vero par bolarum a figurae qua-ta laterum at rectorum: hyperbolarum vero , &ellipsium b figurae sitiat par-grammai Σίc-la contenta a lateribus rectis, dei transuersis .
X X. Et aequales coni sectionesi lineares lunt illae quarum a tum figurae similes aequales , & similiteri positae fuerint- XXI. Spatia a sectionibus cons