장음표시 사용
91쪽
parallelae. Pariterque sectiones MN, ES factae a circulo basis sunt pa rallelae; nec non sectiones GN , OS lacitae a plano conum tangente i
GS sunt quoque inter se parallelae . Ergo e triangulum G M N simile , est triangulo OES, seu triangulo OAZ, cum tangens AZ sit aequid
stans ES . Quare vi h quadratum
GM, ad quadratum MN ita est quadratum O A ad quadratum A Z: erat autem quadratu OA ad rectangulum OAi ut quadratum GΜ ad quadratum MN . Ergo idem quadratum OA eandem proportionem habet ad quadratum AZ , & ad re-bangulum OAI. Proindeque quadratumi AZ aequale est rectangulo OAI, seu quadranti Figurae.
Postea quia quadratum ι OE ad quadratum ES est ut quadratum OA lad quadratum AZ , & erat rectangulum DEAὶ ad quadratum EC ut quadratum OA ad rectangulum OAI , sed ad quadratum AZ. Ergo
totum quadratum OE ad totum quadratum ES se habet ut ablatum rectangulum DEA ad ablatum quadratum EC . Quare m residitum quadratum OA ad residuum rectangulum: BSC erit:Vtitotum quadra tum OE ad totum quadratum ES: seu ut quadratum OA ad quadratum AZ . cruapropter idem quadratum OA eandem rationem habebit ad
92쪽
Compendiaria 77rinangulum B SC atque ad quadra- ttim AL . Et fuit quadratum AZ ae- quale quadranti figurae, scilicet rectauulo OAI. Ergo rectangulular BSC aequale quoque erit eidem qua- dranti figurae. 'Simili modo quodlibet rectangu- tum CVB, vel SBV equale exit qua-
dranti figurae D AF . Quod &c.
Corollarium . Constat segmenta cuiuslibet ordinatim applicatae inlcr sectionem & Asymptotos intercepta aequalia esse interse . Ostensae enim
fuerant CS , B V , nec non AX, AZ
Fig. xo & a I. Si quadratum AE con4tingentis hyperbolena AB : aut rectangulum GNF secantis poterit quadrantem figurae , qtiae ad diam trum pertactum A ductam , siue per: punctum K semipartitionis secantis constituitur . Dico quod recta DE, vel Ddis a centro perterminos illarum ducta Asymptoton erit .i Si enim hoc verum non est describatur circa hyperbolem AB Oasymptoton DX vel DZ , quae secet rectas lineas AE, GF in X vel Zultra vel citra puncta E, N. Erit, rectaugulum AXA, vel GZF aequale quadranti fieturae, quae ad dia. Retrum AS constituitur . Quare
93쪽
rectahgulum AE A aequale erit re clangulo AXA , & rectaris ulum , GNF aquale erit rectangulo G ZR pars suo toto quod est impossibile. Non ergo asymptoton DA , vel D et transit ultra , vel citra puncta Evel N . Vnde per eadem puncta E ,
vel N transibit. Quod &c. PROPOSITIO XLVI. III.
I 2.13. Quaelibet recta AE contingens , aut FG secans hyperbolem BAC in duobus punctis F, G. Dico quod cum utraque a mpto-
ton ED, DH contienter; & segmenta earundem EA, & AH; nec non NF , GO aqualia erunt inter R :atque rectangula E AH , de P. Focontenta sub illarum aegmentis ab uno puncto sectionis ad asimptotos intercepta aequalia erunt quadranti figurae, quae ad diametrum SA pertactum ductam constituitur. Si enim hoc verum non est secen tur rectae AE , GF in X, vel Z, vesit rectangultim AXA, vel GZF aequale quadranti figurae sub latere transi tersis SA& recto M contentae,& coniungattir recta DX vel DZ r
erita haec asymptoton: erat autem,
NDἈCDE, vel ND asymptoton etiam x Quare in loco ab asymptoto hyperbola terminato aliqua alia re. cta linea DE, vel DN ex centroduci potest, non con ironicias cum
94쪽
Compendiaria. 79j I sectione ,' quod b est impossibile P. Quare asymptoton D X, vel D Z cadet precise supra DE , vel DN. Eadem ratione asymptoton ad pa 3 tes H secans rectas AE, FG cadet precise super D H vel DO. Vnde, asymptoti H DE secabunt rectas AE, FG , & segmenta e EA , AH erunt e huIuxt aeqitalia inter se , nec non N F, GO e Α - qualia erunt, atque rectangula
. EAH, & NFO aequalia erunt qua- dranti figura: SAM, quae ad diame- .l trum constituitur . Quod &c.
hi III. Fig. Tq. 'A dato puncto D intra Iah, ii datum angulum ABC describere hyi perbolem , ita ut rectae ABC conti- , nentes angulum sint Asymptoti .
, Ex puncto D ducatur DL pararui tela Ab , seceturque GL aequalis G D : & coniungatur BL , cui parallela ducatur AC ex puncto D, iun. .l gaturo ue D B . Iam quia DL se-lia catur bifariam in G a tribus B L, BG , BD & est paralleIa quartae BA . , Ergo a quaelibet alia Ac, quae est a . 'rallela viai ex is stlem quatuor BL bifariam secabitur a tribus reliquis
BA, BD, BC . Postea producta DR fat DB aequalis BE; & ut ED ad A
' C ita fiat AC ad F . Deinde b des b cribatur hyperbole IDΗ , ita ut E D sit eius latus transiuersiim, F vero rectum, & anguli inclinationum sint
95쪽
aequales angulo BDC . Cuoniam ι quadratum AC aequale est rectangulo DEF . Ergo quadratum semis sis AD, Vel DC tangentis aequale est quadranti figurae E DF . Idem
que 4 AB , EC asymptoti sunt desicriptae hyperboles ID H . QVod PROPOSITIO XLVIIL Tab.
III. Fig. 13. In hyperbola A, R eius opposita B, quarum asimptoti DΗ, ΚΜ recta No subtendat angulum MCD qui deinceps est . Dico rectam No cum utraque sectionuiti conuenire in unico puncto; Se rectangulum NSO , vel ORN aequale eue quadrato semidiametri CAparallelae No , & segmenta OS , NH aequalia fore. Quia recta CBAparallela est ipsi NO. Ergo CBA
secans angulum figurae per centrum hyperbolas secabit; eritque BA ea. rum diameter transuersa. Quare a No parallela ipsi BA in unico pun- cto R, vel S utramlibet sectionum secat . Secundo ducantur a punctis A,
& S ordinatim applicatae X A Z , D SK ad diametrum BA. Quoniam tangentis b quadratum X A , vel rectangulum X AZ ad quadratum C A habet proportionem compositam eX ea quam habet XA ad AC ,
S: ZA , ad AC; est vero ι DS ad SO
96쪽
ut ZA ad AC; quare d ratio rectan- guli ΚSD ad rectangulum NSO est ut ratio rectanguli X AZ ad quadra- tum AC cum laterum rationes eas
componentes eaedem sint . Cum - que antecedentia a rectangula XAZDSK aequalia sint, erunt consequel tia , rectangulum N SO , & quadra. tum AC aequalia quoque intur se . Eadem ratione rectangulum ORN ' aequale erit quadrato BC . in Tertio. uia rectangula NSO, ORN aequalia sinat. Ergo recipro-
di cona ponendo, eadem S R ad duas ' OS KN eandem. xationem habe-
bit; ideoquer OS , NR aequales j exunt , quae omnia &cia
-16. Oppositarum sectionum coniugatarum A, B, C, D Asympi ii communes simi: & tangentes FG, GN, NO, OF a terminis diame- trorum coniugatarum B A, CD ad unam asymptoton siint . . a. binae a oppositae tangentes V pariuelle sit at tum inter se , tum diametris sesundis, eo quos ordina-.tim sunt applicatae ad ii an filersam s.
diametrum . Exso FGNO parat ' lelograminum est, & ductis diagm
97쪽
tur; & quia ι quadranti figurae quae, ita AB constituitur aequale est quadratum CE , vel ED , id est qua- dratum FA, vel AG . Ergo FN, GO sunt asymptoti hyperbolarimi A , B ; similiter FΝ , GO ostendentur asymptoti oppositarum hyperbola rum C. , D. Quare asymptoti FN .
coniugatariim A, B, C; D . Secundo sint asumptoti FN, OG, & a terminis A, C diametrorum coniu- atarum ducantur tangentes AFCF. Dico concursum F in asymptoto NE existere , Nam in parallelogrammo CEAF quadratum CE , quod in d quadrans figurae ad AB constitutae, aequale est quadrato FA: ideoque punctum F in asymptoto NE existet Et sc etiam C F extremum
punctum F existet in asymptoto NE . Quod &cia PROPOSITIO L. Tah. III. Fig.
77. In oppositis sectionibus coniugatis A , B, C, D Dico quod recta linea ex quamuis ipsarum C contingens in g, aut secans D in duobus punctis L, I: conueniet cum sectionibus collateralibus in singulis putactis Η, Μ: Si eius segmenta inter collaterales& mediam sectioneni intercepta aequalia erunt inter se; &rectangulum h g m, vel HLΜ ex portionibus rectae tangentis aut sero cai
98쪽
a I cantis inter tres sectioiles intercep- tis duplum erit quadrati AF secun-- dae semidiametri . Ducantur a asymptoti sectionum
C, D, qui sint E e, XX ; erunt , i, L. yi ijdem asymptoti hyperbolarum A,
. SL . Et quoniam e X contingit sectionem C in g : aut LI secat iecti
nem D in Li . e conue--l niet cum Vtraque asymptoto in e, M qi Et G conneniet cum eisdem in X , segmenta g e, g X interse, nec non LX, IE aequalia erunt, sed re-ieta e x secans utramque asynaptoton hyperbolarum A, B in e, X d conisi ueniet cum utraque sectione in sina '' , E gulis punetis , ut in ii, ira, & efficiet segmenta e li, X in aequaliae interse ; ' pari ratione conueniet LI in ,
ijsdem hyperbolis in singulis pun-i ctis Η, Μ, de segmenta EH , XΜ
aequalia exunt . Ergo composita
segmenta g h, & g ni inter se; nec non segmenta IH , LM aequalia in
Postea per semipartitionem G, , vel per contactum g ducatur dia, meter transuersa D g. Et quia e re- ectangulum E LX, aequale est quai. H drato AF, siue rectangulum e g x i aequale est quadrato AF: &frectangulum EΜX , pariterque rectangu- tum e m X aequale est eidem quadra- to AF - Ergo quadratum m g ae- ea quale est duplo quadrati AF . Et est D 6 re-
99쪽
rectangulum EMX differenti qtiadrati GΜ a quadrato G X, atque rectangillum E LX est differentia quadrati G, x a quadrato GL . Nare differentia quadrati GM a quadrato GL aequalis est duplo quadrati AF: sed h stiperat quadratum G Μ ipsum quadratiani G L in rectangulo HLM . Ergo rectangi liiin HLM aequale est duplo quis drati AF . ΡROPOSITIO LI. Tab. 18. Si a duobus punctis A, B, peripheriae hyperboles AB ducantur
quatuor rectae asymptotis parallelae r r ectangula ab eis comprehensa FAG, OBN aequalia interse
coniungaturi; producaturque recta C A B E ; eritque a CA aequalis BE; nec non BC aequalis AE . Ergob Ch ad CB erit, ut BE ad EA: sed propter parallelas AF, BO, ut e AC ad CB ita est AF ad BO . Simili ratione ut BE ad EA , ita est BN ad AG . Ergo ut AF ad Bo ita erit B N ad AG . Ideoqiie d rectanpu- Ium sub extremis contentum FAG 4 aequale erit rectangulo OBN sub lintermediis proportionalium com- praehensum . PROPOSITIO LII. Tab. HI Fu- 19. Hyperb0la, oppositis sev ctior
100쪽
i cla pC contingens qliae secet duos tangentes verticales BD , AC eius. dem diametri AB . Dico quod abis. i scindet ab eis lineas continentes re- ctangulum BD in AC aequale qua- dranti figurae quae ad eandem diam trum AB constituitur, idest quadrato secundae semidiametri Gr. Ducantur a puncto E duae ordia natae FL , EM ad ambas diametros . Et quia contingens ΕΚ, & ordina- . ta EL secant diametrum in K , & L. Ergo aut LF ad FB, Vel FA, aha.it
conuersionem rationis inuersam in
ei lipsi, erit LX ad XA, ut BR ad X Frsed ut LX ad XA, e ita est LE ad A eivia. C; atq; ut 8K ad KF, ita est BD ad FH . Ergo ut LE ad AC ita est BD sit ad FH . Ouare 4 rectangultim d Iubiis, v extremis EL , FH aequale est rectam ill gulo sub intermedijs AC, BD: sed 'l' rectaneulum H F, LE, seu rectangu tum H FΜ ob parallelogranimum
i. e aequale est quadrato semidiametri e his. 3 7 fecitndae GF . Ergo rectangultii xii sub AC & BD aequale est quadratoseus quadranti figurae, quae ad e, diametrum constituitur .