장음표시 사용
81쪽
eh..it Ergo, GOSifariam diuiditur 'era . in N; sed in Triangulo AFB, ut d EF, ad FN , ita est BE ad G N; & dita est AE ad ΗN propter parallelas AB , GH suntque antecedentes AE, BE aequales: ergo G
Nr aequales eraint . At erant aequa-
aequales erunt: quod est inipossibile. Non ergo aliqua alia recta FE, preterquam DE esse potest Diameter . Gare patet propositum. Secundo ab occursit tangentium D ducatur diameter DE, vel recta DE coniungat punctiim D, &Centrum. Dico AB in E bifariam seca- .ri a diametro DE . Si hoc Verum in non est secetur AB bifariam in X , & iungatur DX;erit,ut modo ostensim est, D X diameter quoque . Quare in Parabola duae diametri conuenient in D, quod est impossi- bile . In reliquis vero sectionibus punctum D erit Centrum, Extra a figuram in Circulo : & Ellipsi . At e MI., ine Hyperbola, de oppositis sectio-ex 3a. nibus recta DA ex centro D du sectionem non secabit , sed continisget . Quae sunt absurda . mare AB in E secatur bifariam a diameis
tro DE . Quod &c. PROΡOSITIO XXXX. Tab. III. q. Si a quolibet puncto E periphaeriae sectionis conicae ABE duae i
82쪽
Compendiaria. 67 duae rectae EG , ΕΗ ordinatim applicentur ad duas diametros AD , BC: triangulum ab una tangente verticali & ab una applicatarum ad unam diametrum constitutum, quale est BNΗ , aequale erit quadrilatero ab eadem tangente a duabus applicatis ad alteram diametrum constituto nempe ENDG.
Ducatur AK parallela tangenti BD . Quia a puncto A sectionis conicae ducuntur tangens AC , & ordinata AK ad diametrum CB. Ergo in parabola a diametri portio CB o qualis est ΒΚ , sed ob par-mum KD b est DA aequalis eidem ΒΚ , erit CB aequalis DA , & sunt parallatae; igitur e triangulum CIB simile M aequale erit triangulo AID . verum in reliquis sectionibus tangens AC & ordinata AK d secat diametrum in partes proportionales KL, BL, CL & ideo a triangulum AKL ad ei simile triangulum DBL erit ut idem triangulum AKL ad aeque altum A CL . proindeques triangula DBL CAL aequalia lant interse& ablato communi quadri-ro IL erit triangulum BCI aequale trianis
us addito communi qua-ro AIBK, erit triangulum C AK aequale quistero DK . Postea in sola parabola quia a vi quadratum K A ad quadratum FE, seu ut triangulum C K A 'ad
83쪽
ad triangulum ei simile H FE ita , est abscina Κ B ad Fis , seu b p rallelogramum Κ D ad parallelogramum F D . Et in reliquis se- Aioniblis . Quia quadrata ex LB, L F , L Κ sunt interse Ut trianguis Ia similia L B D , L F G, LXA ex ijsdem homologis descripta . Ergo, differentiae illorum quadratoruin sunt interse , ut differentiae eorundem triangulorum ,' sed quadrat rum I differentiae sunt rectanSula MMΚB & MFB, pariterque triangu Iorum differentiae sunt trapetia RBDA, & FBDG . ergo ut se habet rectangulum MKR ad rectangulum M FB ita est trapetium KD ad trapetium FD; & e s tm trianguluIn a C ad ei simile, triangulum FEHut quadratum AK ad quadratum FE, seu Vt n rectangulum MFB ad
rectangulum MFB; ergo ut trapetiuKD ad trapetiu FD, ita est tri-lum AKC.ad tr1-lu FEH;re fuerunt antecedentia triangulum ACK aequale qua-ro KD . ergo consequentia striangulum H EF aequale est quatero TD ; & ablato communi cu tero FN erit triangulum H BN ar- quale qua-tero ED.
Fig.eaeda isdem positis.' Dico ut quadratum tangentis BI ad quadratum tangentis Iri , ita esse rectangulum
POE ad quadratum sectae tangentis . Quia
84쪽
Compendiaria 6 Quia semi ordinatae PF, FE
sunt aequales,&ex praecedenti triangulum 1 INB aequale est quadrilat m ED, atque triangialum BIC aequale est.triangulo AID estque b b αα differentia quadratorvm FO, & FEaequalis rectangulo POE, & differentia triangulorum similium CFO,&HFE aequalis est quad-tero E ergo quadratum FO ad rectangu- Iuni POE est ut triangulum COFad quad-terum EC; seus ad ei ae- e ex quale triangulum AOG; est vero quadratum d BI ad quadratum FO armis ut triangulum BCI ad ei simile triangulum CFO.igitur eX aequalitate ordinata quadratum BI ad rectangulum POE est ut triangulum CBI , seu D AI ad triangulum AGO , velut quadratum IA ad quadratum oA, & permutando quadratum BI ad quadratum I A erit ut rectangultim POE ad quadratum OA , PROPOSITIO XLII. Tab. III. g. s. Si a duobus mulctis E, F se-etionis conicae AEB ad duas di 'metros AD, BC applicentur ordinatae PE, L F, se secantes in N , &duae tangentes verticales BD, AC se secantes in I. Dico ut quadratum BI ad quadratum I A ita fore rectangulum P NE ad rectangulum a
85쪽
Η,& ex punctis E, F ducantur EO .F i parallelae tangςntibus. eritis tria angulum B TO aequale quad-ro .
quad-tero Fo ,' quare differentiae eorumdem spatiorum aequales erunt, scilicet quad-terum T H aequale erit quad-tero Eininus spatio FT . ergo addito communiter FT erit quad-terum FO aequale qua-ro E & praeterea addito communiter spatio NX erit quad terum N inequale quad-tero NO.
Postea quia b ordinatae PE, I Fsecantur bifariam in K & Μ. erit PN summa,&NE ditarentia in aequalium ΚΕ , ΚΝ: & differentiae quadratorum ΚΕ, & KN erit squalis rectangulo PNE, sicuti trapetium No est differentia triangulorum si- initium KEO, & ΚNA. ergo ut quadratum ΚΕ ad rectangulum P NE, ita est triangulum KEO ad qua driterum NO ; & permutando qua-d-tum KE ad triangulum, ΚΕΟ 'ita est rectangulum PNE ad quadraterum NO, seu ad ei aequale spatium 4 No. verum ut quadratum KE ad triangulum Κ E O,ita est quad tum BI aci triangulum illi simile & similiter positum B IC. igitur ut ouadratum BI ad triangulum BIC seu ε ad ei aequale triangulum AID, ita est rectangulum P N E ad qiiad-terum N Eadem ratione quad .ill s
86쪽
Compendiaris . TIAI ad triangulum AID est ut rectangulum LNFad quad-terum Nin &inuextendo triangulum ADIad qua-tum AI est ut trapet uiri Ndad rectangultim LNF . quaro exaequali quadratum BI ad quadratum I A est ut rectangulum P NE ad rectangulum LN F.
t III. Fig. 6. 7. 8. A centro hyperboles BAC infinite productae duas rectas in eius plano ducere cum sectione non conuenientes, quae sem-l per propius ad sociionem accedant. ita ut inter eas & sectionem alia r cia ex centro ve I alteri earum parallela duci non possit. Vocentur tales , lineae Asimptoti .
In cono GHΚ in quo existit Hyperbola BAC per eius centrum O&verticem G coni ducta sint a plana conum tangentia GNS,GRV ex. tensa per latera GN , GR trianguinii GNR atquidistantis plano hyperboles, & producantur quousque Occurrant plano sectionis in rectis OS, OV a centro discedentibus . Dico Primum rectas OS , OV nunquam cum perbola conuenire. Ugia Planum OGNS cadit extra conum , & tangit Coni stiperficiem solummodo in eius latere GN , & rectata OS in eodem plano tangente eXiastens b parallela est latexi contactus
87쪽
GN cum sint communes sectiones aequidistantium planorum , & plani tangentis : ergo eadem ι OS in in
nitum eXtensa nunquam conueniet
cum latere coni GN; &4deo OS semper extra conum iacebit , & ab eius superficie distabit. At hyperbola AC semper in coni superficie iacet,& in eodem plano curua AC, &recta OS existunt: ergo AC , & OS in infinitum pioductae nunquam a conuenient. Dico Sectando quod quaelibet recta linea XZ parallela
ipsi OS in plano hyperboles interseetionem, & OS alicubi secabit sectionem AC . Quoniam duce GN , XZ eidem OS sunt parallelae, ergo d interse quoq; parallelae sunt;
ideoque in uno sunt plano, quod secat conum, quandoquidem e infra planum contingens NGS ducitur:
de propterea planum per GN , XZefficiet in Cono Triangulum GNI
per Verticem ductum, cuius alterum latus praeter GN sit GI. Et quia in eodem plano parallelarum GN, XL ducitur GZI secans unam
parallelarum G N in G: ergos G ZI producta secabit alteram XZ alicubi ut in Z. Cumque punctum Z in latere coni GZI, idest in superficie conica , & in plano hyperboles existate ergo Z existit in peripheria hyperboles . Et quia prodiretio rectae XL infra L ut in Y , secat ipsam
88쪽
Compendiaria. Ies sam GZI productam: ergo ZY cani dit inter duo latera coni GN, Gi. ZI, & ideo intra planum NGI -
num per Verticem secans . Quare ZY infinite moducta versus Y semis ' per cadit intra conum: & propto, rea intra hyperbolam ς secabitque si eius peripheriam in unico tantum sy puncto Z: quare locus a recta OS,& peripheria hyperboles AZC con-bi tentus no est capax unius rectae XZ, parallela sit ipsi OS . Tertio, dico quod distantia periphaeriae se- tionis a recta OS semper plus strin- gitur quo magis a vertice A sectionis remouctur . sit enim in ea pun- chim C remotius a Vertice quam ν. Z, & a puncto Z ducta, recta ZY parallela ipsi OS e cadet inter supremam peripheriam ZAB , & rectam OS ; at post singularem feetio i nem in Z, segmentum ZY perpetuo cadit intra sectionem; ergo pun- cium ipsum C cadet in spatio inter- cepto inter duas' parallelas ZY , & OS &propterea distantia puncti ci a recta OS minor erit, quam distan-
tia puncti Z ab ipsa parallela OS .
Qiuarto dico quod quaelibet recta OL a centro O ducta intra angulum AOS , necessario hyperbolam seca- bit. Ducatur a vertice sectionis A
re t AP parallela ipsi OS cadet
89쪽
cadens infra parallelam OS , & eam secatas , necessario h reliquam parallelam AP infra punctum A secabit. Quale peripheriam sectionis prius secabit ; quae omnia erant
ostendenda. Vocentur autem huiusmodi rectae lineae OV, OS piuti & angulus VOS vocetur angulus figuram Continens. corollarium I. Manifestin est quod distantia periphaeriae sectionis ab asymptoto, ne dum semeer magis
minuitur quo magis a vertice remouetiir; sed etiam minor efficitur qua
cunque assignabili distantia . Nam semper duci potest recta parallela
asimptoto minus ab ea recedens
quam sit distantia data , & illa ali cubi peripheriam hyperboles seca-
Corollarium II. Rursus Diet,quod omnium rectarum a centro opposta tartim sectionum ducibilium , illae datantummodo diametri transversa: l esse possunt, quae i itra angulu: ipab alym totis contentum duci pos 3 sunt. Nam ilLe tantummodo 1 Ca- irre possunt oppositas sectiones in is it singulis punctis , . . Non coincidentium linearum mi Girabiles proprietates, qu lnius in directe demonstra lit. Maurolicus euidentiori progrellii affir
90쪽
quinatiue omnium primus ostenditi 1ibro a. de lineis horarus, i egregiam methodum nos imitati su-
C in cono GHΚ Asumptoti ducan-r VOS : emcient rectan illa sub ordinatim applicatarumi BC. XZ contenta, quae anter asen totos , & sectionem intersiciuntur, SBV, -XAZ aqualia qua- , dranti Durae, quae ad diametrum Scilicet rectangulo Ob. AI sub femi transuerso OA & semit datere recto AI contento .r Quia latus a transuersum DA ad re utina AF se habet ut rectansulum
DEA ad quadratum ordinatae EC, seu b ad ei aequale rectangulum HE. X, ob circulum a sed e rectangulum, DEA ad rectangulum HEKse h bet ut quadratum GM ad rectanguisi tum H MK, seu d ad ei aequale qua- tum ΜΝ pexpendicularis ad diaineia anim et ergo quadratum G M ad quadratum ΜΝ se habet ut latus transiter stan DA ad rectum FA, seu bl xt semisses OA ad semissem AI: vel A rectangii-lum OAI. Pystea quia duorum pla' aequid istantium GNR , & C