장음표시 사용
141쪽
&GKI continetur a tangente GK& p. II.: . secante IK . ergo b angulus R in ais terno segmento contentus aequali
est et , & angulo OGK : suntque anguli O & IKR recti. Igitur ,. . triangulis similibus OGH KRI est RI MIK, ut GH ad Ilo quam .i d rectangulum sub extremis conten- a tum RI seu VA , & OH seu FT ae- suale erit rectangulo contento ab in termedijs G H, ikΚI; estque quadratum X aequale rectangulo VA in FT . ergo eidem quadrato X aequa Ie est re lum sub GH & IΚ , ω propterea e superficies curua FE ILG aequalis erit circulo ex radio X descripto quod &c.
PROI OSITIO VII. Tab. Ir Superficies solidi sparatis EFGHI circumscripti hemisphae
rio , vel segmento minori BAC aquaternario mensurato , aequalis est circulo, cuius radius X medius pro portionalis est inter diametrum
sphaerae BC & altitudinem GD so
142쪽
l qu tum aequale sit retalo sub BC, ωψ I. compraehonso , & sic ulterius . Et quia ex praecedenti, superfici- es coiii FGH aequalis est circulo ra-Z , & perficies citrita frusti co- nici EFHI aequalis eis circulo radii: S sic reliqui si plures extiterint. Ergo tota stiperficies EFGHIll solidi sphaeralis est: aequalis circulis: radijs Z, Y descriptis simul sum-.J ptis . estque rec-lum sub BC & D G seu qua, tum Xmediae prop-lis ii ter illas quale rec-lis BC,GL&
titudinem BC. Ergo quadratum X aequale est qua-cis L & Y simul sun ptis; suntque a circuli ex ijsitem ra-iijs dela ripti in eadem ratione 'aliam habent qua-ta earumdentia . fg ur circulus radij X aequalis erit circulis ex radijs Z&Y descriptisimul si impiis . qxl xc integi a superficies solidi spharalis Et Giis
qualis erit circulo ex radio X des cripto ut erat propositum.
'Da6.Superficies solidi sphaeralis EFGHI hemisi h cio,vel minori por-
tioni BAC circu scriptae a quaternario mensurat e inaiQx est circulo, cu-
ius radi si recita AB a polo A ad
B termisti basis BC ducta ; superfia xies vero BKALC inscripti spnaer sis similis illi minor est eodem ciri culo ex radio AB. Fhq In
143쪽
In plano circii li maximi BACco iungatur radii DB, DC secantes tagentes in polygono BKALC a inscribatiir circulus PR cuius
diameter PQ, patet quod ex reuolutione figurae fiet sphaera cui circumscriptum erit solidum sphaerale ΕΚ ALC: & sit b suadratum AX aquale rec-lo AN in GO, & quadratum AZ aquale sit rect lo PQ n AM . Et quia EO, B M sunt parallelae erit. FB ad OM ut BD ad MD, & pe mutando sicut BD maior est quam MD , sic quoque EB,seii et aequalis GA maior erit quam MO , & addita communi AO, erit Go maior quam AM; & sumpta communi altitudine AN erit drectangultim AN in GO,
seu ex constructione quadratum Ax maius re emto NAM, seu , ei aequali sua-to AB . est e vero superlicies
sphaeralis EFGHI aequalis circulo. radij AX ; quia fuit reccium NA in Go aequale qua-to AX . ergo superificies sphaeralis circumscripta maior est circulo radia AB. Postea quia superficies spheralis GALC ciresimscripta est sphera 'PRQ, &frec-lum Pinia ΑΜ, seu ouadratum AZ minus est rec-lo NAM, seu et aequali quadrato AB, estque superficies sphaeralis BKALC aequalis circulo radij AZ . ergo superficies sphaeralis BKALC minor est circulo radij AB; quod erat S c.
144쪽
An bimedis 129sιrallam. Hinc deducitur quod i seperficies solidi si heralis EGI ad superficiem sph, BAC est ut polygonum EGI ad ei simile polygonum BAC.
Quia ob similitudinem figurarum,& circulorum inscriptorurn Vt re- rianguluna NA in Go ad rectangu- . Iuni QP in ΑΜ, seu g ut superficies f; haeralis EGI ad silperficiem sphae- ralem BAC , ita est polygonum EG I ad polygonum BAC . t
PROPOSITIO IX. Tab. Ir. f. Hemisphaerio aut minori pos tioni BAC adscribere duo solidata sphaeralia, quorum cumae superfici. es , vel selida ipsa differant spatio minori quocumque dato. Sit primo quaelibet magnitudo Y plana quantumuis exigua; & ut Y ad superficiem cumam portionis x sphaerae BAC ita effici potest dif- A T rentia quadrator' a ex SD&ex AD, seu a rectangulum NSA ad qua- a Wria, Adratum AD; & secta bifariam peri-
phaeria AB, l& rursus bifariam , &sic ulterius, quousque postremi se menti tangens FG cadat inter punita S, & A ; completis polygo-
145쪽
r 3 o Me cylin. festum N GA ad quadratum AD, suu editi rentia polygonorum ad inseriptum polygonum BK AC in in rem rationem habet quam rectangu- Itim NSA , ad idem qua-tum AD se i quam alium Y ad stiperficiena
spha rae BAC .. Et gilia ι polygonum EGI ad polygonum C ei simile, ita est 1iiperficies.
sphaeraIem inscriptam ΒΚ AC, ergo diuidendo differentia polygonorum ad inscriptum polygonum erit ut differentia superficierum sphaeralium ad superficiem inscripti sphaera-
tis, ergo spatium Y ad superficiem portionis sphaerae SAC maiorem rationem habebit quam differentia lyhaeralium superficierum ad super- f ieni inscriptam , ω adhuc maiorem quam ad superficiem portionis sphaerae quae maior est superficiet sphaeralis inscripti quare dist rentia sphaeralium si erficierum a s scriptarum minor est quacunquo maguitudine Y ..i Secundo magnitudo stipposita sit cubus ex latere Y ia cetera fiant ut iin praecedenti casu ostendetur quod disterentia, Glidorum sphaeralium inter se similium hemisphaerio, vel minori portioni adscriptorum minor est quocitu quae dato cubo super latere Y descripto ..
146쪽
haerii aut minoris por-rficies inartia ABC aeqtia-lo cuiris radius est recta A , ad termimina. Biatur a hemisphaerio alit
Terentia minor sit quata; & fiat b AX radius
talis stuperficiei circumeralis, & AZ sit radius. alis, superficiei. inscripti atet . quos AB initior est x quam AZ. C are siliat udines,prima superscie, sphaerij aut i novis pcit secunda circulu radii e aliae superficies spli era& ei aequalis circuius ram una maiores prima & i risu a primae minori quo-ς pariterque duae aliae silahqra Iis BKALC & ei a illis radij AZ sunt una ima & secunda defectis ai prima minori qilolibet dato: igitiir es superficies cunia sphaericae portionis BAC aequalis est circulo ex radio AB descripto Qusd&c.,
27.. Superficies totius sphaerae ABF. La aequalis est quadruplo circuli '
147쪽
maximi eius A G & superficies maioris portionis BEC aequalis est circulo cuius radius est recta BE a polo E ad terminum B basis por-
maximi; est quae b superficies curua
henai haerii FAG aequalis circulo radu F A . er o superficies hemis phaeri IFAG dupla est circuli maxi mi ABEC. Simili ratione superficies alterius hemisphqrij FEG qu, lis est duplo circuli maximi radio . DF descripti . igitur duo hemisphae-
xia , scilicet superficies totius sphaerae aequalis est qtiatuor circulis ma- ximis AF EG simul filmptis . Postea in triangulo e rectangulo ABE in semicirculo, quia ιι circulus, ex radio rectae lineae AE descriptusae alis est duobus circulis ex ' radio AB, & ex radio BE; estque e superficies totius sphaerae aequalis circulo
radio AE descripto, qui quadruplus quoque est circuli radij DF; & ρHiperficies minoris portionis BAc aequalis est circulo radij AB - ergo reliqua sirperficies portionis GC
148쪽
PROPOSITIO XII. Tab. IV. Si unius coni recti si DF
plana superficies nempe cir ltisDFaevalis fuerit curvae stipei ficiei ABKC alterius coni , Vel romboidis, BAIC,aut coni vel rombi ex cauati,& altitudo illius seu axis EL aequalis fuerit IH per-ri a centro vel summitate contraposita ad superficie in ' curuam huius: erunt solida EI F,
& B AICK inter se aequalia. Quia circulus DF, seu superficies curua coni ABC ei aequalis ad circulum suae basis AC a est ut BA ad semissem ipsius AC , seu b ob triangulorum similitudinem ut BI , ad ΤHvel ad EL. Ergo bases & altitu- b IV. dines sunt reciprocae; & ideo e conus c VI.aa vel roinboides ABCI aequalis est cono EDF. Postea in rombo excavato sAIC Κ dcompleto cono GAC fiat circu- dius OP centro L aequalis toti superficiei curvae AGC , & circulus M Hςodem centro fiat aequalis superfi- ciei conice ΚGB, Unde Zona circularis MOPH equalis erit superfi-
re conus cautis genitus eX reuolu
149쪽
BAICΚ; sed conus E DF, aequali est illi conci cauricum habeant alti tudinena communem EL,S: circuliis basis DP aequalis sit Zonae MOPH. ergo conus E DF , armialis est ron, boidi excavato B Al C Κ. Quod
Fig. 3I. . ilibet sector spherae AB CD aequalis est cono D E cuius altitudo DB aequalis sit radio spha - vae, basis Nero circulus EC aqualis sectoris superficiei curvae ABC. Adscribantur a sphaerae secto ii A
BCD duos olida 'haeralia D FHK
&DABC similia inter se, ita Vt eo rum differesilia: minor sit quacum que data magnitudine& nat ἐν circulus NT, ex radio BN qui se aequa, lis iuperficiei curvae sphaerali Ι Η Κ cumque altitudoe DB equalis sit perpendicularibus: ex D ad si perficies curuas G H FG cadentibus; ergo re conuS vertice D, basi circulo Nr aequalis est romboidi HGDI, & rombis excatiatis scilicet integro isolido phaerali DFHK, eritque co-. nus DNT maior aeque alto cono DE quod basis circulus NT aequalis est circuinscriptae stiperficiei sphe urali FHK , quae maior est compra: hensa sphaerae silperficie , seu circulo EO Similiter facto ιι circulo OY ae ἀ
150쪽
rchimedis Irs aequali superficiei sphaerali ALBMC ostende tur coniis DOY a qualis s atrio sphaerali DABC inscripto , &minor erit cono D Sunt initur dirae ma nitudines, prima est feci ori haerae I ABC , secunda est conus DEQ2 & dtiae aliae solidum sphaerale DF HK & conus DNT qui a quales sunt interse, & una maiores prima & secunda excessu supra primam minori quolibet dato : & duae aliq solidum sphqrale DABC inscii-ptum,& conus D OY interse aequales una minores prima & secunda defectu a prima minori quolibet dato Ergo a sector sphaerae DABC qualis est cono DE uod ,&c
Fig. 3 a. J3, Quaelibet sphaerae poserio BCF aequalis est cono BDF, uper eadem basi B F constituto , cuius axis D E ad poxtionis axinia,CE, sit, ut radius sphaerae I A una cum axe AE oppositae portionis ad
Fiant coni CBF & ΗBF , iunga tua que recta BA: quia hi AE ad Ag est ut DE ad EC; diuidendo a HAseu CH ad AE erit, ut DC ad CE& antecedentes simul adconsequentes , scilicet HD ad AC est, ut CH ad AE ; & permutando DΗ ad ΗCerit ut CA ad AE sed b in seiui- circulo triangulum A B G est xv