Elementa conica Apollonii Paergei et Archimedis Opera noua & breuiori methodo demonstrata a Ioanne Alphonso Borellio

71쪽

Fd sub segmentis secudae diametri ab eis v ad centi iam interceptis aequale erit qua-to bF semidiametri;& rec-luin d e F ad qiia-tum C e est ut latus rectum BK ad transuersum AB. In Ellipsi sit b x latus rectum coniugatae diametri ab . erunt esego B X, ba, AB,bX continuae propo tinales , & ideo ab ad bx erit ut X

B ad AB , sed ex praecedenti

cum ex puncto C ad diametrum ab ducantur ordinata Ce & contingens C d. ergo quadratum bF aequale est rec-lo dFe ; & rectangulum , deF ad quadratum C e erit ut ab

ad bx , seu ut BX ad AB . In hyperbola vero ob parallelas DF, & Ce ώ est ut Fe ad ed ita

ptis altitudinibus communibus Fe& FE e erit quadratum eF seu CE ad rectangulum Fed ut rectangi ilum DEF ad quadratum FE ; & permutando quadratum CE ad rectangulum D EF, seu d ut BX ad BA ita est rectangulum Fed ad quadratum FE , seueC , quod erat primum γ . Rursus quia quadratum CE ad rectangulum Fed est ut rectangulum

ad eorum differentias proportiona-.Ies erunt, scilicet quadratum CEad .rectangulum eFd erit ut rectan

72쪽

compendiaria. sy

l & permutando quadratum CE ad an tum D EF, seu ut o BX ad BA, seu ut quadratum bF ad quadratum FB ita erit rectanguluna eFd ad rectangulum DFE, seu ad ei aequale qiiadrataim BF , ex praece- , denti propositione. Ergo quadra- tum bF ad quadratum FB erit ut re- elangulum eFd ad idem quadratuml FB , di proinde quadratum bF ae- quale erit rectanguloeta.

. PROPOSITIO XXXV. rabani l 33. In Ellipsi& oppositis se-

eii nibus A H , B G ut latus transsuersum BA ad rectum AC . ita estii rectangulum GEX , a segmentis rei et GXE aequidistatis diametro tran- silersae inter sectiones unam o dinatim applicatam ΗM ad rectan-γlum HEM sub ordinatae segmen-

- tis contentum .

Applicentur ordinatim GF, XN. ad diametrum BA , cuius centrum si Z . Quia a excessus quadrati ZL supra quadratum ZN aequale est retactangulo FLN; & excessus quadrati ZN supra quadratum ZA est aerale rectangulo BNA ; ergo qua- rati ZL excessus sit pra quasatum ZA aequale est rectangulis FLN, &

que b differentia eorumdem quadra- tofum aequalis rectangtilo BLA. Igitur rectangulum SLA aequale

73쪽

est duobus rectangulis FLN , & Beb-., simili sumptis . Estque e latus transiliersum BA ad rectium AC ut totum rectangultim BLA ad totum quadratum HL , & ita quoque est ablatum rectangulum BN A ad ablatum quadratum XN , seu EL . Er-ἀV.m Eo illius residuum d rectangulum FLN , seu GEX ad huius residitum rectangulum HEM erit ut totum ad totum , seu ut BA ad AC .

.ll. , PROPOSITIO XXXVI abar.

II. io. Fig. Omnium rectarum AB,

CD per punctum G quod non sit

centrum Μ sectionis Conicae , veIoppositarum BCD , applicatariam puna solummodo. ibidem secari potest bifariam, illia scilicet , quae parallela est tangenti verticali diam tri primae , vel secundae per idem punctum G extensae oab Lax Ducatur per G diametes MG a parallela quidem diametro SR in Fb M a parabola , & per b centrum, in hyperbola , ad quam. vel una tantum , vel neutra erit ordinatim applicata :quandoquidem eidem tangenti ex

vertice F non possunt esse aquidistantes duae AB, & CD se mutuo secatites . Secet iam diameter MG ordinatim applicatam XO per Gductam , a qua secetur recta CD ,& per C , & D ducantur ordinatae

Lia D N parallelae eidem XOssiit

74쪽

Compendiaria . 39

ZC propinquior vertici, quam DΝ : & ideo quadratum D N ad

quadratum CZ eam rationem habet , aliam NF habet ad minorem

ZFin Parabola, vel in d hyperbolaeam, quam habet maius rectanguisium MNF ad minus ΜZF . Et propterea quadratum D N maius erit Dadrato CZ, & Iinea DN maior CZ. Cumque propter parallelas DCZ triangula , GND , GZC similia sint , erit ut maior D N ad minoremi CZ , ita GD ad GCideoque DG maior erit quam GC ..

Eadem ratione si ordinatim applicueta XG secat rectam Herit inferior eius pars BG maior quam GA: are ambo rectae AB, CD erundinaequaliter sectae , aut una tantum

moto semilacabitur , illa scilicet quae ordinatim applicata est ad dia metrum G F. Postea in ellipsi, &oppoisitis sectioniblis si fieri potest se mutuo secent bifariam rectar CD , AB in puncto G , quod non sit centrum p & contivagatur ex Ceniatro Μ recta MG , atque MF fiat parallela ipsi CD, & ΜH per cen- tr ducatur parallela alteri Auerit diameter secunda. Cumque AB, CD se mutuo secent in G e ergo HM, FM ansulum constitiituat in Μ: & quia Ad bifariam secatur in G, & per centrum ducitur Gm,

α HM parallela ipsi AB est diame

75쪽

s M. χ7 ter transhersa: ergo MG Secunda Diameter est ei coniugata, & o dinatim erit applicata ad diametrum H M alias ordinata a centro

Μ secaret ipsam AB bifariam alibi quam in G , quod fieri nequit .

oh..ii Ideoque e GΜ parallela erit conis' tingenti fi vertice H ductae. E dem ratione G M parallela erit contingenti a Vertice F ductae: erct duae contingentes a punctis F, H parallelae eidem GM , erunt inter se quoque parallela: et ideoque recta linea duo puncta , F, & Η coniungens diameter erit: & propterea per centrum M transibit. Quare νVna linea recta est FM H , Pod est absurdum. Quare rectae AB, CD non possunt se mutuo secare in Gbifariam. inod&c. i

Dι Corollarium L Colligitur quod insectione Coni , vel in sectionibus oppositis recta linea secans bifariam duas applicatas parallelas inter se Diameter erit . Nam ambae parallelae ordinatim applicatae erunt ad illam Diametrum, quae per pun ctum semipartiti is cuiuslibet parallelarum earumdem ducitur; Cu-hs..is . tantum recta linea per ambarum semipartitionem duci pos sit. Ergo ilIa diameter erit .

creaturium IL Similiter si per

76쪽

Compendiaria. 61l punctum bifariae partitionis rectae applicatae parallelae contingenti , &

per contactum recta extendatur :

erit Diameter ..Nam tam contintingens, quam ei parallela ordina- tim applicatae sunt ad Diametrum h per contactum, di per alterius si mipartitionem ductam. Quare reo cra per eadem puncta extensa Di meter erit. Corollarium III. E contra si in , dictis Con1 sectionibus Diameter rectam qiland in bifariam secet:quar t''l ad terminum diametri continoit se- ctionem parallela est rectae bitariam diuise . Nam recta bifariam secta necessario erit ordinatim applicata ad diametrum : & ideo semisiecta , I & contingens verticalis parallelaei ς Vnt inter se . PROPOSITIO XXXVII. Tab.

II. Fig. 39. In Parabola ABD qua, libet recta linea BF secans diame- tria secabit peripheriam sectionisi in duobus punctis.

Ducatur ordinata FA, quae cadat infra rectam BFr & quia BF cadit inter ordinatam FA , & diametrum FC: ergo FB producta secat periisl pheriam in aliquo puncto B inteml cepto inter A , & verticem C . Pomi stea a puncto B ducatur ordinata

77쪽

C E ; & a puncto E ducatur E D parallela ipsi GB, conueniens lcum FB in D. Et quia proportio- l

nales sunt tres EC, FC, GC . Er- go diuidendo EF, ad FC est , ut F G ad GC : & permutando , & conuertendo erit GF ad FE, ut G C ad CF ; sed propter similitudinem , b triangulorum G BF , EDF, ut b GP ad FE , ita est GB ad ED: quare ut G C ad CF: ita erit GB ad ED:ς im' & vi e CG ad tertiam proportionale CE ita erit quadratum G R ad quadratum ED. Unde d ED erit ordinata a puncto E ducta. Et propterea punctum D in peripheria sectioni existet: ideoque recta BF producta secabit ex altera parte peripheriam. sectionis in puncto D . Quod &c,

Dit. PROPOSITIO XXXVIII. Pasa ' II. M . s. r. M . In qualibet Coni

t. lib. sectione vel in Oppositis ABH . GM diametrum , axim, Cencium atque figurae latera inuenire . Primo Diameter inuenietur hae ratione. Sumantur quaelibet duo

pnncta B, H, in peripheria sectioiso nis , ,e iungatur recta BFI: & ab laliquo puncto P intercepto intero puncta B, Η, recta linea P appi, lcetur parallela ipsi BH: & ambae': se centur bifariam in F , & X : atque

a bu 36 recta FAX extendatur: erit a XFAd cor. r. Diameter . Se cundo in oppositis se-i icti ol

78쪽

r esioniblis , & ehipsi reperiatur eodeis artificio Diameter AG , & bifari t. secetur in E ,' Hoci centrum erit. Tertio Axim reperiemus sic in Pa-ii a abola quidem ad quamlibet eius diametrum BR applicetur recta MR ad angulos rectos super BR, quae H producta e secabit sectionem in S :& MS secetur bifariam in puncto, N: atque per N ducatur N A parat tela diametro BR . Similiter in El- lipsi-hypei bolis oppositis , cen- .ero E.& interuallo quolibet ΕΜ,

ducatur arcus circuli MS, sec ns peripheriam sectionis in duobus punctis M, S, atque recta VS duc tur, & secetur bifariam in N: atque xecta NE A extendatur , quae in trin

an illo is stella EMS secabit ad angulos rectos ipsam SM semisiectam: Erit semper NA Axis: Quia est diameter secans ordinatim applicatam IIS ad angulos rectoS . Quarto Producatur quaelibet Dia meter AE vltra Centrum, ut sit EG aequalis EA, vel quousque secet alteram peripheriam . Erit AG latus transuersum figurae, & recta d G dY, ad quam latus transuersum eam dem rationem habet quam rectangulum ANG ad quadratum ordinatae MN: erit latus rectum figurae.. At. in Parabola e tertia Propor' , ctionalis abscissae AF , & ordinatae B 'F erit latus rectum, ut I superius probatum est . Quod , . '

79쪽

Quod vero esse non possint alii Axes eanamdem sectionum, sic ostendetur . Sit axis N A , & ducatur imaelibet alia diameter transuersa BD , & chiae contingemes AD , BC secantes diametros in C, D, &se mutuo in O : erunt AD, BC o dinatim applicatae qualibet ad Diametram, quam in vertice contingit.

Et quia DA ad axim AC perpendicularis est; ergo tui Parabola I angulus ADB rectus ei it propter aequidistantiam, Diametrorum AC, BD . Quare in Triangulo BDO re- .ctangulo in D, erit angulus DBC

acutus . In Hiperbola vero angulas EDA erit acutus, cum in Triangulo ED A sit angulus EADrectus, estque in Triangulo DBO externus EDA , qui erat acutus , maior interno , & opposito DBO. Ergo angulus. EBC , acutus quoque erit. In Ellipsi autem duilla BF ordinat s , seu perpendiculariter ad mini AEG . Patet b quadratum BF non esse aequale rectangulo AFG alias fi gura ABG esset circulus , quod non ponitur sed rectangulum , CFEaequale est rectangulo AFG : Ergo rectangulum CFE non est aequale quadrato FS; ideoque angulus CBE, non erit rectus, alias ι tres CF, ii FB, FE ement proportionyles & ' rectangulum sub extremis CFE sequale esset quassi seto mediae FR , quod

80쪽

Compendiaria. Ood est falsum ) cum Ergo in

Dalibet alia diametro BD necess aio , quae est ad illam ordinatim applicata non secetur ad angulos rectos- Ergo BD axis non est.

Ideoque tantummodo CA axisarii Quod &c.

- IID Fig. r. & 2. Sint sectio Conica , 3 - Circulus, vel Oppositae sectiones lii ' AOGB: & ductis duabus tano nes- ''AOGB: & ductis duabus tangentis, ius AD , DB concurrentibus in D ς iunctaque recta AB , haec Primo bib fariam secetur in E , & coniungatur - recta DE. Dico DE diametrum

esse; & e conuerso .: Si enim hoc verum non est, du- si catur per E diameter EF, quae in o . omnibus sectionibus, praeter quam . in Parabola transibit a per Cena: trum; secetque diameter EF unam,' tangentium AD in F; & FB coniun-ξ gatur ; haec omnino secabit sectionis Fl Deripheriam alicubi, ut in Giu cum i b inter tangentem BD , & sectio- bb ii,1 nem ducatur; Et per G ducatur re-ξ cta GNOH parallela ipsi AB , erith: Go ordin tim applicata ad diame- trum FE. Et ideo secabit Dianae. Juum EF infra Verticem, in omnμ bus sectionibus exceptis Oppositis, cum punctum G cadat extra lineam ilFE , eam secet in N, & sectionem in O, atque tangetatem AD in H. Ergo